Generalizaciones de los números de Fibonacci

Mathematical sequences

En matemáticas , los números de Fibonacci forman una secuencia definida recursivamente por:

${\displaystyle F_{n}={\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\F_{n-1}+F_{n-2}&n>1\end{cases}}}$

Es decir, después de dos valores iniciales, cada número es la suma de los dos números anteriores.

La secuencia de Fibonacci se ha estudiado ampliamente y se ha generalizado de muchas maneras, por ejemplo, comenzando con otros números además de 0 y 1, sumando más de dos números para generar el siguiente número o agregando objetos distintos de números.

Extensión a enteros negativos

Usando , se pueden extender los números de Fibonacci a enteros negativos . Entonces obtenemos: ${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}}$

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

y . ^[1] ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}$

Véase también codificación Negafibonacci .

Extensión a todos los números reales o complejos.

Hay una serie de posibles generalizaciones de los números de Fibonacci que incluyen los números reales (y a veces los números complejos ) en su dominio. Cada uno de ellos implica la proporción áurea φ y se basan en la fórmula de Binet.

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}$

La función analítica

${\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

tiene la propiedad de que para números enteros pares . ^[2] De manera similar, la función analítica: ${\displaystyle \operatorname {Fe} (n)=F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

satisface para números enteros impares . ${\displaystyle \operatorname {Fo} (n)=F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Finalmente, juntándolos, la función analítica

${\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

satisface para todos los números enteros . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Fib} (n)=F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Dado que para todos los números complejos , esta función también proporciona una extensión de la secuencia de Fibonacci a todo el plano complejo. Por tanto, podemos calcular la función de Fibonacci generalizada de una variable compleja, por ejemplo, ${\displaystyle \operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248.5-14195.9i}$

Espacio vectorial

El término secuencia de Fibonacci también se aplica de manera más general a cualquier función, desde números enteros hasta un campo para el cual . Estas funciones son precisamente las de la forma , por lo que las sucesiones de Fibonacci forman un espacio vectorial con las funciones y como base . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$ ${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)}$ ${\displaystyle F(n)}$ ${\displaystyle F(n-1)}$

De manera más general, el rango de puede considerarse cualquier grupo abeliano (considerado como un módulo Z ). Entonces las secuencias de Fibonacci forman un módulo Z bidimensional de la misma manera. ${\displaystyle g}$

Secuencias enteras similares

Secuencias enteras de Fibonacci

El módulo bidimensional de las secuencias enteras de Fibonacci consta de todas las secuencias enteras que satisfacen . Expresado en términos de dos valores iniciales tenemos: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$

${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}},}$

¿ Dónde está la proporción áurea? ${\displaystyle \varphi }$

La razón entre dos elementos consecutivos converge a la proporción áurea, excepto en el caso de la secuencia que es constantemente cero y las secuencias donde la razón de los dos primeros términos es . ${\displaystyle (-\varphi )^{-1}}$

La secuencia se puede escribir en la forma

${\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},}$

en el que si y sólo si . De esta forma, el ejemplo no trivial más simple es , que es la secuencia de números de Lucas : ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle a=b=1}$

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.}$

Tenemos y . Las propiedades incluyen: ${\displaystyle L_{1}=1}$ ${\displaystyle L_{2}=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}}$

Cada secuencia entera no trivial de Fibonacci aparece (posiblemente después de un desplazamiento de un número finito de posiciones) como una de las filas de la matriz de Wythoff . La secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila y un desplazamiento de la secuencia de Lucas es la segunda fila. ^[4]

Véase también secuencias enteras de Fibonacci módulo n .

