En matemáticas , las secuencias de Lucas y son ciertas secuencias enteras recursivas constantes que satisfacen la relación de recurrencia.![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde y son números enteros fijos . Cualquier secuencia que satisfaga esta relación de recurrencia se puede representar como una combinación lineal de las secuencias de Lucas y![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera más general, las secuencias de Lucas y representan secuencias de polinomios en y con coeficientes enteros .![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos famosos de secuencias de Lucas incluyen los números de Fibonacci , los números de Mersenne , los números de Pell , los números de Lucas , los números de Jacobsthal y un superconjunto de números de Fermat (ver más abajo). Las secuencias de Lucas llevan el nombre del matemático francés Édouard Lucas .
Relaciones de recurrencia
Dados dos parámetros enteros y , las secuencias de Lucas de primer tipo y de segundo tipo están definidas por las relaciones de recurrencia :![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&= P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ para }}n>1,\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}(P,Q)&=2,\\V_{1}(P,Q)&=P,\\V_{n}(P,Q)&= P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ para }}n>1.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
No es difícil demostrar que ,![{\displaystyle n>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(P,Q)&={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q) }{2}},\\V_{n}(P,Q)&={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_ {n-1}(P,Q)}{2}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las relaciones anteriores se pueden expresar en forma matricial de la siguiente manera:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\U_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\ end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\U_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{n}(P,Q)\\V_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\ end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}V_{n-1}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P/2&1/2\\( P^{2}-4Q)/2&P/2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\V_{n-1}(P,Q) \end{bmatriz}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
Los términos iniciales de las secuencias de Lucas se dan en la tabla:![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{ 2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^ {2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}&{P}^{5}-5 {P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\\6&{P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}&{P} ^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Expresiones explícitas
La ecuación característica de la relación de recurrencia para secuencias de Lucas y es:![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tiene el discriminante y las raíces :![{\displaystyle D=P^{2}-4Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{y}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{ 2}}.\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De este modo:
![{\displaystyle a+b=P\,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ab={\frac {1}{4}}(P^{2}-D)=Q\,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ab={\sqrt {D}}\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que la secuencia y la secuencia también satisfacen la relación de recurrencia. Sin embargo, es posible que estas no sean secuencias enteras.![{\displaystyle a^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Raíces distintas
Cuando , a y b son distintos y uno rápidamente verifica que![{\displaystyle D\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De ello se deduce que los términos de las secuencias de Lucas se pueden expresar en términos de a y b de la siguiente manera
![{\displaystyle U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{ab}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D }}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}=a^{n}+b^{n}\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
raíz repetida
El caso ocurre exactamente cuando para algún número entero S tal que . En este caso uno encuentra fácilmente que![{\displaystyle D=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P=2S{\text{ y }}Q=S^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a=b=S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)=U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1}\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)=V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
Funciones generadoras
Las funciones generadoras ordinarias son
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}}};}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ecuaciones de pell
Cuando , las secuencias de Lucas y satisfacen ciertas ecuaciones de Pell :![{\displaystyle Q=\pm 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P,1)^{2}-D\cdot U_{n}(P,1)^{2}=4,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{2n}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n}(P,-1)^{2}=4,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{2n+1}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n+1}(P,-1)^{2}=-4.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relaciones entre secuencias con diferentes parámetros.
