Crecimiento exponencial

El crecimiento exponencial es un proceso que aumenta la cantidad con el tiempo a un ritmo cada vez mayor. Ocurre cuando la tasa de cambio instantánea (es decir, la derivada ) de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad misma. Descrita como función , una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (a diferencia de otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático ). El crecimiento exponencial es lo inverso del crecimiento logarítmico .

Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y se dice que está experimentando un decaimiento exponencial . En el caso de un dominio de definición discreto con intervalos iguales, también se le llama crecimiento geométrico o decrecimiento geométrico ya que los valores de la función forman una progresión geométrica .

La fórmula para el crecimiento exponencial de una variable $x$ a la tasa de crecimiento $r$ , a medida que el tiempo $t$ transcurre en intervalos discretos (es decir, en números enteros multiplicados por 0, 1, 2, 3, ...), es

x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}

donde $x 0$ es el valor de $x en el tiempo 0. A menudo se utiliza el crecimiento de una$ colonia bacteriana para ilustrarlo. Una bacteria se divide en dos, cada una de las cuales se divide dando como resultado cuatro, luego ocho, 16, 32, y así sucesivamente. La cantidad de aumento sigue aumentando porque es proporcional al número cada vez mayor de bacterias. Un crecimiento como este se observa en actividades o fenómenos de la vida real, como la propagación de infecciones virales, el crecimiento de la deuda debido al interés compuesto y la difusión de videos virales . En casos reales, el crecimiento exponencial inicial a menudo no dura para siempre, sino que eventualmente se desacelera debido a límites superiores causados por factores externos y se convierte en un crecimiento logístico .

Términos como "crecimiento exponencial" a veces se interpretan incorrectamente como "crecimiento rápido". De hecho, algo que crece exponencialmente puede crecer lentamente al principio. ^[1]^[2]

Ejemplos

Las bacterias exhiben un crecimiento exponencial en condiciones óptimas.

Biología

La cantidad de microorganismos en un cultivo aumentará exponencialmente hasta que se agote un nutriente esencial, por lo que no habrá más de ese nutriente para que crezcan más organismos. Por lo general, el primer organismo se divide en dos organismos hijos, que luego se dividen para formar cuatro, que se dividen para formar ocho, y así sucesivamente. Debido a que el crecimiento exponencial indica una tasa de crecimiento constante, con frecuencia se supone que las células en crecimiento exponencial se encuentran en un estado estacionario. Sin embargo, las células pueden crecer exponencialmente a un ritmo constante mientras remodelan su metabolismo y expresión genética. ^[3]
Un virus (por ejemplo , el COVID-19 o la viruela ) normalmente se propaga exponencialmente al principio, si no se dispone de inmunización artificial. Cada persona infectada puede infectar a varias personas nuevas.

Física

Ruptura por avalancha dentro de un material dieléctrico . Un electrón libre se acelera lo suficiente por un campo eléctrico aplicado externamente que libera electrones adicionales cuando choca con átomos o moléculas del medio dieléctrico. Estos electrones secundarios también se aceleran, creando una mayor cantidad de electrones libres. El crecimiento exponencial resultante de electrones e iones puede conducir rápidamente a una ruptura dieléctrica completa del material.
Reacción nuclear en cadena (el concepto detrás de los reactores nucleares y las armas nucleares ). Cada núcleo de uranio que sufre fisión produce múltiples neutrones , cada uno de los cuales puede ser absorbido por átomos de uranio adyacentes, provocando que a su vez se fisionen. Si la probabilidad de absorción de neutrones excede la probabilidad de escape de neutrones (una función de la forma y masa del uranio), la tasa de producción de neutrones y las fisiones de uranio inducidas aumentan exponencialmente, en una reacción incontrolada. "Debido a la tasa exponencial de aumento, en cualquier punto de la reacción en cadena el 99% de la energía habrá sido liberada en las últimas 4,6 generaciones. Es una aproximación razonable pensar en las primeras 53 generaciones como un período de latencia que conduce a la explosión real, que sólo lleva de 3 a 4 generaciones". ^[4]
La retroalimentación positiva dentro del rango lineal de la amplificación eléctrica o electroacústica puede dar como resultado un crecimiento exponencial de la señal amplificada, aunque los efectos de resonancia pueden favorecer algunas frecuencias componentes de la señal sobre otras.

