numero lucas

Serie entera infinita donde el siguiente número es la suma de los dos anteriores

La espiral de Lucas, hecha con cuartos de arco , es una buena aproximación de la espiral áurea cuando sus términos son grandes. Sin embargo, cuando sus términos se vuelven muy pequeños, el radio del arco disminuye rápidamente de 3 a 1 y luego aumenta de 1 a 2.

La secuencia de Lucas es una secuencia de números enteros que lleva el nombre del matemático François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), quien estudió tanto esa secuencia como la estrechamente relacionada secuencia de Fibonacci . Los números individuales de la secuencia de Lucas se conocen como números de Lucas . Los números de Lucas y los números de Fibonacci forman instancias complementarias de secuencias de Lucas .

La secuencia de Lucas tiene la misma relación recursiva que la secuencia de Fibonacci, donde cada término es la suma de los dos términos anteriores, pero con valores iniciales diferentes. ^[1] Esto produce una secuencia en la que las proporciones de términos sucesivos se acercan a la proporción áurea y, de hecho, los términos en sí son redondeos de potencias enteras de la proporción áurea. ^[2] La secuencia también tiene una variedad de relaciones con los números de Fibonacci, como el hecho de que sumar dos números de Fibonacci cualesquiera con dos términos de diferencia en la secuencia de Fibonacci da como resultado el número de Lucas en el medio. ^[3]

Los primeros números de Lucas son

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, .... (secuencia A000032 en el OEIS )

que coincide, por ejemplo, con el número de conjuntos de vértices independientes para gráficos cíclicos de longitud . ^[1] ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Definición

Al igual que ocurre con los números de Fibonacci, cada número de Lucas se define como la suma de sus dos términos inmediatamente anteriores, formando así una secuencia entera de Fibonacci . Los dos primeros números de Lucas son y , que difieren de los dos primeros números de Fibonacci y . Aunque estrechamente relacionados en definición, los números de Lucas y Fibonacci exhiben propiedades distintas. ${\displaystyle L_{0}=2}$ ${\displaystyle L_{1}=1}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$

Por tanto, los números de Lucas se pueden definir de la siguiente manera:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

(donde n pertenece a los números naturales )

Todas las secuencias enteras similares a Fibonacci aparecen en forma desplazada como una fila de la matriz de Wythoff ; la secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila y la secuencia de Lucas es la segunda fila. También como todas las secuencias enteras tipo Fibonacci, la proporción entre dos números de Lucas consecutivos converge a la proporción áurea .

Extensión a enteros negativos

Usando , se pueden extender los números de Lucas a enteros negativos para obtener una secuencia doblemente infinita: ${\displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... ( se muestran los términos para ). ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$

La fórmula para términos con índices negativos en esta secuencia es

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

Relación con los números de Fibonacci

La primera identidad expresada visualmente.

Los números de Lucas están relacionados con los números de Fibonacci por muchas identidades . Entre estos se encuentran los siguientes:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=2F_{n+1}-F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$
• ${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle 2F_{2n+k}=L_{n}F_{n+k}+L_{n+k}F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$, entonces . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}}$
• ${\displaystyle \vert L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}\vert ={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}}$; en particular, , entonces . ${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$ ${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

Su fórmula cerrada viene dada por:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

¿Dónde está la proporción áurea ? Alternativamente, como la magnitud del término es menor que 1/2, es el número entero más cercano o, equivalentemente, la parte entera de , también escrito como . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle (-\varphi )^{-n}}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$ ${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$

Combinando lo anterior con la fórmula de Binet ,

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

se obtiene una fórmula para : ${\displaystyle \varphi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$

Para números enteros n ≥ 2, también obtenemos:

${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R}$

con el resto R satisfactorio

${\displaystyle \vert R\vert <3L_{n}^{-5}}$.

Identidades de Lucas

Muchas de las identidades de Fibonacci tienen paralelos en los números de Lucas. Por ejemplo, la identidad de Cassini se convierte en

${\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5}$

También

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}$

${\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}$

dónde . ${\displaystyle \textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}$

${\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}}$

donde excepto . ${\displaystyle L'_{n}=L_{n}}$ ${\displaystyle L'_{0}=1}$

Por ejemplo, si n es impar y ${\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}$

Comprobando, y ${\displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)}$ ${\displaystyle 256=322-4(18)+6}$

función generadora

Dejar

${\displaystyle \Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}}$

Sea la función generadora de los números de Lucas. Por un cálculo directo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}}$

que se puede reorganizar como

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$da la función generadora de los números de Lucas indexados negativos, y ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (x)}$satisface la ecuación funcional

