Cassini y las identidades catalanas

Identidades matemáticas para los números de Fibonacci

La identidad de Cassini (a veces llamada identidad de Simson ) y la identidad de Catalán son identidades matemáticas para los números de Fibonacci . La identidad de Cassini , un caso especial de la identidad catalana , establece que para el enésimo número de Fibonacci,

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.}$

La nota aquí se toma como 0 y se toma como 1. ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

La identidad catalana generaliza esto:

${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.}$

La identidad de Vajda generaliza esto:

${\displaystyle F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.}$

Historia

La fórmula de Cassini fue descubierta en 1680 por Giovanni Domenico Cassini , entonces director del Observatorio de París, y probada independientemente por Robert Simson (1753). ^[1] Sin embargo, es de suponer que Johannes Kepler conocía la identidad ya en 1608. ^[2]

La identidad catalana lleva el nombre de Eugène Catalan (1814-1894). Se puede encontrar en una de sus notas de investigación privadas, titulada "Sur la série de Lamé" y fechada en octubre de 1879. Sin embargo, la identidad no apareció impresa hasta diciembre de 1886 como parte de su obra completa (catalán 1886). Esto explica que algunos pongan como fecha de identidad catalana 1879 y otros 1886 (Tuenter 2022, p. 314).

El matemático húngaro-británico Steven Vajda (1901-1995) publicó un libro sobre los números de Fibonacci ( Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Sección: Theory and Applications , 1989) que contiene la identidad que lleva su nombre. ^{[3] [4]} Sin embargo, la identidad había sido publicada anteriormente en 1960 por Dustan Everman como problema 1396 en The American Mathematical Monthly , ^[1] y en 1901 por Alberto Tagiuri en Periodico di Matematica. ^[5]

Prueba de identidad de Cassini

Prueba por teoría matricial

Se puede dar una prueba rápida de la identidad de Cassini (Knuth 1997, p. 81) reconociendo el lado izquierdo de la ecuación como un determinante de una matriz 2×2 de números de Fibonacci. El resultado es casi inmediato cuando se ve que la matriz es la enésima potencia de una matriz con determinante −1:

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.}$

Prueba por inducción

Considere la declaración de inducción:

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}$

El caso base es cierto. ${\displaystyle n=1}$

Suponga que la afirmación es verdadera para . Entonces: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}}$

${\displaystyle F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}}$

entonces la afirmación es cierta para todos los números enteros . ${\displaystyle n>0}$

Prueba de identidad catalana

Usamos la fórmula de Binet , que , donde y . ${\displaystyle F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Por tanto, y . ${\displaystyle \phi +\psi =1}$ ${\displaystyle \phi \psi =-1}$

Entonces,

${\displaystyle 5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})}$

${\displaystyle =(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})}$

${\displaystyle =(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})}$

${\displaystyle =-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}$

Usando , ${\displaystyle \phi \psi =-1}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}$

y otra vez como , ${\displaystyle \phi ={\frac {-1}{\psi }}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})}$

El número de Lucas se define como , entonces ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}}$

Porque ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

${\displaystyle =(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

Cancelar 's da el resultado. ${\displaystyle 5}$

Notas

1. Thomas Koshy: Números de Fibonacci y Lucas con aplicaciones . Wiley, 2001, ISBN  9781118031315 , págs. 74-75, 83, 88
2. Miodrag Petkovic: famosos acertijos de grandes matemáticos . AMS, 2009, ISBN 9780821848142 , págs. 30-31 
3. Douglas B. West: Matemáticas combinatorias . Prensa de la Universidad de Cambridge, 2020, pág. 61
4. Steven Vadja: Números de Fibonacci y Lucas, y la sección áurea: teoría y aplicaciones . Dover, 2008, ISBN 978-0486462769 , pág. 28 (publicación original de 1989 en Ellis Horwood) 
5. Alberto Tagiuri: Ecuación (3) en Di alcune sucesioni ricorrenti a termini interi e positivi, Periodico di Matematica 16 (1901), págs.

Referencias

• Catalán, Eugène-Charles (diciembre de 1886). "CLXXXIX. — Sur la serie de Lamé". Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège, Deuxième Série . 13 : 319–321.
• Knuth, Donald Ervin (1997), El arte de la programación informática, volumen 1: algoritmos fundamentales , El arte de la programación informática , vol. 1 (3.ª ed.), Lectura, Misa: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4
• Simson, R. (1753). "Una explicación de un pasaje oscuro en el comentario de Albert Girard sobre las obras de Simon Stevin". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 48 : 368–376. doi : 10.1098/rstl.1753.0056 .
• Tuenter, Hans JH (noviembre de 2022). "Identidades sumatorias de Fibonacci surgidas de la identidad catalana". El Fibonacci trimestral . 60 (4): 312–319. SEÑOR  4539699. Zbl  1512.11025.
• Werman, M.; Zeilberger, D. (1986). "Una prueba biyectiva de la identidad Fibonacci de Cassini". Matemáticas discretas . 58 (1): 109. doi : 10.1016/0012-365X(86)90194-9 . SEÑOR  0820846.

enlaces externos

• Prueba de la identidad de Cassini
• Prueba de identidad del catalán
• Fórmula de Cassini para los números de Fibonacci
• Fórmulas de Fibonacci y Phi