Ciencias económicas

El crecimiento económico se expresa en términos porcentuales, lo que implica un crecimiento exponencial.

Finanzas

El interés compuesto a un tipo de interés constante proporciona un crecimiento exponencial del capital. ^[5] Véase también la regla del 72 .
Los esquemas piramidales o esquemas Ponzi también muestran este tipo de crecimiento, lo que resulta en grandes ganancias para unos pocos inversores iniciales y pérdidas entre un gran número de inversores.

Ciencias de la Computación

Potencia de procesamiento de las computadoras. Véase también ley de Moore y singularidad tecnológica . (Bajo el crecimiento exponencial, no hay singularidades. La singularidad aquí es una metáfora, destinada a transmitir un futuro inimaginable. El vínculo de este concepto hipotético con el crecimiento exponencial lo expresa más claramente el futurista Ray Kurzweil .)
En la teoría de la complejidad computacional , los algoritmos informáticos de complejidad exponencial requieren una cantidad de recursos cada vez mayor (por ejemplo, tiempo, memoria de la computadora) para solo un aumento constante en el tamaño del problema. Entonces, para un algoritmo de complejidad temporal $2 x$ , si un problema de tamaño $x = 10$ requiere 10 segundos para completarse, y un problema de tamaño $x = 11$ requiere 20 segundos, entonces un problema de tamaño $x = 12$ requerirá 40 segundos. Este tipo de algoritmo normalmente resulta inutilizable en problemas de tamaño muy pequeño, a menudo entre 30 y 100 elementos (la mayoría de los algoritmos informáticos necesitan poder resolver problemas mucho más grandes, hasta decenas de miles o incluso millones de elementos en tiempos razonables, algo que ser físicamente imposible con un algoritmo exponencial). Además, los efectos de la Ley de Moore no ayudan mucho a la situación porque duplicar la velocidad del procesador simplemente aumenta el tamaño factible del problema en una constante. Por ejemplo, si un procesador lento puede resolver problemas de tamaño $x$ en el tiempo $t$ , entonces un procesador dos veces más rápido sólo podría resolver problemas de tamaño $x + constante$ en el mismo tiempo $t$ . Por lo tanto, los algoritmos exponencialmente complejos suelen ser poco prácticos, y la búsqueda de algoritmos más eficientes es uno de los objetivos centrales de la informática actual.

Fenómenos de Internet

Los contenidos de Internet, como los memes o vídeos de Internet , pueden propagarse de manera exponencial, a menudo se dice que " se vuelven virales " como analogía con la propagación de virus. ^[6] Con medios como las redes sociales , una persona puede reenviar el mismo contenido a muchas personas simultáneamente, quienes luego lo difunden a más personas, y así sucesivamente, provocando una rápida difusión. ^[7] Por ejemplo, el vídeo Gangnam Style se subió a YouTube el 15 de julio de 2012, llegando a cientos de miles de espectadores el primer día, millones el vigésimo día, y fue visto acumulativamente por cientos de millones en menos de dos meses. ^[6]^[8]

Fórmula básica

Una cantidad $x$ depende exponencialmente del tiempo $t$ si

x(t)=a\cdot b^{t/\tau }

a

x

x(0)=a\,,

b

τ

constante de tiempo

x

b

x(t+\tau )=a\cdot b^{\frac {t+\tau }{\tau }}=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\cdot b^{ \frac {\tau }{\tau }}=x(t)\cdot b\,.

Si $τ > 0$ y $b > 1$ , entonces $x$ tiene un crecimiento exponencial. Si $τ < 0$ y $b > 1$ , o $τ > 0$ y $0 < b < 1$ , entonces $x$ tiene decaimiento exponencial .