secuencias de lucas

Una generalización diferente de la secuencia de Fibonacci son las secuencias de Lucas del tipo definidas a continuación:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(0)&=0\\U(1)&=1\\U(n+2)&=PU(n+1)-QU(n),\end{aligned}}}$

donde la secuencia normal de Fibonacci es el caso especial de y . Otro tipo de secuencia de Lucas comienza con , . Estas secuencias tienen aplicaciones en la teoría de números y en la demostración de primalidad . ${\displaystyle P=1}$ ${\displaystyle Q=-1}$ ${\displaystyle V(0)=2}$ ${\displaystyle V(1)=P}$

Cuando , esta secuencia se llama secuencia P -Fibonacci , por ejemplo, la secuencia de Pell también se llama secuencia 2-Fibonacci . ${\displaystyle Q=-1}$

La secuencia de 3-Fibonacci es

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 60652 9080, ... (secuencia A006190 en el OEIS )

La secuencia de 4-Fibonacci es

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... (secuencia A 001076 en la OEIS )

La secuencia de 5 Fibonacci es

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (secuencia A052 918 en la OEIS )

La secuencia de 6-Fibonacci es

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (secuencia A005668 en el OEIS )

La constante n -Fibonacci es la relación hacia la que tienden los números -Fibonacci adyacentes; también se le llama enésima media metálica y es la única raíz positiva de . Por ejemplo, el caso de is , o la proporción áurea , y el caso de is , o la proporción plateada . Generalmente el caso de es . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

Generalmente, se puede llamar secuencia ( P , − Q ) -Fibonacci , y V ( n ) se puede llamar secuencia ( P , − Q ) -Lucas . ${\displaystyle U(n)}$

La secuencia (1,2)-Fibonacci es

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101 , 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (secuencia A001045 en el OEIS )

La secuencia (1,3)-Fibonacci es

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332 , 25856071, 59541067, ... ( secuencia A006130 en el OEIS )

La secuencia (2,2)-Fibonacci es

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... (secuencia A002605 en la OEIS )

La secuencia (3,3)-Fibonacci es

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... (secuencia A030195 en el OEIS )

Números de Fibonacci de orden superior.

Una secuencia de Fibonacci de orden n es una secuencia de números enteros en la que cada elemento de la secuencia es la suma de los elementos anteriores (con la excepción de los primeros elementos de la secuencia). Los números de Fibonacci habituales son una secuencia de Fibonacci de orden 2. Los casos han sido investigados a fondo. El número de composiciones de números enteros no negativos en partes que son como máximo es una secuencia de orden de Fibonacci . La secuencia del número de cadenas de 0 y 1 de longitud que contienen como máximo 0 consecutivos también es una secuencia de orden de Fibonacci . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Estas secuencias, sus proporciones limitantes y el límite de estas proporciones limitantes fueron investigadas por Mark Barr en 1913. ^[5]

Números de Tribonacci

Los números de Tribonacci son como los números de Fibonacci, pero en lugar de comenzar con dos términos predeterminados, la secuencia comienza con tres términos predeterminados y cada término posterior es la suma de los tres términos anteriores. Los primeros números de Tribonacci son:

, , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012,… (secuencia A000 073 en el OEIS )

La serie fue descrita formalmente por primera vez por Agronomof ^[6] en 1914, ^[7] pero su primer uso no intencional es en El origen de las especies de Charles R. Darwin . En el ejemplo de ilustrar el crecimiento de la población de elefantes, se basó en los cálculos realizados por su hijo, George H. Darwin . ^[8] El término tribonacci fue sugerido por Feinberg en 1963. ^[9]

La constante de Tribonacci

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,}$(secuencia A058265 en el OEIS )

es la relación hacia la que tienden los números de tribonacci adyacentes. Es raíz del polinomio y también satisface la ecuación . Es importante en el estudio del cubo chato . ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}$ ${\displaystyle x+x^{-3}=2}$

Una construcción geométrica de la constante de Tribonacci (AC), con compás y regla marcada, según el método descrito por Xerardo Neira.

