El rompecabezas de la prima de las acciones se refiere a la incapacidad de una clase importante de modelos económicos para explicar la prima de riesgo de las acciones ( ERP ) promedio proporcionada por una cartera diversificada de acciones sobre la de bonos gubernamentales , que se ha observado durante más de 100 años. Existe una disparidad significativa entre los rendimientos producidos por las acciones en comparación con los rendimientos producidos por los bonos del Tesoro del gobierno. [1] El rompecabezas de la prima de las acciones aborda la dificultad de comprender y explicar esta disparidad. [1] Esta disparidad se calcula utilizando la prima de riesgo de las acciones :
La prima de riesgo de las acciones equivale a la diferencia entre el rendimiento de las acciones y el de los bonos del Estado. En Estados Unidos, ronda el 5%-8%. [2]
La prima de riesgo representa la compensación que se otorga al accionista por asumir un riesgo mayor al invertir en acciones en lugar de bonos gubernamentales. [1] Sin embargo, la prima del 5% al 8% se considera una diferencia inverosímilmente alta y el rompecabezas de la prima de acciones se refiere a las razones inexplicables que impulsan esta disparidad. [3]
El término fue acuñado por Rajnish Mehra y Edward C. Prescott en un estudio publicado en 1985 titulado "The Equity Premium: A Puzzle" [4] . Una versión anterior del artículo se publicó en 1982 con el título "A test of the intertemporal asset pricing model" [Una prueba del modelo de fijación de precios de activos intertemporales]. Los autores descubrieron que un modelo de equilibrio general estándar, calibrado para reflejar las fluctuaciones clave del ciclo económico estadounidense, generaba una prima de capital de menos del 1% para niveles razonables de aversión al riesgo. Este resultado contrastaba marcadamente con la prima de capital promedio del 6% observada durante el período histórico.
En 1982, Robert J. Shiller publicó el primer cálculo que mostraba que para explicar las medias y las varianzas de los rendimientos de los activos se necesitaba un coeficiente de aversión al riesgo elevado o una variabilidad del consumo contrafácticamente elevada. [5] Sin embargo, Azeredo (2014) muestra que aumentar el nivel de aversión al riesgo puede producir una prima de capital negativa en una economía Arrow-Debreu construida para imitar la persistencia del crecimiento del consumo estadounidense observada en los datos desde 1929. [6]
La noción intuitiva de que las acciones son mucho más riesgosas que los bonos no es una explicación suficiente de la observación de que la magnitud de la disparidad entre ambos retornos, la prima de riesgo de las acciones (ERP), es tan grande que implica un nivel increíblemente alto de aversión al riesgo por parte de los inversores que es fundamentalmente incompatible con otras ramas de la economía, en particular la macroeconomía y la economía financiera .
El proceso de cálculo de la prima de riesgo de las acciones y la selección de los datos utilizados es muy subjetivo para el estudio en cuestión, pero en general se acepta que se encuentra en el rango de 3 a 7% en el largo plazo . Dimson et al. calcularon una prima de "alrededor de 3 a 3,5% sobre una base de media geométrica" para los mercados de acciones globales durante 1900-2005 (2006). [7] Sin embargo, a lo largo de cualquier década, la prima muestra una gran variabilidad: desde más del 19% en la década de 1950 hasta el 0,3% en la de 1970.
En 1997, Siegel descubrió que la desviación típica real de la tasa de retorno a 20 años era de sólo el 2,76%. Esto significa que, para los inversores a largo plazo, el riesgo de mantener acciones de un valor menor al esperado sólo se puede derivar observando la desviación típica de las ganancias anuales. Para los inversores a largo plazo, los riesgos reales de los valores de renta fija son mayores. Mediante una serie de razonamientos, la prima de las acciones debería ser negativa. [8]
Para cuantificar el nivel de aversión al riesgo implícito si estas cifras representaran el rendimiento superior esperado de las acciones sobre los bonos, los inversores preferirían una cierta recompensa de $51.300 a una apuesta 50/50 que pagara $50.000 o $100.000. [9]
El enigma ha dado lugar a un amplio esfuerzo de investigación tanto en el ámbito macroeconómico como financiero. Hasta ahora se han presentado una serie de herramientas teóricas útiles y explicaciones numéricamente plausibles, pero ninguna solución es aceptada en general por los economistas.