Ejemplo: si una especie de bacteria se duplica cada diez minutos, comenzando con una sola bacteria, ¿cuántas bacterias estarán presentes después de una hora? La pregunta implica $a = 1$ , $b = 2$ y $τ = 10 min$ .

x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}

x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{ 6}=64.

Después de una hora, o seis intervalos de diez minutos, habría sesenta y cuatro bacterias.

Muchos pares $(b, τ)$ de un número adimensional no negativo $b$ y una cantidad de tiempo $τ$ (una cantidad física que puede expresarse como el producto de un número de unidades por una unidad de tiempo) representan la misma tasa de crecimiento, con $τ$ proporcional a $log b$ . Para cualquier $b$ fijo que no sea igual a 1 (por ejemplo, e o 2), la tasa de crecimiento viene dada por el tiempo $τ$ distinto de cero . Para cualquier tiempo τ distinto de cero $,$ la tasa de crecimiento viene dada por el número positivo adimensional $b$ .

Por tanto, la ley del crecimiento exponencial se puede escribir de formas diferentes pero matemáticamente equivalentes, utilizando una base diferente . Las formas más comunes son las siguientes:

x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_ {0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},

x 0

x (0)

Parámetros (negativos en el caso de caída exponencial):

La constante de crecimiento $k$ es la frecuencia (número de veces por unidad de tiempo) de crecimiento por un factor $e$ ; en finanzas también se le llama rendimiento logarítmico, rendimiento continuamente compuesto o fuerza de interés .
El tiempo de plegado electrónico τ es el tiempo que tarda en crecer en un factor e .
El tiempo de duplicación T es el tiempo que tarda en duplicarse.
El aumento porcentual $r$ (un número adimensional) en un período $p$ .

Las cantidades $k$ , $τ$ y $T$ , y para una $p$ dada también $r$ , tienen una conexión uno a uno dada por la siguiente ecuación (que se puede derivar tomando el logaritmo natural de lo anterior):

k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100} }\derecha)}{p}}

k = 0

r = 0

τ

T

Si $p$ es la unidad de tiempo el cociente $t / p$ es simplemente el número de unidades de tiempo. Usando la notación $t$ para el número (adimensional) de unidades de tiempo en lugar del tiempo en sí, $t / p$ puede reemplazarse por $t$ , pero por motivos de uniformidad esto se ha evitado aquí. En este caso, la división por $p$ en la última fórmula tampoco es una división numérica, sino que convierte un número adimensional a la cantidad correcta, incluida la unidad.

Un método aproximado popular para calcular el tiempo de duplicación a partir de la tasa de crecimiento es la regla de 70 , es decir, . $T\simeq 70/r$

Gráficos que comparan los tiempos de duplicación y las vidas medias de crecimientos exponenciales (líneas en negrita) y decrecimiento (líneas tenues), y sus aproximaciones de 70/ t y 72/ t . En la versión SVG, pase el cursor sobre un gráfico para resaltarlo y su complemento.

Reformulación como crecimiento log-lineal

Si una variable $x$ muestra un crecimiento exponencial según , entonces el log (en cualquier base) de $x$ crece linealmente con el tiempo, como se puede ver tomando logaritmos de ambos lados de la ecuación de crecimiento exponencial: $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$

\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).

Esto permite modelar una variable que crece exponencialmente con un modelo log-lineal . Por ejemplo, si se desea estimar empíricamente la tasa de crecimiento a partir de datos intertemporales sobre $x$ , se puede hacer una regresión lineal $de log x$ sobre $t$ .

Ecuación diferencial

La función exponencial satisface la ecuación diferencial lineal : $x(t)=x_{0}e^{kt}$

{\frac {dx}{dt}}=kx

x

t

x (t)

x (t)

valor inicial

x(0)=x_{0}

La ecuación diferencial se resuelve por integración directa:

{\begin{alineado}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}

x(t)=x_{0}e^{kt}.

En la ecuación diferencial anterior, si $k < 0$ , entonces la cantidad experimenta una caída exponencial .

Para una variación no lineal de este modelo de crecimiento, consulte función logística .