El recíproco de la constante de Tribonacci , expresado por la relación , se puede escribir como: ${\displaystyle \xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1}$

${\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0.543689012.}$(secuencia A192918 en la OEIS )

Los números de tribonacci también vienen dados por ^[10]

${\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b\,{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil }$

donde denota la función entera más cercana y ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}}$

Números de tetranacci

Los números de tetranacci comienzan con cuatro términos predeterminados, siendo cada término la suma de los cuatro términos anteriores. Los primeros números de tetranacci son:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29 , 56 , 108 , 208 , 401 , 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (secuencia A000078 en la OEIS )

La constante de tetranacci es la relación hacia la que tienden los números de tetranacci adyacentes. Es una raíz del polinomio , aproximadamente 1,927561975482925 (secuencia A086088 en la OEIS ), y también satisface la ecuación . ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$ ${\displaystyle x+x^{-4}=2}$

La constante de tetranacci se puede expresar en términos de radicales mediante la siguiente expresión: ^[11]

${\displaystyle x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)}$

dónde,

${\displaystyle u={\frac {11}{12}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {65+3{\sqrt {1689}}}{2}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-65+3{\sqrt {1689}}}{2}}}}$

y es la raíz real de la ecuación cúbica ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u^{3}-11u^{2}+115u-169.}$

Órdenes superiores

Se han calculado los números de Pentanacci, hexanacci, heptanacci, octanacci y enneanacci. Los números pentanacci son:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624,… (secuencia A001591 en el OEIS )

Números de Hexanacci:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109,… (secuencia A001592 en el OEIS )

Números de Heptanacci:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808,… (secuencia A122189 en el OEIS )

Números de octanacci:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... ( secuencia A079262 en el OEIS )

Números de Enneanacci:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, .. (secuencia A104144 en la OEIS )

El límite de la relación de términos sucesivos de una serie -nacci tiende a una raíz de la ecuación ( OEIS : A103814 , OEIS : A118427 , OEIS : A118428 ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x+x^{-n}=2}$

Una fórmula recursiva alternativa para el límite de la razón de dos números -nacci consecutivos se puede expresar como ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}}$.

El caso especial es la tradicional serie de Fibonacci que produce la sección áurea . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}$

Las fórmulas anteriores para la relación son válidas incluso para series -nacci generadas a partir de números arbitrarios. El límite de esta relación es 2 a medida que aumenta. Una secuencia "infinacci", si pudiera describirse, después de un número infinito de ceros produciría la secuencia ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32,…

que son simplemente las potencias de dos .

El límite de la relación para cualquiera es la raíz positiva de la ecuación característica ^[11] ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}$

La raíz está en el intervalo . La raíz negativa de la ecuación característica está en el intervalo (−1, 0) cuando es par. Esta raíz y cada raíz compleja de la ecuación característica tienen módulo . ^[11] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2(1-2^{-n})<r<2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3^{-n}<|r|<1}$

Una serie para la raíz positiva de cualquiera es ^[11] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.}$

No hay solución de la ecuación característica en términos de radicales cuando 5 ≤ n ≤ 11 . ^[11]

El k ésimo elemento de la secuencia n -nacci viene dado por

${\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil \!,}$

donde denota la función entera más cercana y es la constante -nacci, que es la raíz del número más cercano a 2. ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x+x^{-n}=2}$

Un problema de lanzamiento de monedas está relacionado con la secuencia -nacci. La probabilidad de que no aparezcan cruces consecutivas en los lanzamientos de una moneda idealizada es . ^[12] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)}}$

palabra fibonacci

En analogía con su contraparte numérica, la palabra Fibonacci se define por:

${\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&n=0;\\{\text{a}}&n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\\end{cases}}}$

donde denota la concatenación de dos cadenas. La secuencia de cuerdas de Fibonacci comienza: ${\displaystyle +}$

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab,… (secuencia A106750 en el OEIS )

La longitud de cada cadena de Fibonacci es un número de Fibonacci y, de manera similar, existe una cadena de Fibonacci correspondiente para cada número de Fibonacci.