La economía tiene un único hogar representativo cuyas preferencias sobre trayectorias de consumo estocásticas están dadas por:
donde es el factor de descuento subjetivo, es el consumo per cápita en el momento , U() es una función de utilidad creciente y cóncava. En la economía de Mehra y Prescott (1985), la función de utilidad pertenece a la clase de aversión al riesgo relativa constante:
donde es el parámetro de aversión relativa al riesgo constante. Cuando , la función de utilidad es la función logarítmica natural. Weil (1989) reemplazó la función de utilidad de aversión relativa al riesgo constante con las preferencias de utilidad no esperadas de Kreps-Porteus.
La función de utilidad de Kreps-Porteus tiene una elasticidad intertemporal de sustitución constante y un coeficiente constante de aversión relativa al riesgo, que no se requiere que estén inversamente relacionados -una restricción impuesta por la función de utilidad de aversión relativa al riesgo constante. Las economías de Mehra y Prescott (1985) y Weil (1989) son variaciones de la economía de intercambio puro de Lucas (1978). En sus economías, la tasa de crecimiento del proceso de dotación, , sigue un proceso ergódico de Markov.
donde . Esta suposición es la diferencia clave entre la economía de Mehra y Prescott y la economía de Lucas, donde el nivel del proceso de dotación sigue un proceso de Markov.
Hay una sola empresa que produce el bien de consumo perecedero. En cualquier momento dado , la producción de la empresa debe ser menor o igual a , que es estocástica y sigue . Solo hay una participación accionaria en manos del hogar representativo.
Resolvemos el problema de elección intertemporal. Esto nos lleva a:
como la ecuación fundamental.
Para calcular el rendimiento de las acciones
dónde
da el resultado. [10]
La derivada del lagrangiano con respecto al porcentaje de acciones poseídas debe ser igual a cero para satisfacer las condiciones necesarias de optimalidad bajo los supuestos de no arbitraje y la ley de un precio .
Existen muchos datos que indican que las acciones tienen mayores rendimientos. Por ejemplo, Jeremy Siegel dice que las acciones en Estados Unidos han tenido un rendimiento del 6,8% anual durante un período de 130 años.
Los defensores del modelo de fijación de precios de activos de capital dicen que esto se debe al mayor beta de las acciones, y que las acciones con mayor beta deberían rendir aún más.
Otros han criticado que el período utilizado en los datos de Siegel no es típico, o que el país no es típico.
Se han propuesto numerosas explicaciones para este enigma, entre ellas:
Kocherlakota (1996), Mehra y Prescott (2003) presentan un análisis detallado de estas explicaciones en los mercados financieros y concluyen que el enigma es real y permanece sin explicación. [11] [12] Revisiones posteriores de la literatura tampoco han encontrado una solución acordada.
