Media logarítmica

Diferencia de dos números dividida por el logaritmo de su cociente

Gráfico tridimensional que muestra los valores de la media logarítmica.

En matemáticas , la media logarítmica es una función de dos números no negativos que es igual a su diferencia dividida por el logaritmo de su cociente . Este cálculo es aplicable en problemas de ingeniería que involucran transferencia de calor y masa .

Definición

La media logarítmica se define como:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y,\\[2pt]{\dfrac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

para los números positivos x, y .

Desigualdades

La media logarítmica de dos números es menor que la media aritmética y la media generalizada con exponente mayor que 1. Sin embargo, es mayor que la media geométrica y la media armónica , respectivamente. Las inecuaciones son estrictas a menos que ambos números sean iguales.

$${\displaystyle {\frac {2}{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}\leq {\sqrt {xy}}\leq {\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x+y}{2}}\leq \left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)^{1/2}\qquad {\text{ for all }}x>0{\text{ and }}y>0.}$$^{[1] [2] [3] [4]} Toyesh Prakash Sharma generaliza la desigualdad de la media geométrica logarítmica aritmética para cualquier n que pertenece al número entero como $${\displaystyle {\sqrt {xy}}\ \left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{n-1}\left(n+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x(\ln x)^{n}-y(\ln y)^{n}}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(\ln x)^{n-1}(n+\ln x)+y(\ln y)^{n-1}(n+\ln y)}{2}}}$$

Ahora, para n = 0 : $${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\sqrt {xy}}\left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{-1}\ln {\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {x-y}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x(\ln x)^{-1}\ln x+y(\ln y)^{-1}\ln y}{2}}\\[4pt]{\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {x-y}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x+y}{2}}\end{array}}}$$

Esta es la desigualdad de media geométrica logarítmica aritmética. De manera similar, también se pueden obtener resultados al poner diferentes valores de n como se muestra a continuación

Para n = 1 : $${\displaystyle {\sqrt {xy}}\left(1+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x\ln x-y\ln y}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(1+\ln x)+y(1+\ln y)}{2}}}$$

Para comprobarlo consulte la bibliografía.

Derivación

Teorema del valor medio del cálculo diferencial

Del teorema del valor medio , existe un valor ξ en el intervalo entre x e y donde la derivada f ′ es igual a la pendiente de la recta secante :

${\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

La media logarítmica se obtiene como el valor de ξ sustituyendo ln por f y de manera similar para su derivada correspondiente :

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}$

y resolviendo para ξ :

${\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}$

Integración

La media logarítmica también se puede interpretar como el área bajo una curva exponencial . $${\displaystyle {\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\\[3pt]={}&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{aligned}}}$$

La interpretación del área permite derivar fácilmente algunas propiedades básicas de la media logarítmica. Como la función exponencial es monótona , la integral en un intervalo de longitud 1 está acotada por x e y . La homogeneidad del operador integral se transfiere al operador de media, es decir . ${\displaystyle L(cx,cy)=cL(x,y)}$

Otras dos representaciones integrales útiles son y $${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}}$$ $${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}.}$$

Generalización

Teorema del valor medio del cálculo diferencial

Se puede generalizar la media a n + 1 variables considerando el teorema del valor medio para diferencias divididas para la n -ésima derivada del logaritmo.

Nosotros obtenemos

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{n+1}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}$

donde denota una diferencia dividida del logaritmo. ${\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}$

Para n = 2 esto conduce a

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)(y-z)(z-x)}{2{\bigl (}(y-z)\ln x+(z-x)\ln y+(x-y)\ln z{\bigr )}}}}.}$

Integral

La interpretación integral también se puede generalizar a más variables, pero conduce a un resultado diferente. Dado el símplex con y una medida apropiada que le asigna al símplex un volumen de 1, obtenemos ${\textstyle S}$ $${\displaystyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}}$$ ${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }$

Esto se puede simplificar utilizando diferencias divididas de la función exponencial para

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}$.

Ejemplo n = 2 :

${\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x(\ln y-\ln z)+y(\ln z-\ln x)+z(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)(\ln y-\ln z)(\ln z-\ln x)}}.}$

Conexión a otros medios

• Media aritmética : ${\displaystyle {\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}$

• Media geométrica : ${\displaystyle {\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}}$

• Media armónica : ${\displaystyle {\frac {L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$

Véase también

• Una media diferente que está relacionada con los logaritmos es la media geométrica .
• La media logarítmica es un caso especial de la media de Stolarsky .
• Diferencia de temperatura media logarítmica
• Semianillo de troncos

Referencias

Citas

1. BC Carlson (1966). "Algunas desigualdades para funciones hipergeométricas". Proc. Amer. Math. Soc . 17 : 32–39. doi : 10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6 .
2. B. Ostle y HL Terwilliger (1957). "Una comparación de dos medias". Proc. Montana Acad. Sci . 17 : 69–70.
3. Tung-Po Lin (1974). "La media de potencia y la media logarítmica". The American Mathematical Monthly . 81 (8): 879–883. doi :10.1080/00029890.1974.11993684.
4. Frank Burk (1987). "La desigualdad de media geométrica, logarítmica y aritmética". The American Mathematical Monthly . 94 (6): 527–528. doi :10.2307/2322844. JSTOR  2322844.

Bibliografía

• Glosario de yacimientos petrolíferos: término 'media logarítmica'
• Weisstein, Eric W. "Desigualdad aritmética-logarítmica-geométrica-media". MathWorld .
• Stolarsky, Kenneth B.: Generalizaciones de la media logarítmica , Mathematics Magazine, vol. 48, núm. 2, marzo de 1975, págs. 87-92
• Toyesh Prakash Sharma.: https://www.parabola.unsw.edu.au/files/articles/2020-2029/volume-58-2022/issue-2/vol58_no2_3.pdf "Una generalización de la desigualdad de media aritmético-logarítmica-geométrica" , Revista Parabola, vol. 58, n.º 2, 2022, págs. 1-5