- Para cualquier número c , las secuencias y con
![{\displaystyle U_{n}(P',Q')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P',Q')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P'=P+2c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q'=cP+Q+c^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- tienen el mismo discriminante que y :
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P'^{2}-4Q'=(P+2c)^{2}-4(cP+Q+c^{2})=P^{2}-4Q=D.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Para cualquier número c , también tenemos
![{\displaystyle U_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n-1}\cdot U_{n}(P,Q),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n}\cdot V_{n}(P,Q).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Otras relaciones
Los términos de las secuencias de Lucas satisfacen relaciones que son generalizaciones de aquellas entre los números de Fibonacci y los números de Lucas . Por ejemplo:
![{\displaystyle L_{n}=V_{n}(1,-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|l}{\text{Caso general}}&(P,Q)=(1,-1)\\\hline (P^{2}-4Q)U_{ n}={V_{n+1}-QV_{n-1}}=2V_{n+1}-PV_{n}&5F_{n}={L_{n+1}+L_{n-1}} =2L_{n+1}-L_{n}\\V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}&L_{n}=F_ {n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}\\U_{2n}=U_{n}V_{n}&F_{2n}=F_{n}L_{ n}\\V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}&L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}\\U_{ m+n}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{m}V_{n}+U_{n}V_{m}}{ 2}}&F_{m+n}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}={\frac {F_{m}L_{n}+F_{n}L_ {m}}{2}}\\V_{m+n}=V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{mn}=DU_{m}U_{n}+Q^{n} V_{mn}&L_{m+n}=L_{m}L_{n}-(-1)^{n}L_{mn}=5F_{m}F_{n}+(-1)^{n} L_{mn}\\V_{n}^{2}-DU_{n}^{2}=4Q^{n}&L_{n}^{2}-5F_{n}^{2}=4(- 1)^{n}\\U_{n}^{2}-U_{n-1}U_{n+1}=Q^{n-1}&F_{n}^{2}-F_{n- 1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}\\V_{n}^{2}-V_{n-1}V_{n+1}=DQ^{n-1} &L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^{n-1}\\DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n -1}&F_{n}={\frac {L_{n+1}+L_{n-1}}{5}}\\V_{m+n}={\frac {V_{m}V_{n }+DU_{m}U_{n}}{2}}&L_{m+n}={\frac {L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}}{2}}\\ U_{m+n}=U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{mn}&F_{n+m}=F_{m}L_{n}-(-1)^{n}F_ {mn}\\2^{n-1}U_{n}={n \elija 1}P^{n-1}+{n \elija 3}P^{n-3}D+\cdots &2^{ n-1}F_{n}={n \choose 1}+5{n \choose 3}+\cdots \\2^{n-1}V_{n}=P^{n}+{n \choose 2}P^{n-2}D+{n \elegir 4}P^{n-4}D^{2}+\cdots &2^{n-1}L_{n}=1+5{n \elegir 2}+5^{2}{n \elegir 4}+\cdots \end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades de divisibilidad
Entre las consecuencias está que es múltiplo de , es decir, la secuencia
es una secuencia de divisibilidad . Esto implica, en particular, que puede ser primo sólo cuando n es primo. Otra consecuencia es un análogo de la exponenciación al cuadrado que permite un cálculo rápido de para valores grandes de n . Además, si , entonces es una secuencia de divisibilidad fuerte .![{\displaystyle U_{km}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{m}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gcd(P,Q)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Otras propiedades de divisibilidad son las siguientes: [1]
- Si es impar , entonces se divide .
![{\displaystyle n\mid m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Sea N un número entero primo relativo a 2 Q. Si existe el entero positivo más pequeño r por el cual N divide , entonces el conjunto de n por el cual N divide es exactamente el conjunto de múltiplos de r .
![{\ Displaystyle U_ {r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si P y Q son pares , entonces siempre son pares excepto .
![{\ Displaystyle U_ {n}, V_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle U_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si P es par y Q es impar, entonces la paridad de es igual a n y siempre es par.
![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si P es impar y Q es par, entonces siempre son impares para .
![{\ Displaystyle U_ {n}, V_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n=1,2,\ldots}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si P y Q son impares, entonces son pares si y sólo si n es múltiplo de 3.
![{\ Displaystyle U_ {n}, V_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si p es un número primo impar, entonces (ver símbolo de Legendre ).
![{\displaystyle U_{p}\equiv \left({\tfrac {D}{p}}\right),V_{p}\equiv P{\pmod {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si p es un primo impar y divide a P y Q , entonces p se divide para cada .
![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si p es un primo impar y divide a P pero no a Q , entonces p se divide si y sólo si n es par.
![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si p es un primo impar y no divide a P sino a Q , entonces p nunca se divide por .
![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n=1,2,\ldots}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si p es un primo impar y no divide a PQ sino a D , entonces p se divide si y sólo si p divide a n .