${\displaystyle \Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2}$

Como la función generadora de los números de Fibonacci viene dada por

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

tenemos

${\displaystyle s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}}$

lo que prueba que

${\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},}$

y

${\displaystyle 5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

prueba que

${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

La descomposición en fracciones parciales viene dada por

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}}$

donde es la proporción áurea y su conjugado . ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Esto se puede utilizar para probar la función generadora, como

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}$

Relaciones de congruencia

Si es un número de Fibonacci, entonces ningún número de Lucas es divisible por . ${\displaystyle F_{n}\geq 5}$ ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle L_{n}}$es congruente con 1 módulo si es primo , pero algunos valores compuestos de también tienen esta propiedad. Estos son los pseudoprimos de Fibonacci . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle L_{n}-L_{n-4}}$es congruente con 0 módulo 5.

Lucas primos

Un primo de Lucas es un número de Lucas que es primo . Los primeros números primos de Lucas son

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (secuencia A005479 en el OEIS ).

Los índices de estos números primos son (por ejemplo, L ₄ = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467,... (secuencia A001606 en la OEIS ).

En septiembre de 2015 ^[update], el primo de Lucas más grande confirmado es L ₁₄₈₀₉₁ , que tiene 30950 dígitos decimales. ^[4] En agosto de 2022 , el primo probable^[update] de Lucas más grande conocido es L _5466311 , con 1.142.392 dígitos decimales. ^[5]

Si L _n es primo, entonces n es 0, primo o una potencia de 2 . ^[6] L _{2 ^m} es primo para m  = 1, 2, 3 y 4 y no se conocen otros valores de  m .

polinomios de lucas

De la misma manera que los polinomios de Fibonacci se derivan de los números de Fibonacci , los polinomios de Lucas son una secuencia polinomial derivada de los números de Lucas. ${\displaystyle L_{n}(x)}$

Fracciones continuas para potencias de la proporción áurea.

Se pueden obtener aproximaciones racionales cercanas a las potencias de la proporción áurea a partir de sus fracciones continuas .

Para números enteros positivos n , las fracciones continuas son:

${\displaystyle \varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]}$

${\displaystyle \varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]}$.

Por ejemplo:

${\displaystyle \varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]}$

es el limite de

${\displaystyle {\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots }$

siendo el error en cada término aproximadamente el 1% del error en el término anterior; y

${\displaystyle \varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]}$

es el limite de

${\displaystyle {\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots }$

siendo el error en cada trimestre aproximadamente el 0,3% del del segundo trimestre anterior.

Aplicaciones

Los números de Lucas son el segundo patrón más común en los girasoles después de los números de Fibonacci, cuando se cuentan las espirales en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj, según un análisis de 657 girasoles realizado en 2016. ^[7]

Ver también

• Generalizaciones de los números de Fibonacci

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Número de Lucas". mathworld.wolfram.com . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
2. Parker, Matt (2014). "13". Cosas que hacer y hacer en la cuarta dimensión . Farrar, Straus y Giroux. pag. 284.ISBN​ 978-0-374-53563-6.
3. Parker, Matt (2014). "13". Cosas que hacer y hacer en la cuarta dimensión . Farrar, Straus y Giroux. pag. 282.ISBN​ 978-0-374-53563-6.
4. "Los veinte primeros: el número de Lucas". primes.utm.edu . Consultado el 6 de enero de 2022 .
5. "Top PRP de Henri & Renaud Lifchitz: búsqueda por formulario". www.primenumbers.net . Consultado el 6 de enero de 2022 .
6. Chris Caldwell, "The Prime Glossary: ​​Lucas Prime" de The Prime Pages .
7. Swinton, Jonathan; Ochu, Erinma; nulo, nulo (2016). "Nueva estructura de Fibonacci y no Fibonacci en el girasol: resultados de un experimento de ciencia ciudadana". Ciencia abierta de la Royal Society . 3 (5): 160091. Código bibliográfico : 2016RSOS....360091S. doi :10.1098/rsos.160091. PMC 4892450 . PMID  27293788. 

enlaces externos

• "Polinomios de Lucas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "El número de Lucas". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Lucas". MundoMatemático .
• "Los números de Lucas", Dr. Ron Knott
• Los números de Lucas y la Sección Dorada
• Puede encontrar una calculadora de números de Lucas aquí.
• Secuencia OEIS A000032 (números de Lucas que comienzan en 2)