Las cadenas de Fibonacci aparecen como entradas para el peor de los casos en algunos algoritmos informáticos .

Si "a" y "b" representan dos materiales o longitudes de enlaces atómicos diferentes, la estructura correspondiente a una cuerda de Fibonacci es un cuasicristal de Fibonacci , una estructura de cuasicristal aperiódica con propiedades espectrales inusuales .

Secuencias convolucionadas de Fibonacci

Una secuencia de Fibonacci convolucionada se obtiene aplicando una operación de convolución a la secuencia de Fibonacci una o más veces. Específicamente, defina ^[13]

${\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}}$

y

${\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}$

Las primeras secuencias son

${\displaystyle r=1}$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71,… (secuencia A001629 en el OEIS ).

${\displaystyle r=2}$: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111,… (secuencia A001628 en el OEIS ).

${\displaystyle r=3}$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105,… (secuencia A001872 en el OEIS ).

Las secuencias se pueden calcular usando la recurrencia.

${\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}$

La función generadora de la enésima convolución es ${\displaystyle r}$

${\displaystyle s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac {x}{1-x-x^{2}}}\right)^{r}.}$

Las secuencias están relacionadas con la secuencia de polinomios de Fibonacci por la relación

${\displaystyle F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)}$

¿ Dónde está la derivada enésima de ? De manera equivalente, el coeficiente de cuando se expande en potencias de . ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(x)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F_{n}(x)}$ ${\displaystyle F_{n}^{(r)}}$ ${\displaystyle (x-1)^{r}}$ ${\displaystyle F_{x}(x)}$ ${\displaystyle (x-1)}$

La primera convolución se puede escribir en términos de los números de Fibonacci y Lucas como ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$

${\displaystyle F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}}$

y sigue la recurrencia

${\displaystyle F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}.}$

Se pueden encontrar expresiones similares con complejidad creciente a medida que aumenta. Los números son las sumas de las filas del triángulo de Hosoya . ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$

Al igual que con los números de Fibonacci, existen varias interpretaciones combinatorias de estas secuencias. Por ejemplo , el número de formas se puede escribir como una suma ordenada que incluye solo 0, 1 y 2, donde 0 se usa exactamente una vez. En particular y 2 se puede escribir 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . ^[14] ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$ ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle F_{4}^{(1)}=5}$

Otras generalizaciones

Los polinomios de Fibonacci son otra generalización de los números de Fibonacci.

La secuencia Padovan es generada por la recurrencia . ${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}$

La secuencia de las vacas de Narayana se genera por la recurrencia . ${\displaystyle N(k)=N(k-1)+N(k-3)}$

Una secuencia aleatoria de Fibonacci se puede definir lanzando una moneda para cada posición de la secuencia y tomando si sale cara y si sale cruz. El trabajo de Furstenberg y Kesten garantiza que esta secuencia casi seguramente crece exponencialmente a un ritmo constante: la constante es independiente de los lanzamientos de moneda y fue calculada en 1999 por Divakar Viswanath. Ahora se la conoce como constante de Viswanath . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)}$ ${\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)}$

Un repfigit , o número de Keith , es un número entero tal que, cuando sus dígitos inician una secuencia de Fibonacci con ese número de dígitos, finalmente se alcanza el número original. Un ejemplo es 47, porque la secuencia de Fibonacci que comienza con 4 y 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) llega a 47. Un repfigit puede ser una secuencia de tribonacci si el número tiene 3 dígitos, un número de tetranacci si el número tiene cuatro dígitos, etc. Los primeros repfigits son:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909,… (secuencia A007629 en el OEIS )

Dado que el conjunto de secuencias que satisfacen la relación es cerrado bajo suma término y bajo multiplicación término por una constante, puede verse como un espacio vectorial . Cualquier secuencia de este tipo está determinada únicamente por la elección de dos elementos, por lo que el espacio vectorial es bidimensional . Si abreviamos dicha secuencia como , se considera que la secuencia de Fibonacci y la secuencia de Fibonacci desplazada forman una base canónica para este espacio, lo que produce la identidad: ${\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)}$ ${\displaystyle (S(0),S(1))}$ ${\displaystyle F(n)=(0,1)}$ ${\displaystyle F(n-1)=(1,0)}$

${\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)}$

para todas esas secuencias S . Por ejemplo, si S es la secuencia de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , entonces obtenemos

${\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)}$.