El misterio de las primas de las acciones ocupa un lugar especial en las teorías financieras y económicas, y se necesitan más avances para comprender la diferencia entre las acciones y los bonos. Con el tiempo, así como para determinar los factores que impulsan las primas de las acciones en varios países/regiones, es posible que aún haya una agenda de investigación activa. [13]
Un artículo de 2023 de Edward McQuarrie sostiene que la prima de riesgo de las acciones puede no existir, al menos no como se entiende comúnmente, y además se basa en datos de un período de tiempo demasiado estrecho de finales del siglo XX. Sostiene que un examen más detallado de los datos históricos revela que "en períodos de varias décadas, a veces las acciones superaron a los bonos, a veces los bonos superaron a las acciones y, a veces, tuvieron un rendimiento similar. Nuevos datos internacionales confirman este patrón. Los rendimientos de los activos en Estados Unidos en el siglo XX no son generalizables". [14]
Azeredo (2014) demostró que las medidas tradicionales de consumo anteriores a 1930 subestiman el grado de correlación serial en la tasa de crecimiento real anual del consumo per cápita de bienes no durables y servicios en Estados Unidos ("crecimiento del consumo"). [6] Con las medidas alternativas propuestas en el estudio, se encuentra que la correlación serial del crecimiento del consumo es positiva. Esta nueva evidencia implica que una subclase importante de modelos de equilibrio general dinámico estudiados por Mehra y Prescott (1985) genera una prima de capital negativa para niveles razonables de aversión al riesgo, lo que exacerba aún más el problema de la prima de capital.
Una posible solución al enigma de la prima de capital considerada por Julliard y Ghosh (2008) es si puede explicarse mediante la hipótesis de eventos raros, fundada por Rietz (1988). [15] Ellos plantearon la hipótesis de que los eventos económicos extremos como la Gran Depresión, las Guerras Mundiales y la Gran Crisis Financiera dieron lugar a que los accionistas exigieran primas de capital altas para dar cuenta de la posibilidad de la pérdida significativa que podrían sufrir si estos eventos se materializaran. [16] Por lo tanto, cuando estos eventos económicos extremos no ocurren, los accionistas son recompensados con mayores retornos. [17] Sin embargo, Julliard y Ghosh concluyeron que es poco probable que los eventos raros expliquen el enigma de la prima de capital porque el Modelo de Precio de Activos de Capital de Consumo fue rechazado por sus datos y se requerían niveles mucho mayores de aversión al riesgo para explicar el enigma de la prima de capital. [17] Además, los eventos económicos extremos afectan a todos los activos (tanto acciones como bonos) y todos ellos producen bajos retornos. Por ejemplo, la prima de acciones persistió durante la Gran Depresión, y esto sugiere que se requiere un evento económico catastrófico aún mayor, y debe ser uno que afecte sólo a las acciones, no a los bonos. [17]
Benartzi y Thaler (1995) sostienen que el enigma de la prima de las acciones se puede explicar por la aversión miope a las pérdidas y su explicación se basa en la teoría prospectiva de Kahneman y Tversky. [18] Se basan en dos supuestos sobre la toma de decisiones para respaldar la teoría: la aversión a las pérdidas y la contabilidad mental. [18] La aversión a las pérdidas se refiere al supuesto de que los inversores son más sensibles a las pérdidas que a las ganancias y, de hecho, la investigación calcula que la utilidad de las pérdidas sentidas por los inversores es el doble de la utilidad de una ganancia. [18] El segundo supuesto es que los inversores evalúan con frecuencia sus acciones incluso cuando el propósito de la inversión es financiar la jubilación u otros objetivos a largo plazo. [18] Esto hace que los inversores sean más reacios al riesgo en comparación con si evaluaran sus acciones con menos frecuencia. [18] Su estudio encontró que la diferencia entre los rendimientos obtenidos de las acciones y los rendimientos obtenidos de los bonos disminuye cuando las acciones se evalúan con menos frecuencia. [18] La combinación de ambos genera una aversión miope a las pérdidas y Benartzi y Thaler concluyeron que el problema de la prima de capital se puede explicar mediante esta teoría. [18]
Algunas explicaciones se basan en supuestos sobre el comportamiento y las preferencias individuales diferentes de los planteados por Mehra y Prescott. Entre los ejemplos se incluye el modelo de teoría prospectiva de Benartzi y Thaler (1995) basado en la aversión a las pérdidas . [19] Un problema de este modelo es la falta de un modelo general de elección de cartera y valoración de activos para la teoría prospectiva .
