Semianillo tropical

Semiring con mínimo y adición reemplazando adición y multiplicación

En el análisis idempotente , el semianillo tropical es un semianillo de números reales extendidos con las operaciones de mínimo (o máximo ) y adición reemplazando las operaciones usuales ("clásicas") de adición y multiplicación, respectivamente.

El semianillo tropical tiene diversas aplicaciones (véase análisis tropical ) y constituye la base de la geometría tropical . El nombre tropical es una referencia al informático nacido en Hungría, Imre Simon , llamado así porque vivió y trabajó en Brasil. ^[1]

Definición

Elmin semiring tropical (omin-plus semiring oálgebra min-plus ) es elsemianillo(,,), con las operaciones: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Las operaciones y se denominan suma tropical y multiplicación tropical respectivamente. El elemento identidad de es , y el elemento identidad de es 0. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \otimes }$

De manera similar, laSemiring tropical máximo (osemiring max-plus oálgebra máxima-plus oEl semianillo ártico ) es el semianillo (,,), con operaciones: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

La unidad del elemento identidad para es , y la unidad del elemento identidad para es 0. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \otimes }$

Los dos semianillos son isomorfos bajo negación y, generalmente, se elige uno de ellos y se lo denomina simplemente semianillo tropical . Las convenciones difieren entre autores y subcampos: algunos usan la convención min , otros usan la convención max . ${\displaystyle x\mapsto -x}$

Los dos semianillos tropicales son el límite (" tropicalización ", "descuantificación") del semianillo logarítmico cuando la base tiende a infinito ( semianillo ${\displaystyle b\to \infty }$ máximo-más) o a cero ( semianillo ${\displaystyle b\to 0}$ mínimo-más).

La adición tropical es idempotente , por lo tanto, un semianillo tropical es un ejemplo de un semianillo idempotente .

Un semianillo tropical también se conoce comoálgebra tropical ,^[2]aunque esto no debe confundirse con unálgebra asociativasobre un semianillo tropical.

La exponenciación tropical se define de la forma habitual como productos tropicales iterados.

Campos valorados

Las operaciones de semiring tropical modelan cómo se comportan las valoraciones bajo la adición y la multiplicación en un campo valorado . Un campo valorado en términos reales es un campo equipado con una función ${\displaystyle K}$

${\displaystyle v:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

que satisface las siguientes propiedades para todos , en : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle v(a)=\infty }$Si y sólo si ${\displaystyle a=0,}$

${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),}$

${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),}$con igualdad si ${\displaystyle v(a)\neq v(b).}$

Por lo tanto, la valoración v es casi un homomorfismo de semianillo desde K hasta el semianillo tropical, excepto que la propiedad del homomorfismo puede fallar cuando se suman dos elementos con la misma valoración.

Algunos campos con valores comunes:

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$o con la valoración trivial, para todos , ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle v(a)=0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$o sus extensiones con la valoración p-ádica , para y coprimo a , ${\displaystyle v(p^{n}a/b)=n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$
• el campo de series formales de Laurent (potencias enteras), o el campo de series de Puiseux , o el campo de series de Hahn , con valoración que devuelve el exponente más pequeño de que aparece en la serie. ${\displaystyle K((t))}$ ${\displaystyle K\{\{t\}\}}$ ${\displaystyle t}$

Referencias

1. Pin, Jean-Éric (1998). "Semirrings tropicales" (PDF) . En Gunawardena, J. (ed.). Idempotencia . Publicaciones del Instituto Newton. Vol. 11. Cambridge University Press . págs. 50–69. doi :10.1017/CBO9780511662508.004. ISBN . 9780511662508.
2. Litvinov, Grigoriĭ Lazarevich; Sergeev, Sergej Nikolaevič (2009). Matemáticas tropicales e idempotentes: Taller internacional Tropical-07, Matemáticas tropicales e idempotentes (PDF) . American Mathematical Society. pág. 8. ISBN 9780821847824. Recuperado el 15 de septiembre de 2014 .

• Litvinov, GL (2005). "La descuantificación de Maslov, la matemática idempotente y tropical: una breve introducción". arXiv : math/0507014v1 .