Límite de una secuencia

Valor al que tiende una secuencia infinita

La sucesión dada por los perímetros de los polígonos regulares de n lados que circunscriben el círculo unitario tiene un límite igual al perímetro del círculo, es decir . La sucesión correspondiente para los polígonos inscritos tiene el mismo límite. ${\displaystyle 2\pi }$

A medida que el número entero positivo se hace cada vez más grande, el valor se acerca arbitrariamente a . Decimos que "el límite de la sucesión es igual a ". ${\textstyle n}$ ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle 1}$ ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle 1}$

En matemáticas , el límite de una secuencia es el valor al que "tienden" los términos de una secuencia , y a menudo se denota utilizando el símbolo (por ejemplo, ). ^[1] Si tal límite existe y es finito, la secuencia se llama convergente . ^[2] Una secuencia que no converge se dice que es divergente . ^[3] Se dice que el límite de una secuencia es la noción fundamental en la que se basa en última instancia todo el análisis matemático . ^[1] ${\displaystyle \lim }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

Los límites se pueden definir en cualquier espacio métrico o topológico , pero normalmente se encuentran por primera vez en los números reales .

Historia

El filósofo griego Zenón de Elea es famoso por formular paradojas que involucran procesos limitantes .

Leucipo , Demócrito , Antifón , Eudoxo y Arquímedes desarrollaron el método de exhaución , que utiliza una secuencia infinita de aproximaciones para determinar un área o un volumen. Arquímedes logró sumar lo que ahora se denomina una serie geométrica .

Grégoire de Saint-Vincent dio la primera definición de límite (término) de una serie geométrica en su obra Opus Geometricum (1647): "El término de una progresión es el fin de la serie, al que ninguna progresión puede llegar, ni siquiera si continúa en el infinito, pero al que puede aproximarse más cerca que un segmento dado". ^[4]

Pietro Mengoli anticipó la idea moderna de límite de una sucesión con su estudio de las cuasiproporciones en Geometriae speciosae elementa (1659). Utilizó el término cuasi-infinito para lo ilimitado y cuasi-nulo para lo que se desvanece .

Newton se ocupó de las series en sus obras Análisis con series infinitas (escritas en 1669, circuladas en manuscrito, publicadas en 1711), Método de fluxiones y series infinitas (escritas en 1671, publicadas en traducción inglesa en 1736, el original en latín se publicó mucho más tarde) y Tractatus de Quadratura Curvarum (escritas en 1693, publicadas en 1704 como apéndice a su Óptica ). En esta última obra, Newton considera el desarrollo binomial de , que luego linealiza tomando el límite como tiende a . ${\textstyle (x+o)^{n}}$ ${\textstyle o}$ ${\textstyle 0}$

En el siglo XVIII, matemáticos como Euler consiguieron sumar algunas series divergentes deteniéndose en el momento justo; no les importaba demasiado si existía un límite, siempre que fuera posible calcularlo. A finales de siglo, Lagrange, en su Théorie des fonctions analytiques (1797), opinó que la falta de rigor impedía un mayor desarrollo del cálculo. Gauss, en su estudio de las series hipergeométricas (1813), investigó por primera vez de forma rigurosa las condiciones en las que una serie convergía hacia un límite.

La definición moderna de un límite (para cualquier número existe un índice tal que ...) fue dada por Bernard Bolzano ( Der binomische Lehrsatz , Praga 1816, que pasó inadvertida en su época), y por Karl Weierstrass en la década de 1870. ${\textstyle \varepsilon }$ ${\textstyle N}$

Números reales

La gráfica de una secuencia convergente { a _n } se muestra en azul. Aquí se puede ver que la secuencia converge al límite 0 a medida que n aumenta.