Una segunda clase de explicaciones se basa en la relajación de los supuestos de optimización del modelo estándar. El modelo estándar representa a los consumidores como maximizadores de utilidad esperada dinámicamente consistentes y en constante optimización. Estos supuestos proporcionan un vínculo estrecho entre las actitudes hacia el riesgo y las actitudes hacia las variaciones en el consumo intertemporal , lo cual es crucial para derivar el rompecabezas de la prima de capital. Las soluciones de este tipo funcionan debilitando el supuesto de optimización continua, por ejemplo al suponer que los consumidores adoptan reglas satisfactorias en lugar de optimizar. Un ejemplo es la teoría de la decisión de brecha de información [20] , basada en un tratamiento no probabilístico de la incertidumbre, que conduce a la adopción de un enfoque de satisfacción robusto para la asignación de activos.
Otra explicación del problema de la prima de capital se centra en las características del capital que no pueden ser capturadas por los modelos típicos pero que aún así son consistentes con la optimización por parte de los inversores.
La característica más importante que no suele tenerse en cuenta es la exigencia de que los accionistas controlen su actividad y cuenten con un gestor que les asista. Por tanto, la relación principal-agente es muy frecuente entre los gestores de las empresas y los accionistas. Si un inversor decidiera no tener un gestor, probablemente le resultaría costoso controlar la actividad de las empresas en las que invierte y, a menudo, dependería en gran medida de los auditores o recurriría a la hipótesis del mercado en la que se expone la información sobre los valores de los activos en los mercados de valores. Esta hipótesis se basa en la teoría de que un inversor inexperto y desinformado puede confiar en el hecho de que obtendrá rendimientos medios del mercado en una cartera de mercado identificable, lo que es cuestionable en cuanto a si un inversor desinformado puede hacer esto o no. Aunque, en cuanto a las características del capital social a la hora de explicar la prima, sólo es necesario plantear la hipótesis de que las personas que buscan invertir no creen que puedan alcanzar el mismo nivel de rendimiento del mercado. [21]
Otra explicación relacionada con las características de la renta variable fue explorada por una variedad de estudios, incluyendo Holmstrom y Tirole (1998), [22] Bansal y Coleman (1996) [23] y Palomino (1996) y estaba relacionada con la liquidez. [24] Palomino describió el modelo del comerciante de ruido que era delgado y tenía competencia imperfecta en el mercado de acciones y cuanto más cayera su precio de equilibrio, más aumentaría la prima sobre los bonos libres de riesgo. [24] Holmstrom y Tirole en sus estudios desarrollaron otro papel para la liquidez en el mercado de acciones que involucraba a las empresas dispuestas a pagar una prima por los bonos sobre las reclamaciones privadas cuando se enfrentarían a la incertidumbre sobre las necesidades de liquidez. [22]
McGrattan y Prescott (2001) [25] sostienen que otra explicación relacionada con el aumento observado de la prima de capital es que se debe a las variaciones de los impuestos a lo largo del tiempo y, en particular, a su efecto sobre los ingresos por intereses y dividendos. Sin embargo, es difícil dar credibilidad a este análisis debido a las dificultades de calibración utilizadas, así como a la ambigüedad en torno a la existencia de una prima de capital notable antes de 1945. [26] Incluso teniendo en cuenta esto, es evidente que la observación de que la prima de capital cambia como resultado de la distorsión de los impuestos a lo largo del tiempo debería tenerse en cuenta y dar más validez a la prima de capital en sí.
En el Manual de la prima de riesgo de las acciones se mencionan datos relacionados. A partir de 1919, se recogió la recuperación posterior a la Primera Guerra Mundial, pero se omitieron las pérdidas de guerra y los bajos rendimientos anteriores a la guerra. Después de sumar estos años anteriores, la media aritmética de la prima de las acciones británicas para todo el siglo XX es del 6,6%, que es aproximadamente un 2,25% inferior a los datos incorrectos inferidos para el período 1919-1999. [27]
Graham y Harvey han estimado que, para Estados Unidos, la prima promedio esperada durante el período de junio de 2000 a noviembre de 2006 osciló entre 4,65 y 2,50. [28] Encontraron una correlación modesta de 0,62 entre la prima de acciones a 10 años y una medida de volatilidad implícita (en este caso VIX , el índice de volatilidad del Chicago Board Options Exchange ).
