símbolo de nabla

Símbolo utilizado para indicar el operador del

∇

El símbolo de Nabla.

La nabla es un símbolo triangular que se asemeja a un delta griego invertido : ^[1] o ∇. El nombre proviene, debido a la forma del símbolo, de la palabra griega helenística νάβλα para arpa fenicia , ^{[2] [3]} y fue sugerido por el enciclopedista William Robertson Smith en una carta de 1870 a Peter Guthrie Tait . ^{[2] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle \nabla }$

El símbolo nabla está disponible en HTML estándar como ∇y en LaTeX como \nabla. En Unicode , es el carácter en el punto de código U+2207, o 8711 en notación decimal , en el bloque Operadores matemáticos .

También se le llama del .

Historia

El arpa , el instrumento que da nombre al símbolo nabla

El operador diferencial dado en coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano tridimensional por ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

${\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$

Fue introducido en 1837 por el matemático y físico irlandés William Rowan Hamilton , quien lo llamó ◁. ^[8] (Los vectores unitarios eran originalmente versores derechos en los cuaterniones de Hamilton .) Las matemáticas de ∇ recibieron su exposición completa de la mano de PG Tait . ^{[9] [10]} ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$

Después de recibir la sugerencia de Smith, Tait y James Clerk Maxwell se refirieron al operador como nabla en su extensa correspondencia privada; la mayoría de estas referencias son de carácter humorístico. Vida y obra científica de Peter Guthrie Tait , de CG Knott (p. 145): ^[5]

Probablemente fue esta renuencia por parte de Maxwell a utilizar el término Nabla en escritos serios lo que impidió a Tait introducir la palabra antes que él. El único uso publicado de la palabra por Maxwell está en el título de su humorística Oda Tyndallic, que está dedicada al "músico principal de Nabla", es decir, Tait.

William Thomson (Lord Kelvin) presentó el término a una audiencia estadounidense en una conferencia de 1884; ^[2] las notas se publicaron en Gran Bretaña y Estados Unidos en 1904. ^[11]

El nombre es reconocido y criticado por Oliver Heaviside en 1891: ^[12]

El vector ficticio ∇ dado por

${\displaystyle \nabla =\mathbf {i} \nabla _{1}+\mathbf {j} \nabla _{2}+\mathbf {k} \nabla _{3}=\mathbf {i} {\frac {d}{dx}}+\mathbf {j} {\frac {d}{dy}}+\mathbf {k} {\frac {d}{dz}}}$

es muy importante. Las matemáticas físicas son en gran medida las matemáticas de ∇. El nombre Nabla parece, por tanto, ridículamente ineficiente.

A Heaviside y Josiah Willard Gibbs (de forma independiente) se les atribuye el desarrollo de la versión del cálculo vectorial más popular en la actualidad. ^[13]

El influyente texto de 1901 Análisis vectorial , escrito por Edwin Bidwell Wilson y basado en las conferencias de Gibbs, defiende el nombre "del": ^[14]

Este operador simbólico ∇ fue introducido por Sir WR Hamilton y ahora tiene uso universal. Sin embargo, no parece haber ningún nombre universalmente reconocido para él, aunque debido a la frecuente aparición del símbolo, algún nombre es una necesidad práctica. Se ha descubierto por experiencia que el monosílabo del es tan corto y fácil de pronunciar que incluso en fórmulas complicadas en las que ∇ aparece varias veces, la repetición no genera inconvenientes para el hablante ni para el oyente. ∇ V se lee simplemente como "del V ".

Este libro es responsable de la forma en que hoy se suelen expresar las matemáticas del operador en cuestión, sobre todo en los libros de texto universitarios de física y, especialmente, de electrodinámica.

Usos modernos

La nabla se utiliza en cálculo vectorial como parte de tres operadores diferenciales distintos: el gradiente (∇), la divergencia (∇⋅) y el rizo (∇×). El último de ellos utiliza el producto cruzado y, por tanto, sólo tiene sentido en tres dimensiones; los dos primeros son completamente generales. Todos fueron estudiados originalmente en el contexto de la teoría clásica del electromagnetismo, y los planes de estudio de física de las universidades contemporáneas generalmente tratan el material utilizando aproximadamente los conceptos y la notación que se encuentran en el Análisis vectorial de Gibbs y Wilson .

El símbolo también se utiliza en geometría diferencial para indicar una conexión .

