La rotación alrededor de un eje fijo o rotación axial es un caso especial de movimiento rotacional alrededor de un eje de rotación fijo, estacionario o estático en el espacio tridimensional . Este tipo de movimiento excluye la posibilidad de que el eje de rotación instantáneo cambie su orientación y no puede describir fenómenos como el tambaleo o la precesión . Según el teorema de rotación de Euler , la rotación simultánea a lo largo de varios ejes estacionarios al mismo tiempo es imposible; si se fuerzan dos rotaciones al mismo tiempo, resultará un nuevo eje de rotación.
Este concepto supone que la rotación también es estable, de modo que no se requiere ningún par para mantenerla en marcha. La cinemática y la dinámica de la rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido son matemáticamente mucho más simples que las de la rotación libre de un cuerpo rígido ; son completamente análogas a las del movimiento lineal a lo largo de una única dirección fija, lo que no es cierto para la rotación libre de un cuerpo rígido . Las expresiones para la energía cinética del objeto y para las fuerzas sobre las partes del objeto también son más simples para la rotación alrededor de un eje fijo que para el movimiento rotacional general. Por estas razones, la rotación alrededor de un eje fijo se enseña típicamente en los cursos introductorios de física después de que los estudiantes han dominado el movimiento lineal ; la generalidad completa del movimiento rotacional no suele enseñarse en las clases introductorias de física.
Un cuerpo rígido es un objeto de extensión finita en el que todas las distancias entre las partículas que lo componen son constantes. No existe ningún cuerpo verdaderamente rígido; las fuerzas externas pueden deformar cualquier sólido. Para nuestros propósitos, entonces, un cuerpo rígido es un sólido que requiere grandes fuerzas para deformarlo apreciablemente.
Un cambio en la posición de una partícula en el espacio tridimensional puede especificarse completamente mediante tres coordenadas. Un cambio en la posición de un cuerpo rígido es más complicado de describir. Puede considerarse como una combinación de dos tipos distintos de movimiento: movimiento de traslación y movimiento circular.
El movimiento de traslación pura se produce cuando cada partícula del cuerpo tiene la misma velocidad instantánea que todas las demás partículas; entonces, la trayectoria trazada por cualquier partícula es exactamente paralela a la trayectoria trazada por todas las demás partículas del cuerpo. En el movimiento de traslación, el cambio en la posición de un cuerpo rígido está especificado completamente por tres coordenadas como x , y y z que dan el desplazamiento de cualquier punto, como el centro de masa, fijo al cuerpo rígido.
El movimiento puramente rotacional ocurre si cada partícula en el cuerpo se mueve en un círculo alrededor de una sola línea. Esta línea se llama eje de rotación. Entonces, los radios vectores desde el eje hasta todas las partículas experimentan el mismo desplazamiento angular al mismo tiempo. El eje de rotación no necesita pasar por el cuerpo. En general, cualquier rotación puede especificarse completamente mediante los tres desplazamientos angulares con respecto a los ejes de coordenadas rectangulares x , y y z . Cualquier cambio en la posición del cuerpo rígido se describe completamente mediante tres coordenadas de traslación y tres de rotación.
Cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido puede obtenerse sometiendo primero al cuerpo a un desplazamiento seguido de una rotación, o, a la inversa, a una rotación seguida de un desplazamiento. Ya sabemos que para cualquier conjunto de partículas, ya sea en reposo unas respecto de otras, como en un cuerpo rígido, o en movimiento relativo, como los fragmentos explosivos de una concha, la aceleración del centro de masas está dada por donde M es la masa total del sistema y a cm es la aceleración del centro de masas. Queda por describir la rotación del cuerpo alrededor del centro de masas y relacionarla con las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. La cinemática y la dinámica del movimiento de rotación alrededor de un solo eje se parecen a la cinemática y la dinámica del movimiento de traslación; el movimiento de rotación alrededor de un solo eje incluso tiene un teorema de trabajo-energía análogo al de la dinámica de partículas.