Dennis, Mayhew y Stivers (2006) [29] descubrieron que los cambios en la volatilidad implícita tienen un efecto asimétrico en los rendimientos de las acciones. Encontraron que los cambios negativos en la volatilidad implícita tienen un impacto más fuerte en los rendimientos de las acciones que los cambios positivos en la volatilidad implícita. Los autores sostienen que este efecto de volatilidad asimétrica se puede explicar por el hecho de que los inversores están más preocupados por el riesgo de caída que por el potencial de subida. Es decir, los inversores son más propensos a reaccionar a las noticias negativas y esperan que los cambios negativos en la volatilidad implícita tengan un impacto más fuerte en los rendimientos de las acciones. Los autores también descubrieron que los cambios en la volatilidad implícita pueden predecir los rendimientos futuros de las acciones. Las acciones que experimentan cambios negativos en la volatilidad implícita tienen mayores rendimientos esperados en el futuro. Los autores afirman que esta relación es causada por la asociación entre los cambios negativos en la volatilidad implícita y las caídas del mercado.
Yan (2011) [30] presenta una explicación para el rompecabezas de la prima de capital utilizando la pendiente de la sonrisa de volatilidad implícita. La sonrisa de volatilidad implícita se refiere al patrón de volatilidades implícitas para contratos de opciones con la misma fecha de vencimiento pero diferentes precios de ejercicio. La pendiente de la sonrisa de volatilidad implícita refleja las expectativas del mercado para cambios futuros en el precio de las acciones, con una pendiente más pronunciada indicando una volatilidad esperada más alta. El autor muestra que la pendiente de la sonrisa de volatilidad implícita es un predictor significativo de los retornos de las acciones, incluso después de controlar los factores de riesgo tradicionales. Específicamente, las acciones con sonrisas de volatilidad implícitas más pronunciadas (es decir, mayor riesgo de salto) tienen retornos esperados más altos, en consonancia con el rompecabezas de la prima de capital. El autor sostiene que esta relación entre la pendiente de la sonrisa de volatilidad implícita y los retornos de las acciones puede explicarse por la preferencia de los inversores por el riesgo de salto. El riesgo de salto se refiere al riesgo de movimientos repentinos y grandes en el precio de las acciones, que no son capturados completamente por las medidas tradicionales de volatilidad. Yan sostiene que los inversores están dispuestos a aceptar rendimientos promedio más bajos en acciones que tienen un mayor riesgo de salto, porque esperan ser compensados con rendimientos más altos durante períodos de estrés en el mercado.