Un símbolo de la misma forma, aunque presumiblemente no relacionado genealógicamente, aparece en otras áreas, por ejemplo:

• Como relación total , particularmente en teoría de redes .
• Como operador de diferencias hacia atrás , en el cálculo de diferencias finitas .
• Como operador de ampliación, un operador que permite que el análisis estático de programas termine en un tiempo finito, en el campo informático de la interpretación abstracta .
• Como marcador de definición de funciones y autorreferencia ( recursividad ) en el lenguaje de programación APL
• Como indicador de indeterminación en la lógica filosófica . ^[15]
• En arquitectura naval (diseño de buques), para designar el desplazamiento volumétrico de un buque o de cualquier otra embarcación acuática; el delta gráficamente similar se utiliza para designar el desplazamiento de peso (el peso total del agua desplazada por el barco), por lo tanto, ¿ dónde está la densidad del agua de mar? ${\displaystyle \nabla =\Delta /\rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Ver también

• Del , tratando las matemáticas del operador diferencial vectorial
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• grad , div y curl , operadores diferenciales definidos usando nabla
• Historia de los cuaterniones
• Notación para diferenciación
• Derivada covariante , también conocida como conexión
• Nevel ^[7]

Notas a pie de página

1. De hecho, se llama anadelta (ανάδελτα) en griego moderno .
2. "nabla" . Diccionario de inglés Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford . (Se requiere suscripción o membresía de una institución participante).
3. νάβλα. Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; Un léxico griego-inglés en el Proyecto Perseo .
4. Carta de Smith a Tait, 10 de noviembre de 1870:

   Mi querido señor, El nombre que propongo para ∇ es, como recordará, Nabla... En griego la forma principal es ναβλᾰ... En cuanto a la cosa, es una especie de arpa y Hieronymus y otras autoridades dicen que han tenido la figura de ∇ (una Δ invertida).

   Citado en la entrada "nabla" del Diccionario de ingles Oxford.
5. Cargill Gilston Knott (1911). Vida y obra científica de Peter Guthrie Tait. Prensa de la Universidad de Cambridge.
6. "Historia de Nabla".
7. En particular, a veces se afirma que proviene del hebreo nevel ( נֶבֶל ), como en el Libro de Isaías, capítulo 5, oración 12: "וְהָיָה כִנּוֹר וָ נֶבֶל תֹּף וְחָלִיל ו ы דָיו לֹא רָאוּ"— , pero esta etimología es errónea; el griego νάβλα proviene del fenicio al que נֶבֶל es afín. Ver: "nable" . Diccionario de inglés Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford . (Se requiere suscripción o membresía de una institución participante).
8. WR Hamilton, "Sobre diferencias y diferenciales de funciones de cero", trad. R. Acad irlandés. XVII: 235–236 especialmente. 236 (1837)
9. Knott, págs. 142-143: "Sin embargo, sin lugar a dudas, el gran trabajo de Tait fue su desarrollo del poderoso operador ∇. Hamilton introdujo este operador diferencial en su forma de trinomio semicartesiano en la página 610 de sus Conferencias y señaló sus efectos en una cantidad escalar y vectorial... Sin embargo, ni en las Conferencias ni en los Elementos se desarrolla la teoría, como lo hizo Tait en la segunda edición de su libro (∇ es poco más que mencionado en la primera edición). ) y mucho más completamente en la tercera y última edición."
10. PG Tait (1890) Un tratado elemental sobre cuaterniones, edición 3 a través de Internet Archive
11. William Thomson, Lord Kelvin (1904). Conferencias de Baltimore sobre dinámica molecular y teoría ondulatoria de la luz. Me tomé la libertad de preguntarle al profesor Ball hace dos días si tenía un nombre para este símbolo ∇ ² , y me mencionó nabla , una sugerencia humorística de Maxwell . Es el nombre de un arpa egipcia, que tenía esa forma. No sé si es un mal nombre para ello. El laplaciano no me gusta por varias razones tanto históricas como fonéticas. [Ene. 22 1892. Desde 1884 no he encontrado nada mejor y ahora lo llamo laplaciano.]Mientras está escrito esto, parece estar nombrando al laplaciano ∇ ² "nabla", pero en la conferencia presumiblemente se refería al ∇ mismo.
12. Heaviside (1891), Sobre las fuerzas, tensiones y flujos de energía en el campo electromagnético. Impreso en Philosophical Transactions of the Royal Society , 1892.
13. Michael J. Crowe (1967). Una historia del análisis vectorial .
14. Gibbs; Wilson (1901). Análisis vectorial: un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas y física, basado en las conferencias de J. Willard Gibbs por Edwin Bidwell Wilson.
15. Por ejemplo, en Anthony Everett (2013), Lo inexistente , p. 210:

    Podemos representar casos de esta forma, casos en los que es indeterminado si en la ficción f : a = b , de la siguiente manera:

    (A) ∇[ ^f a = b ] ^f .

    Aquí, los corchetes y el superíndice f juntos sirven para denotar ficticio; así la nabla dice "Es indeterminado si", y el resto dice " a = b (ficticiamente)".

enlaces externos

• Arnold Neumaier (2004). "Historia de Nabla".
• Arnold Neumaier (26 de enero de 1998). Cleve Moler (ed.). "Historia de Nabla". NA Digest, volumen 98, número 03. netlib.org.
• Molinero, Jeff. "Primeros usos de los símbolos de cálculo".
• Tai, Chen. Un estudio sobre el uso inadecuado de ∇ en el análisis vectorial (1994).