65.537

Número natural

Construcción de un 65537-gon regular . Ver polígono construible .

65537 es el número entero después de 65536 y antes de 65538.

En matemáticas

65537 es el número primo más grande conocido de la forma ( ). Por lo tanto, un polígono regular con 65537 lados se puede construir con compás y regla sin marcar. Johann Gustav Hermes dio la primera construcción explícita de este polígono. En teoría de números, los primos de esta forma se conocen como primos de Fermat , llamados así en honor al matemático Pierre de Fermat . Los únicos números primos de Fermat conocidos son ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle 2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3,}$

${\displaystyle 2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5,}$

${\displaystyle 2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17,}$

${\displaystyle 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257,}$

${\displaystyle 2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537.}$^[1]

En 1732, Leonhard Euler descubrió que el siguiente número de Fermat es compuesto:

${\displaystyle 2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417}$

En 1880, Fortuné Landry  [fr] demostró que

${\displaystyle 2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=274177\times 67280421310721}$

65537 es también el número 17 de Jacobsthal-Lucas y actualmente el mayor entero conocido n para el cual el número es probablemente un primo . ^[2] ${\displaystyle 10^{n}+27}$

Aplicaciones

65537 se utiliza comúnmente como exponente público en el criptosistema RSA . Debido a que es el número de Fermat F _n = 2 ^{2 n} + 1 con n = 4 , la abreviatura común es "F ₄ " o "F4". ^[3] Este valor se utilizó en RSA principalmente por razones históricas; Las primeras implementaciones RSA sin formato (sin el relleno adecuado) eran vulnerables a exponentes muy pequeños, mientras que el uso de exponentes altos era computacionalmente costoso y no ofrecía ninguna ventaja para la seguridad (suponiendo un relleno adecuado). ^[4]

65537 también se utiliza como módulo en algunos generadores de números aleatorios de Lehmer , como el utilizado por ZX Spectrum , ^[5], lo que garantiza que cualquier valor inicial será coprimo (vital para garantizar el período máximo) y al mismo tiempo permite una reducción eficiente. por el módulo usando un desplazamiento de bits y restando.

Referencias

1. Conway, JH; Chico, RK (1996). El Libro de los Números . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 139.ISBN​ 0-387-97993-X.
2. "Secuencias por dificultad de búsqueda". Archivado desde el original el 14 de julio de 2014 . Consultado el 14 de junio de 2014 .
3. "genrsa(1)". Proyecto OpenSSL. Archivado desde el original el 13 de marzo de 2017 . Consultado el 24 de mayo de 2017 . -F4|-3 [..] el exponente público a usar, ya sea 65537 o 3. El valor predeterminado es 65537.
4. "¿RSA con pequeños exponentes?".
5. Vickers, Steve (1983). "Capítulo 11. Números aleatorios". Programación básica de Sinclair ZX Spectrum (2ª ed.). Sinclair Research Ltd. págs. 73–75 . Consultado el 26 de mayo de 2022 . El ZX Spectrum usa p=65537 y a=75, y almacena algo de bi-1 en la memoria.