La interpretación científica más simple del enigma sugiere que la optimización del consumo no es responsable de la prima de capital. Más precisamente, la serie temporal del consumo agregado no es un factor explicativo principal de la prima de capital. [31]
El cerebro humano está (simultáneamente) involucrado en muchas estrategias. Cada una de ellas tiene un objetivo. Si bien son racionales individualmente, las estrategias compiten constantemente por recursos limitados. Incluso dentro de una misma persona, esta competencia produce un comportamiento sumamente complejo que no se ajusta a ningún modelo simple. [32]
Sin embargo, las estrategias individuales pueden entenderse. En finanzas, esto equivale a entender los diferentes productos financieros como derivados de información, es decir, como productos que se derivan de toda la información relevante disponible para el cliente. Si se desconocen los valores numéricos de la prima de capital, el examen racional del producto de capital habría predicho con precisión los valores aproximados observados. [31] [32]
Desde el punto de vista de los derivados de información, la optimización del consumo es sólo un objetivo posible (que nunca se plantea en la práctica en su forma puramente académica). Para un economista con formación clásica, esto puede parecer una pérdida de un principio fundamental, pero también puede ser una conexión muy necesaria con la realidad (capturar el comportamiento real de los inversores reales). Considerar las acciones como un producto independiente (derivado de información) no las aísla del panorama económico más amplio. Las inversiones en acciones sobreviven en competencia con otras estrategias. La popularidad de las acciones como estrategia de inversión exige una explicación. En términos de datos, esto significa que el enfoque de los derivados de información necesita explicar no sólo el rendimiento de las acciones realizado, sino también las primas de acciones esperadas por los inversores. Los datos sugieren que las inversiones en acciones a largo plazo han sido muy buenas a la hora de cumplir las expectativas teóricas. [31] Esto explica la viabilidad de la estrategia, además de su rendimiento (es decir, además de la prima de acciones). [31] [32]
Se han considerado dos grandes clases de fallos del mercado como explicaciones de la prima de capital.
En primer lugar, los problemas de selección adversa y riesgo moral pueden resultar de la ausencia de mercados en los que los individuos puedan asegurarse contra el riesgo sistemático en los ingresos laborales y las ganancias no corporativas.
En segundo lugar, los costos de transacción o las restricciones de liquidez pueden impedir que los individuos estabilizaran el consumo a lo largo del tiempo . En relación con los costos de transacción, existen costos significativamente mayores asociados con la negociación de acciones que con la negociación de bonos. [33] Estos incluyen los costos de adquisición de información, las tarifas de los corredores, los impuestos, las tarifas de carga y el diferencial entre oferta y demanda. [34] Por lo tanto, cuando los accionistas intentan capitalizar la prima de capital ajustando su asignación de activos y comprando más acciones, incurren en costos de transacción significativos que eliminan las ganancias de la prima de capital. [34] Sin embargo, Kocherlakota (1996) sostiene que no hay evidencia suficiente para respaldar esta proposición y que se deben recopilar más datos sobre el tamaño y las fuentes de los costos de transacción antes de poder validar esta proposición. [34]
Una última explicación posible es que no hay ningún enigma que explicar: que no hay prima de capital. [ cita requerida ] Esto se puede argumentar de varias maneras, todas ellas formas diferentes del argumento de que no tenemos suficiente poder estadístico para distinguir la prima de capital de cero:
Una crítica relacionada es que la prima aparente del capital es un artefacto resultante de la observación de burbujas bursátiles en curso.
Sin embargo, cabe señalar que la mayoría de los economistas convencionales coinciden en que la evidencia muestra un poder estadístico sustancial. Benartzi y Thaler analizaron los rendimientos de las acciones durante un período de 200 años, entre 1802 y 1990, y descubrieron que, si bien los rendimientos de las acciones se mantuvieron estables entre el 5,5% y el 6,5%, el rendimiento de los bonos gubernamentales cayó significativamente, de alrededor del 5% al 0,5%. [37] Además, el análisis de cómo los miembros del profesorado financiaron su jubilación mostró que las personas que habían invertido en acciones recibieron rendimientos mucho más altos que las personas que habían invertido en bonos gubernamentales. [18]
Implicaciones para el inversor individual
Para el inversor individual, la prima de las acciones puede representar una recompensa razonable por asumir el riesgo de comprar acciones, de modo que base sus decisiones de asignar activos a acciones o bonos en función de su tolerancia o aversión al riesgo. [35] Por otra parte, si el inversor cree que la prima de las acciones surge de errores y temores, aprovechará ese temor y ese error e invertirá porciones considerables de sus activos en acciones. En este caso, es prudente señalar que los economistas suelen asignar porciones significativas de sus activos a acciones. [35]
En la actualidad, se estima que la prima de las acciones es del 3%. Si bien es inferior a las tasas históricas, sigue siendo significativamente más ventajosa que los bonos para los inversores que invierten en sus fondos de jubilación y otros fondos a largo plazo. [35]
La magnitud de la prima de capital conlleva implicaciones sustanciales para las políticas, el bienestar y también la asignación de recursos.