![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si p es un primo impar y no divide a PQD , entonces p divide , donde .
![{\ Displaystyle U_ {l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle l=p-\left({\tfrac {D}{p}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El último hecho generaliza el pequeño teorema de Fermat . Estos hechos se utilizan en la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer . Lo contrario del último hecho no se cumple, como tampoco se cumple lo contrario del pequeño teorema de Fermat. Existe un compuesto n relativamente primo con respecto a D y que se divide , donde . Un compuesto de este tipo se llama pseudoprimo de Lucas .![{\ Displaystyle U_ {l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle l=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un factor primo de un término en una secuencia de Lucas que no divide ningún término anterior en la secuencia se llama primitivo . El teorema de Carmichael establece que todos los términos de una secuencia de Lucas, excepto un número finito, tienen un factor primo primitivo. [2] De hecho, Carmichael (1913) demostró que si D es positivo y n no es 1, 2 o 6, entonces tiene un factor primo primitivo. En el caso de que D sea negativo, un resultado profundo de Bilu, Hanrot, Voutier y Mignotte [3] muestra que si n > 30, entonces tiene un factor primo primitivo y determina que en todos los casos no tiene un factor primo primitivo.![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Nombres específicos
Las secuencias de Lucas para algunos valores de P y Q tienen nombres específicos:
- U n (1, −1) : números de Fibonacci
- V n (1, −1) : números de Lucas
- U n (2, −1) : números de Pell
- V n (2, −1) : números de Pell-Lucas (números de Pell complementarios)
- U n (1, −2) : números de Jacobsthal
- V norte (1, −2) : números de Jacobsthal-Lucas
- U n (3, 2) : Números de Mersenne 2 n − 1
- V n (3, 2) : Números de la forma 2 n + 1, que incluyen los números de Fermat [2]
- U n (6, 1) : Las raíces cuadradas de los números triangulares cuadrados .
- U n ( x , −1 ) : polinomios de Fibonacci
- V n ( x , −1 ) : polinomios de Lucas
- U n (2 x , 1) : polinomios de Chebyshev de segunda clase
- V n (2 x , 1) : Polinomios de Chebyshev de primera clase multiplicados por 2
- U n ( x +1, x ) : Repunitas en base x
- V norte ( x +1, x ) : x norte + 1
Algunas secuencias de Lucas tienen entradas en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras :
Aplicaciones
- Las secuencias de Lucas se utilizan en pruebas probabilísticas pseudoprime de Lucas , que forman parte de la prueba de primalidad de Baillie-PSW de uso común .
- Las secuencias de Lucas se utilizan en algunos métodos de prueba de primalidad, incluida la prueba de Lucas-Lehmer-Riesel y los métodos N+1 e híbridos N-1/N+1, como los de Brillhart-Lehmer-Selfridge 1975. [4]
- LUC es un criptosistema de clave pública basado en secuencias de Lucas [5] que implementa los análogos de ElGamal (LUCELG), Diffie-Hellman (LUCDIF) y RSA (LUCRSA). El cifrado del mensaje en LUC se calcula como un término de cierta secuencia de Lucas, en lugar de utilizar exponenciación modular como en RSA o Diffie-Hellman. Sin embargo, un artículo de Bleichenbacher et al. [6] muestra que muchas de las supuestas ventajas de seguridad de LUC sobre los criptosistemas basados en la exponenciación modular no están presentes o no son tan sustanciales como se afirma.
Software
Sagemath implementa y as y , respectivamente. [7]![{\ Displaystyle U_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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Ver también
Notas
- ^ Para tales relaciones y propiedades de divisibilidad, consulte (Carmichael 1913), (Lehmer 1930) o (Ribenboim 1996, 2.IV).
- ^ ab Yabuta, M (2001). "Una prueba sencilla del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) . Fibonacci trimestral . 39 : 439–443 . Consultado el 4 de octubre de 2018 .
- ^ Bilu, Yuri; Hanrot, Guillaume; Voutier, Paul M.; Mignotte, Mauricio (2001). «Existencia de divisores primitivos de los números de Lucas y Lehmer» (PDF) . J. Reina Angew. Matemáticas . 2001 (539): 75-122. doi :10.1515/crll.2001.080. SEÑOR 1863855. S2CID 122969549.