En los números reales , un número es el límite de la secuencia , si los números en la secuencia se acercan cada vez más a , y no a cualquier otro número. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle L}$

Ejemplos

• Si para constante , entonces . ^{[prueba 1] [5]} ${\displaystyle x_{n}=c}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle x_{n}\to c}$
• Si , entonces . ^{[prueba 2] [5]} ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$
• Si cuando es par y cuando es impar, entonces . (El hecho de que cuando sea impar es irrelevante). ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ ${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$ ${\displaystyle n}$
• Dado cualquier número real, se puede construir fácilmente una secuencia que converja a ese número tomando aproximaciones decimales. Por ejemplo, la secuencia converge a . La representación decimal es el límite de la secuencia anterior, definida por ${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle 0.3333\dots }$ $${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• Encontrar el límite de una sucesión no siempre es obvio. Dos ejemplos son (cuyo límite es el número e ) y la media aritmético-geométrica . El teorema del apretón suele ser útil para establecer dichos límites. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$

Definición

Llamamos al límite de la sucesión , que se escribe ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to x}$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$,

Si se cumple la siguiente condición:

Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada número natural , tenemos . ^[6] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$

En otras palabras, para cada medida de cercanía , los términos de la secuencia están eventualmente tan cerca del límite. Se dice que la secuencia converge o tiende al límite . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

Simbólicamente esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

Si una secuencia converge a un límite , entonces es convergente y es el único límite; en caso contrario, es divergente . Una secuencia que tiene cero como límite a veces se denomina secuencia nula . ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

Ilustración

• 
  Ejemplo de una secuencia que converge al límite ${\displaystyle a}$
• 
  Independientemente de lo que tengamos, hay un índice , de modo que la secuencia se encuentra después completamente en el tubo épsilon . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$
• 
  También hay un índice más pequeño , de modo que la secuencia quede después dentro del tubo épsilon . ${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$
• 
  Para cada uno sólo hay un número finito de miembros de secuencia fuera del tubo épsilon. ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Propiedades

Algunas otras propiedades importantes de los límites de secuencias reales incluyen las siguientes:

• Cuando existe, el límite de una secuencia es único. ^[5]
• Los límites de sucesiones se comportan bien con respecto a las operaciones aritméticas habituales . Si y existe, entonces ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$proporcionado ^[5] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• Para cualquier función continua , si existe, entonces también existe. De hecho, cualquier función de valor real es continua si y solo si conserva los límites de las sucesiones (aunque esto no es necesariamente cierto cuando se utilizan nociones más generales de continuidad). ${\textstyle f}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$ ${\textstyle f}$

• Si para todos es mayor que para algunos , entonces . ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( Teorema de compresión ) Si para todo mayor que algún , y , entonces . ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• ( Teorema de convergencia monótona ) Si es acotado y monótono para todo mayor que algún , entonces es convergente. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$
• Una secuencia es convergente si y sólo si cada subsecuencia es convergente.
• Si cada subsecuencia de una secuencia tiene su propia subsecuencia que converge al mismo punto, entonces la secuencia original converge a ese punto.

Estas propiedades se utilizan ampliamente para demostrar límites, sin necesidad de utilizar directamente la engorrosa definición formal. Por ejemplo, una vez que se demuestra que , resulta fácil demostrar (utilizando las propiedades anteriores) que (suponiendo que ). ${\displaystyle 1/n\to 0}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle b\neq 0}$

Límites infinitos

Se dice que una secuencia tiende al infinito , escrito ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$,

Si se cumple lo siguiente:

Para cada número real , existe un número natural tal que para cada número natural , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente mayores que cualquier fijo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}>K}$ ${\displaystyle K}$

Simbólicamente esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$.

De manera similar, decimos que una secuencia tiende a menos infinito , escrito

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$,

Si se cumple lo siguiente:

Para cada número real , existe un número natural tal que para cada número natural , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente menores que cualquier fijo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}<K}$ ${\displaystyle K}$

Simbólicamente esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$.

Si una sucesión tiende a infinito o a menos infinito, entonces es divergente. Sin embargo, una sucesión divergente no necesariamente tiende a más o menos infinito, y la sucesión es un ejemplo de ello. ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$

Espacios métricos

Definición

Un punto del espacio métrico es el límite de la sucesión si: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada número natural , tenemos . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$

Simbólicamente esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

Esto coincide con la definición dada para los números reales cuando y . ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

Propiedades

• Cuando existe, el límite de una secuencia es único, ya que los puntos distintos están separados por una distancia positiva, por lo que para menos de la mitad de esta distancia, los términos de la secuencia no pueden estar dentro de una distancia de ambos puntos. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

