En matemáticas , los números de Jacobsthal son una secuencia de números enteros que lleva el nombre del matemático alemán Ernst Jacobsthal . Al igual que los números de Fibonacci relacionados , son un tipo específico de secuencia de Lucas para la cual P = 1 y Q = −2 [1] , y se definen mediante una relación de recurrencia similar : en términos simples, la secuencia comienza con 0 y 1, luego, cada número siguiente se encuentra sumando el número anterior al doble del número anterior. Los primeros números de Jacobsthal son:
Un primo de Jacobsthal es un número de Jacobsthal que también es primo . Los primeros primos de Jacobsthal son:
Los números de Jacobsthal se definen por la relación de recurrencia:
El siguiente número de Jacobsthal también viene dado por la fórmula de recursión
o por
La segunda fórmula de recursividad anterior también se satisface con las potencias de 2 .
El número de Jacobsthal en un punto específico de la secuencia se puede calcular directamente utilizando la ecuación en forma cerrada: [2]
La función generadora de los números de Jacobsthal es
La suma de los recíprocos de los números de Jacobsthal es aproximadamente 2,7186, un poco mayor que e .
Los números de Jacobsthal se pueden extender a índices negativos usando la relación de recurrencia o la fórmula explícita, dando
Se cumple la siguiente identidad
Los números de Jacobsthal-Lucas representan la secuencia complementaria de Lucas . Satisfacen la misma relación de recurrencia que los números de Jacobsthal pero tienen valores iniciales diferentes:
El siguiente número de Jacobsthal-Lucas también satisface: [2]
El número de Jacobsthal-Lucas en un punto específico de la secuencia se puede calcular directamente utilizando la ecuación de forma cerrada: [2]
Los primeros números de Jacobsthal-Lucas son:
Los primeros números Jacobsthal Oblong son: 0, 1, 3, 15, 55, 231, 903, 3655, 14535, 58311,… (secuencia A084175 en el OEIS )