Implicaciones políticas y de bienestar
Campbell y Cochrane (1995) han descubierto, en un estudio de un modelo que simula valores de primas de acciones consistentes con los precios de los activos, que los costos de bienestar son similares en magnitud a los beneficios de bienestar. [38] Por lo tanto, esencialmente, una prima de riesgo alta en una sociedad donde los precios de los activos son un reflejo de las preferencias de los consumidores, implica que el costo del bienestar también es alto. También significa que en las recesiones, los costos de bienestar son excesivos independientemente del consumo agregado. A medida que la prima de acciones aumenta, los valores marginales de ingresos en estado de recesión también aumentan de manera constante, aumentando así aún más los costos de bienestar de las recesiones. Esto también plantea preguntas sobre la necesidad de políticas microeconómicas que operen mediante una mayor productividad en el largo plazo, compensando el dolor de corto plazo en forma de costos de ajuste. Dado el impacto en el bienestar a través de las recesiones y la gran prima de acciones, es evidente que estas compensaciones de corto plazo como resultado de la política económica probablemente no sean ideales, y sería preferible que ocurrieran en tiempos de actividad económica normal. [21]
Asignación de recursos
Cuando existe una prima de riesgo elevada asociada a la renta variable, el riesgo sistemático tiene un alto coste en las rentabilidades, como por ejemplo sus posibles consecuencias para las decisiones individuales sobre la cartera de inversiones. Algunas investigaciones han sostenido que las altas tasas de rentabilidad son simplemente signos de una aversión al riesgo mal encauzada, en la que los inversores pueden obtener altas rentabilidades con poco riesgo al cambiar de acciones a otros activos, como los bonos. [21] Las investigaciones, por el contrario, indican que un gran porcentaje del público en general cree que el mercado de valores es mejor para los inversores que están en él a largo plazo [39], y también puede vincularse con otra implicación, que son las tendencias en la prima de las acciones. Se han hecho algunas afirmaciones de que la prima de las acciones ha disminuido con el tiempo en los últimos años [40], y pueden estar respaldadas por otros estudios que sostienen que las reducciones de impuestos también pueden seguir reduciendo la prima [41] y el hecho de que los costes de transacción en los mercados de valores disminuyan es coherente con una prima decreciente. [21] La implicación de tendencia también está respaldada por modelos como los "comerciantes de ruido" que crean una prima cíclica debido a que los comerciantes de ruido son excesivamente optimistas, por lo que disminuyen la prima, y viceversa, cuando el optimismo se reemplaza por pesimismo, esto explicaría la disminución constante de la prima de acciones como una burbuja de precios de acciones. [21]
![{\displaystyle E_{0}\left[\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}U(c_{t})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d212425747e0730cdb90df87bea04a1e2b18af2c)
![{\displaystyle U_{t}=\left[c_{t}^{1-\rho }+\beta (E_{t}U_{t+1}^{1-\alpha })^{(1-\rho )/(1-\alpha )}\right]^{1/(1-\rho )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9b2f77a631a24d07681ce69905ef982817e98b)
![{\displaystyle P\left[x_{t+1}=\lambda _{j}|x_{t}=\lambda _{i}\right]=\phi _{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09798eb461345a7a5fd54d3cca2505b7ea8be0aa)
![{\displaystyle p_{t}U'(c_{t})=\beta E_{t}[(p_{t+1}+y_{t+1})U'(c_{t+1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31563e3fe484c22541a2ed2dec064d6f46561dd)
![{\displaystyle 1=\beta E_{t}\left[{\frac {U'(c_{t+1})}{U'(c_{t})}}R_{e,t+1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f735c975cfd5a35716ab16238697c61205e1e7)