• Para cualquier función continua f , si existe, entonces . De hecho, una función f es continua si y solo si conserva los límites de las sucesiones. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$

Secuencias de Cauchy

La gráfica de una secuencia de Cauchy ( x _n ), mostrada en azul, en función de n . Visualmente, vemos que la secuencia parece estar convergiendo hacia un punto límite a medida que los términos de la secuencia se acercan entre sí a medida que n aumenta. En los números reales, toda secuencia de Cauchy converge hacia algún límite. ${\displaystyle x_{n}}$

Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos términos terminan por acercarse arbitrariamente entre sí, después de que se hayan descartado suficientes términos iniciales. La noción de secuencia de Cauchy es importante en el estudio de secuencias en espacios métricos y, en particular, en el análisis real . Un resultado particularmente importante en el análisis real es el criterio de Cauchy para la convergencia de secuencias : una secuencia de números reales es convergente si y solo si es una secuencia de Cauchy. Esto sigue siendo cierto en otros espacios métricos completos .

Espacios topológicos

Definición

Un punto del espacio topológico es un ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$límite opunto límite ^[7][8]de lasecuencia si: ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

Para cada vecindad de , existe alguna tal que para cada , tenemos . ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}\in U}$

Esto coincide con la definición dada para los espacios métricos, si es un espacio métrico y es la topología generada por . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$

Un límite de una secuencia de puntos en un espacio topológico es un caso especial de un límite de una función : el dominio está en el espacio , con la topología inducida del sistema de números reales afínmente extendido , el rango es , y el argumento de la función tiende a , que en este espacio es un punto límite de . ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Propiedades

En un espacio de Hausdorff , los límites de las sucesiones son únicos siempre que existan. Esto no tiene por qué ser así en espacios que no sean de Hausdorff; en particular, si dos puntos y son topológicamente indistinguibles , entonces cualquier sucesión que converja a debe converger a y viceversa. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Números hiperreales

La definición del límite mediante los números hiperreales formaliza la intuición de que para un valor "muy grande" del índice, el término correspondiente está "muy cerca" del límite. Más precisamente, una sucesión real tiende a L si para cada hipernatural infinito , el término está infinitamente cerca de (es decir, la diferencia es infinitesimal ). De manera equivalente, L es la parte estándar de : ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\textstyle H}$ ${\displaystyle x_{H}}$ ${\textstyle L}$ ${\displaystyle x_{H}-L}$ ${\displaystyle x_{H}}$

${\displaystyle L={\rm {st}}(x_{H})}$.

Por tanto, el límite se puede definir mediante la fórmula

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})}$.

donde el límite existe si y sólo si el lado derecho es independiente de la elección de un infinito . ${\textstyle H}$

Secuencia de más de un índice

A veces, también se puede considerar una secuencia con más de un índice, por ejemplo, una secuencia doble . Esta secuencia tiene un límite si se acerca cada vez más a cuando tanto n como m se vuelven muy grandes. ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Ejemplo

• Si para constante , entonces . ${\displaystyle x_{n,m}=c}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to c}$
• Si , entonces . ${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$
• Si , entonces el límite no existe. Dependiendo de la "velocidad de crecimiento" relativa de y , esta secuencia puede acercarse a cualquier valor entre y . ${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle 1}$

Definición

Llamamos al límite doble de la sucesión , escrito ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$, o

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$,

Si se cumple la siguiente condición:

Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada par de números naturales , tenemos . ^[10] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$

En otras palabras, para cada medida de cercanía , los términos de la secuencia están eventualmente tan cerca del límite. Se dice que la secuencia converge o tiende al límite . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle x}$

Simbólicamente esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

El límite doble es diferente de tomar primero el límite en n y luego en m . Esto último se conoce como límite iterado . Dado que tanto el límite doble como el límite iterado existen, tienen el mismo valor. Sin embargo, es posible que uno de ellos exista pero el otro no.

Límites infinitos

Se dice que una secuencia tiende al infinito , escrito ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$, o

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$,

Si se cumple lo siguiente:

Para cada número real , existe un número natural tal que para cada par de números naturales , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente mayores que cualquier fijo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle x_{n,m}>K}$ ${\displaystyle K}$

Simbólicamente esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$.