Secuencia de Fibonacci generada por N

Podemos definir la secuencia de Fibonacci generada por N (donde N es un número racional positivo ): si

${\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}},}$

donde p _r es el r ésimo primo, entonces definimos

${\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...}$

Si , entonces , y si , entonces . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle n=r-1}$ ${\displaystyle F_{N}(n)=1}$ ${\displaystyle n<r-1}$ ${\displaystyle F_{N}(n)=0}$

Secuencia de semi-Fibonacci

La secuencia semi-Fibonacci (secuencia A030067 en OEIS ) se define mediante la misma recursividad para términos indexados impares y , pero para índices pares ,. Por lo tanto , la bisección A030068 de términos indexados impares verifica y es estrictamente creciente . Da como resultado el conjunto de los números semi-Fibonacci. ${\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)}$ ${\displaystyle a(1)=1}$ ${\displaystyle a(2n)=a(n)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s(n)=a(2n-1)}$ ${\displaystyle s(n+1)=s(n)+a(n)}$

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... ( secuencia A030068 en el OEIS )

que ocurren como ${\displaystyle s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...\,.}$

Referencias

1. Triana, Juan. Números de Negafibonacci mediante matrices. Boletín del TICMI, 2019, págs. 19–24.
2. "¿Qué es un número de Fibonacci? - de Harry J. Smith". 2009-10-27. Archivado desde el original el 27 de octubre de 2009 . Consultado el 12 de abril de 2022 .
3. Pravin Chandra y Eric W. Weisstein . "Número de Fibonacci". MundoMatemático .
4. Morrison, DR (1980), "Una serie Stolarsky de pares Wythoff", una colección de manuscritos relacionados con la secuencia de Fibonacci (PDF) , Santa Clara, CA: The Fibonacci Association, págs. 134-136, archivado desde el original ( PDF) el 4 de marzo de 2016 , consultado el 15 de julio de 2012.
5. Gardner, Martín (1961). El libro científico americano de acertijos y desvíos matemáticos, vol. II . Simón y Schuster. pag. 101.
6. Tuenter, Hans JH (octubre de 2023). "En busca del camarada Agrónomof: algo de historia de Tribonacci". El Mensual Matemático Estadounidense . 130 (8): 708–719. doi :10.1080/00029890.2023.2231796. SEÑOR  4645497.
7. Agrónomo, M. (1914). "Sur una suite recurrente". Mathesis . 4 : 125-126.
8. Podani, János; Kun, Ádám; Szilágyi, András (2018). "¿A qué velocidad crece la población de elefantes de Darwin?" (PDF) . Revista de Historia de la Biología . 51 (2): 259–281. doi :10.1007/s10739-017-9488-5. PMID  28726021. S2CID  3988121.
9. Feinberg, M. (1963). "Fibonacci-Tribonacci". Fibonacci trimestral . 1 : 71–74.
10. Simón Plouffe, 1993
11. Wolfram, DA (1998). "Resolver recurrencias generalizadas de Fibonacci" (PDF) . Mentira. Cuarto .
12. Eric W. Weisstein . "Lanzamiento de monedas". MundoMatemático .
13. VE Hoggatt, Jr. y M. Bicknell-Johnson, "Secuencias de convolución de Fibonacci", Fib. Cuarto de galón. , 15 (1977), págs. 117-122.
14. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A001629". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

enlaces externos

• "Número de Tribonacci", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]