Dada una partícula que se mueve a lo largo de la circunferencia de un círculo de radio , habiéndose movido una longitud de arco , su posición angular es relativa a su posición inicial, donde .
En matemáticas y física, es habitual tratar el radián , una unidad de ángulo plano, como 1, omitiéndolo a menudo. Las unidades se convierten de la siguiente manera:
Un desplazamiento angular es un cambio en la posición angular: donde es el desplazamiento angular, es la posición angular inicial y es la posición angular final.
El cambio en el desplazamiento angular por unidad de tiempo se denomina velocidad angular con dirección a lo largo del eje de rotación. El símbolo de la velocidad angular es y las unidades son típicamente rad s −1 . La rapidez angular es la magnitud de la velocidad angular. ω ¯ = Δ θ Δ t = θ 2 − θ 1 t 2 − t 1 . {\displaystyle {\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}
La velocidad angular instantánea está dada por ω ( t ) = d θ d t . {\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.}
Usando la fórmula para la posición angular y dejando , también tenemos ω = d θ d t = v r , {\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},} donde es la velocidad de traslación de la partícula.
La velocidad angular y la frecuencia están relacionadas por ω = 2 π f . {\displaystyle \omega ={2\pi f}\,.}
Una velocidad angular cambiante indica la presencia de una aceleración angular en un cuerpo rígido, medida típicamente en rad s −2 . La aceleración angular promedio durante un intervalo de tiempo Δ t está dada por α ¯ = Δ ω Δ t = ω 2 − ω 1 t 2 − t 1 . {\displaystyle {\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}
La aceleración instantánea α ( t ) está dada por α ( t ) = d ω d t = d 2 θ d t 2 . {\displaystyle \alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.}
Por lo tanto, la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular, así como la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad.
La aceleración traslacional de un punto del objeto que gira se expresa mediante la fórmula r , donde r es el radio o la distancia desde el eje de rotación. Esta es también la componente tangencial de la aceleración: es tangencial a la dirección de movimiento del punto. Si esta componente es 0, el movimiento es un movimiento circular uniforme y la velocidad cambia solo en dirección.
La aceleración radial (perpendicular a la dirección del movimiento) está dada por Se dirige hacia el centro del movimiento de rotación y a menudo se denomina aceleración centrípeta .
La aceleración angular es causada por el par motor , que puede tener un valor positivo o negativo de acuerdo con la convención de frecuencia angular positiva y negativa. La relación entre el par motor y la aceleración angular (lo difícil que es iniciar, detener o cambiar de alguna otra forma la rotación) está dada por el momento de inercia : .
Cuando la aceleración angular es constante, las cinco cantidades desplazamiento angular , velocidad angular inicial , velocidad angular final , aceleración angular y tiempo se pueden relacionar mediante cuatro ecuaciones de cinemática :
El momento de inercia de un objeto, simbolizado por , es una medida de la resistencia del objeto a los cambios en su rotación. El momento de inercia se mide en kilogramo metro² (kg m 2 ). Depende de la masa del objeto: al aumentar la masa de un objeto, aumenta el momento de inercia. También depende de la distribución de la masa: al distribuir la masa más lejos del centro de rotación, aumenta el momento de inercia en un grado mayor. Para una sola partícula de masa a una distancia del eje de rotación, el momento de inercia viene dado por I = m r 2 . {\displaystyle I=mr^{2}.}
El par es el efecto de torsión de una fuerza F aplicada a un objeto giratorio que está en la posición r con respecto a su eje de rotación. Matemáticamente, τ = r × F , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,} donde × denota el producto vectorial . Un par neto que actúa sobre un objeto producirá una aceleración angular del objeto de acuerdo con τ = I α , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},} tal como F = m a en dinámica lineal.