De manera similar, una secuencia tiende a menos infinito , escrito ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$, o

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$,

Si se cumple lo siguiente:

Para cada número real , existe un número natural tal que para cada par de números naturales , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente menores que cualquier fijo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle x_{n,m}<K}$ ${\displaystyle K}$

Simbólicamente esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$.

Si una sucesión tiende a infinito o a menos infinito, entonces es divergente. Sin embargo, una sucesión divergente no necesariamente tiende a más o menos infinito, y la sucesión es un ejemplo de ello. ${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$

Límites puntuales y límites uniformes

Para una doble sucesión , podemos tomar el límite en uno de los índices, por ejemplo, , para obtener una única sucesión . De hecho, hay dos posibles significados al tomar este límite. El primero se llama límite puntual , denotado ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (y_{m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$,

Lo que significa:

Para cada número real y cada número natural fijo , existe un número natural tal que, para cada número natural , tenemos . ^[11] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

Simbólicamente esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

Cuando existe tal límite, decimos que la secuencia converge puntualmente a . ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

El segundo se llama límite uniforme y se denota

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$, o

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$,

Lo que significa:

Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada número natural y para cada número natural , tenemos . ^[11] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

Simbólicamente esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

En esta definición, la elección de es independiente de . En otras palabras, la elección de es uniformemente aplicable a todos los números naturales . Por lo tanto, se puede ver fácilmente que la convergencia uniforme es una propiedad más fuerte que la convergencia puntual: la existencia de un límite uniforme implica la existencia e igualdad de un límite puntual: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$

Si es uniforme, entonces puntual. ${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$

Cuando existe tal límite, decimos que la secuencia converge uniformemente a . ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

Límite iterado

Para una secuencia doble , podemos tomar el límite en uno de los índices, por ejemplo, para obtener una secuencia simple , y luego tomar el límite en el otro índice, es decir , para obtener un número . Simbólicamente, ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (y_{m})}$ ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$.

Este límite se conoce como límite iterado de la doble sucesión. El orden de toma de los límites puede afectar el resultado, es decir,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}}$en general.

Una condición suficiente de igualdad la da el teorema de Moore-Osgood , que requiere que el límite sea uniforme en . ^[10] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$ ${\textstyle m}$

Véase también

• Punto límite
• Límite subsiguiente
• Límite superior y límite inferior
• Límite de una función
• Límite de una secuencia de conjuntos
• Límite de una red
• Convergencia puntual
• Convergencia uniforme
• Modos de convergencia

Notas

1. Courant (1961), pág. 29.
2. Weisstein, Eric W. "Secuencia convergente". mathworld.wolfram.com . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
3. Courant (1961), pág. 39.
4. Van Looy, H. (1984). Una cronología y análisis histórico de los manuscritos matemáticos de Gregorius a Sancto Vincentio (1584-1667). Historia Mathematica, 11(1), 57-75.
5. "Límites de las secuencias | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
6. Weisstein, Eric W. "Límite". mathworld.wolfram.com . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
7. Dugundji 1966, págs. 209-210.
8. Császár 1978, pág. 61.
9. Zeidler, Eberhard (1995). Análisis funcional aplicado: principios fundamentales y sus aplicaciones (1.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. p. 29. ISBN 978-0-387-94422-7.
10. Zakon, Elias (2011). "Capítulo 4. Límites y continuidad de funciones". Análisis matemático, volumen I. pág. 223. ISBN 9781617386473.
11. Habil, Eissa (2005). «Secuencias dobles y series dobles» . Consultado el 28 de octubre de 2022 .

Pruebas

1. Prueba : Elige . Para cada , ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-c|=0<\varepsilon }$
2. Prueba : elige (la función de piso ). Para cada , . ${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon }$

Referencias

• Császár, Ákos (1978). Topología general . Traducido por Császár, Klára. Bristol Inglaterra: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4.OCLC 4146011  .
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Courant, Richard (1961). "Cálculo diferencial e integral, volumen I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley y James Harkness Un tratado sobre la teoría de funciones (Nueva York: Macmillan, 1893)

Enlaces externos

• "Límite", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Una historia del cálculo, incluidos los límites