- ^ John Brillhart ; Derrick Henry Lehmer ; John Selfridge (abril de 1975). "Nuevos criterios de primalidad y factorizaciones de 2m ± 1". Matemáticas de la Computación . 29 (130): 620–647. doi : 10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1 . JSTOR 2005583.
- ^ PJ Smith; MJJ Lennon (1993). "LUC: Un nuevo sistema de clave pública". Actas de la Novena IFIP Int. Síntoma. Sobre seguridad informática : 103–117. CiteSeerX 10.1.1.32.1835 .
- ^ D. Bleichenbacher; W. Bosma; AK Lenstra (1995). "Algunas observaciones sobre los criptosistemas basados en Lucas" (PDF) . Avances en criptología - CRYPT0' 95 . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 963, págs. 386–396. doi : 10.1007/3-540-44750-4_31 . ISBN 978-3-540-60221-7.
- ^ "Funciones combinatorias - Combinatoria". doc.sagemath.org . Consultado el 13 de julio de 2023 .
Referencias
- Carmichael, RD (1913), "Sobre los factores numéricos de las formas aritméticas α n ±β n ", Annals of Mathematics , 15 (1/4): 30–70, doi :10.2307/1967797, JSTOR 1967797
- Lehmer, DH (1930). "Una teoría ampliada de las funciones de Lucas". Anales de Matemáticas . 31 (3): 419–448. Código Bib : 1930AnMat..31..419L. doi :10.2307/1968235. JSTOR 1968235.
- Sala, Morgan (1954). "Divisores primos de secuencias recurrentes de segundo orden". Duque Matemáticas. J. 21 (4): 607–614. doi :10.1215/S0012-7094-54-02163-8. hdl : 10338.dmlcz/137477 . SEÑOR 0064073.
- Somer, Lorenzo (1980). "Las propiedades de divisibilidad de las recurrencias primarias de Lucas con respecto a los números primos" (PDF) . Fibonacci trimestral . 18 : 316.
- Lagarias, JC (1985). "El conjunto de números primos que dividen los números de Lucas tiene densidad 2/3". Pac. J. Matemáticas . 118 (2): 449–461. CiteSeerX 10.1.1.174.660 . doi :10.2140/pjm.1985.118.449. SEÑOR 0789184.
- Hans Riesel (1994). Números primos y métodos informáticos de factorización . Progreso en Matemáticas. vol. 126 (2ª ed.). Birkhäuser. págs. 107-121. ISBN 0-8176-3743-5.
- Ribenboim, Paulo; McDaniel, Wayne L. (1996). "Los términos cuadrados en las secuencias de Lucas". J. Teoría de números . 58 (1): 104-123. doi : 10.1006/junio.1996.0068 .
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- Ribenboim, Paulo (1996). El nuevo libro de registros de números primos (edición de libro electrónico). Springer-Verlag , Nueva York. doi :10.1007/978-1-4612-0759-7. ISBN 978-1-4612-0759-7.
- Ribenboim, Paulo (2000). Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números . Nueva York: Springer-Verlag . págs. 1–50. ISBN 0-387-98911-0.
- Luca, Florián (2000). "Números perfectos de Fibonacci y Lucas". Desgarrar. Círculo Matem. Palermo . 49 (2): 313–318. doi :10.1007/BF02904236. S2CID 121789033.
- Yabuta, M. (2001). "Una prueba sencilla del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) . Fibonacci trimestral . 39 : 439–443.
- Benjamín, Arthur T .; Quinn, Jennifer J. (2003). Pruebas que realmente cuentan: el arte de la prueba combinatoria . Exposiciones Matemáticas Dolciani. vol. 27. Asociación Matemática de América . pag. 35.ISBN 978-0-88385-333-7.
- Secuencia de Lucas en la Enciclopedia de Matemáticas .
- Weisstein, Eric W. "Secuencia de Lucas". MundoMatemático .
- Wei Dai . "Secuencias de Lucas en criptografía".