El trabajo realizado por un torque que actúa sobre un objeto es igual a la magnitud del torque multiplicado por el ángulo a través del cual se aplica el torque:
La potencia de un torque es igual al trabajo realizado por el torque por unidad de tiempo, por lo tanto:
El momento angular es una medida de la dificultad de llevar un objeto giratorio al reposo. Se expresa mediante la fórmula L = ∑ r × p , {\displaystyle \mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,} donde la suma se toma sobre todas las partículas del objeto.
El momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular: L = I ω , {\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},} así como p = m v en dinámica lineal.
El análogo del momento lineal en el movimiento rotatorio es el momento angular. Cuanto mayor sea el momento angular de un objeto giratorio, como un trompo, mayor será su tendencia a seguir girando.
El momento angular de un cuerpo giratorio es proporcional a su masa y a la velocidad con la que gira. Además, el momento angular depende de cómo se distribuye la masa con respecto al eje de rotación: cuanto más alejada esté la masa del eje de rotación, mayor será el momento angular. Un disco plano, como un tocadiscos, tiene menos momento angular que un cilindro hueco de la misma masa y velocidad de rotación.
Al igual que el momento lineal, el momento angular es una magnitud vectorial y su conservación implica que la dirección del eje de giro tiende a permanecer invariable. Por esta razón, la peonza permanece en posición vertical mientras que una que está parada cae inmediatamente.
La ecuación del momento angular se puede utilizar para relacionar el momento de la fuerza resultante sobre un cuerpo alrededor de un eje (a veces llamado torque) y la velocidad de rotación alrededor de ese eje.
El par y el momento angular están relacionados según τ = d L d t , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},} al igual que F = d p / dt en dinámica lineal. En ausencia de un par externo, el momento angular de un cuerpo permanece constante. La conservación del momento angular se demuestra notablemente en el patinaje artístico : al acercar los brazos al cuerpo durante un giro, el momento de inercia disminuye y, por lo tanto, la velocidad angular aumenta.
La energía cinética debida a la rotación del cuerpo está dada por
Al igual que en la dinámica lineal.
La energía cinética es la energía del movimiento. La cantidad de energía cinética traslacional que se encuentra en dos variables: la masa del objeto ( ) y la velocidad del objeto ( ), como se muestra en la ecuación anterior. La energía cinética siempre debe ser cero o un valor positivo. Si bien la velocidad puede tener un valor positivo o negativo, la velocidad al cuadrado siempre será positiva. [1]
El desarrollo anterior es un caso especial de movimiento rotacional general. En el caso general, el desplazamiento angular, la velocidad angular, la aceleración angular y el par se consideran vectores .
Se considera que un desplazamiento angular es un vector que apunta a lo largo del eje y cuya magnitud es igual a la de . Se utiliza una regla de la mano derecha para determinar en qué dirección apunta a lo largo del eje; si los dedos de la mano derecha están curvados para apuntar en la dirección en la que el objeto ha girado, entonces el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección del vector.
El vector de velocidad angular también apunta a lo largo del eje de rotación de la misma manera que los desplazamientos angulares que provoca. Si un disco gira en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde arriba, su vector de velocidad angular apunta hacia arriba. De manera similar, el vector de aceleración angular apunta a lo largo del eje de rotación en la misma dirección en la que apuntaría la velocidad angular si la aceleración angular se mantuviera durante mucho tiempo.
El vector de par apunta a lo largo del eje alrededor del cual el par tiende a provocar la rotación. Para mantener la rotación alrededor de un eje fijo, el vector de par total tiene que estar a lo largo del eje, de modo que solo cambie la magnitud y no la dirección del vector de velocidad angular. En el caso de una bisagra, solo el componente del vector de par a lo largo del eje tiene un efecto sobre la rotación; la estructura compensa otras fuerzas y pares.
En matemáticas , la representación eje-ángulo parametriza una rotación en un espacio euclidiano tridimensional mediante dos cantidades: un vector unitario e que indica la dirección de un eje de rotación y un ángulo de rotación θ que describe la magnitud y el sentido (por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj ) de la rotación sobre el eje. Solo se necesitan dos números, no tres, para definir la dirección de un vector unitario e con raíz en el origen porque la magnitud de e está restringida. Por ejemplo, los ángulos de elevación y acimut de e son suficientes para ubicarlo en cualquier marco de coordenadas cartesiano particular.
Según la fórmula de rotación de Rodrigues , el ángulo y el eje determinan una transformación que hace girar vectores tridimensionales. La rotación se produce en el sentido prescrito por la regla de la mano derecha .
El eje de rotación a veces se denomina eje de Euler. La representación eje-ángulo se basa en el teorema de rotación de Euler , que dicta que cualquier rotación o secuencia de rotaciones de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional es equivalente a una rotación pura sobre un único eje fijo.
Es uno de los muchos formalismos de rotación en tres dimensiones .El caso más simple de rotación alrededor de un eje fijo es el de velocidad angular constante. Entonces, el par total es cero. En el ejemplo de la Tierra girando alrededor de su eje, hay muy poca fricción. En el caso de un ventilador , el motor aplica un par para compensar la fricción. De manera similar al ventilador, los equipos que se encuentran en la industria manufacturera de producción en masa demuestran la rotación alrededor de un eje fijo de manera efectiva. Por ejemplo, se utiliza un torno multihusillo para girar el material sobre su eje para aumentar de manera efectiva la productividad de las operaciones de corte, deformación y torneado. [2] El ángulo de rotación es una función lineal del tiempo, cuyo módulo 360° es una función periódica.
Un ejemplo de esto es el problema de los dos cuerpos con órbitas circulares .
La tensión de tracción interna proporciona la fuerza centrípeta que mantiene unido a un objeto giratorio. Un modelo de cuerpo rígido ignora la deformación que la acompaña . Si el cuerpo no es rígido, esta deformación hará que cambie de forma. Esto se expresa como un cambio de forma del objeto debido a la " fuerza centrífuga ".
Los cuerpos celestes que giran uno alrededor del otro suelen tener órbitas elípticas . El caso especial de las órbitas circulares es un ejemplo de rotación alrededor de un eje fijo: este eje es la línea que pasa por el centro de masas perpendicular al plano de movimiento. La fuerza centrípeta la proporciona la gravedad , véase también el problema de los dos cuerpos . Esto suele aplicarse también a un cuerpo celeste giratorio, por lo que no necesita ser sólido para mantenerse unido a menos que la velocidad angular sea demasiado alta en relación con su densidad. (Sin embargo, tenderá a volverse achatado ). Por ejemplo, un cuerpo celeste giratorio de agua debe tardar al menos 3 horas y 18 minutos en girar, independientemente de su tamaño, o el agua se separará [ cita requerida ] . Si la densidad del fluido es mayor, el tiempo puede ser menor. Véase período orbital . [3]
En geometría , un plano de rotación es un objeto abstracto utilizado para describir o visualizar rotaciones en el espacio.
El uso principal de los planos de rotación es describir rotaciones más complejas en el espacio de cuatro dimensiones y dimensiones superiores , donde se pueden utilizar para descomponer las rotaciones en partes más simples. Esto se puede hacer utilizando álgebra geométrica , con los planos de rotación asociados con bivectores simples en el álgebra. [4]
Los planos de rotación no se utilizan mucho en dos y tres dimensiones , ya que en dos dimensiones solo hay un plano (por lo tanto, identificar el plano de rotación es trivial y rara vez se hace), mientras que en tres dimensiones el eje de rotación cumple el mismo propósito y es el enfoque más establecido.
Matemáticamente, estos planos se pueden describir de varias maneras. Se pueden describir en términos de planos y ángulos de rotación . Se pueden asociar con bivectores del álgebra geométrica . Se relacionan con los autovalores y vectores propios de una matriz de rotación . Y, en dimensiones particulares , se relacionan con otras propiedades algebraicas y geométricas, que luego se pueden generalizar a otras dimensiones.