Otras tasas de crecimiento

A largo plazo, el crecimiento exponencial de cualquier tipo superará al crecimiento lineal de cualquier tipo (esa es la base de la catástrofe malthusiana ), así como a cualquier crecimiento polinómico , es decir, para todo $α$ :

\lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.

Existe toda una jerarquía de tasas de crecimiento concebibles que son más lentas que las exponenciales y más rápidas que las lineales (en el largo plazo). Ver Grado de un polinomio § Calculado a partir de los valores de la función .

Las tasas de crecimiento también pueden ser más rápidas que exponenciales. En el caso más extremo, cuando el crecimiento aumenta sin límite en un tiempo finito, se denomina crecimiento hiperbólico . Entre el crecimiento exponencial y el hiperbólico se encuentran más clases de comportamiento de crecimiento, como las hiperoperaciones que comienzan en la tetración y la diagonal de la función de Ackermann . $A(n,n)$

Crecimiento logístico

En realidad, el crecimiento exponencial inicial muchas veces no se sostiene para siempre. Después de un período, se verá frenado por factores externos o ambientales. Por ejemplo, el crecimiento de la población puede alcanzar un límite superior debido a limitaciones de recursos. ^[9] En 1845, el matemático belga Pierre François Verhulst propuso por primera vez un modelo matemático de crecimiento como éste, llamado " crecimiento logístico ". ^[10]

Limitaciones de los modelos

Los modelos de crecimiento exponencial de fenómenos físicos sólo se aplican dentro de regiones limitadas, ya que el crecimiento ilimitado no es físicamente realista. Aunque el crecimiento puede ser inicialmente exponencial, los fenómenos modelados eventualmente entrarán en una región en la que los factores de retroalimentación negativa previamente ignorados se vuelven significativos (lo que lleva a un modelo de crecimiento logístico ) o se rompen otros supuestos subyacentes del modelo de crecimiento exponencial, como la continuidad o la retroalimentación instantánea. abajo.

Sesgo de crecimiento exponencial

Los estudios muestran que los seres humanos tienen dificultades para comprender el crecimiento exponencial. El sesgo de crecimiento exponencial es la tendencia a subestimar los procesos de crecimiento compuesto. Este sesgo también puede tener implicaciones financieras. ^[11]

A continuación se presentan algunas historias que enfatizan este sesgo.

Arroz en un tablero de ajedrez

Según una antigua leyenda, el visir Sissa Ben Dahir regaló al rey indio Sharim un hermoso tablero de ajedrez hecho a mano . El rey preguntó qué quería a cambio de su regalo y el cortesano sorprendió al rey pidiéndole un grano de arroz en el primer cuadrado, dos granos en el segundo, cuatro granos en el tercero, etc. El rey accedió de inmediato y preguntó. para que le trajeran el arroz. Todo salió bien al principio, pero el requisito de $2 n -1$ granos en el $n$ ésimo cuadrado exigía más de un millón de granos en el 21, más de un millón de millones (también conocido como billón ) en el 41 y simplemente no había suficiente arroz en el mundo entero para las plazas finales. (De Swirski, 2006) ^[12]

La segunda mitad del tablero de ajedrez es el momento en que una influencia en crecimiento exponencial tiene un impacto económico significativo en la estrategia comercial general de una organización.

Lirio de agua

A los niños franceses se les plantea un acertijo que parece ser un aspecto del crecimiento exponencial: "la aparente brusquedad con la que una cantidad que crece exponencialmente se acerca a un límite fijo". El acertijo imagina una planta de nenúfar creciendo en un estanque. La planta duplica su tamaño cada día y, si se la deja sola, asfixiaría el estanque en 30 días, matando a todos los demás seres vivos en el agua. Día tras día, el crecimiento de la planta es pequeño, por lo que se decide que no será una preocupación hasta que cubra la mitad del estanque. ¿Qué día será ese? El día 29, quedando sólo un día para salvar el estanque. ^[13]^[12]

Ver también

Referencias

^ Suri, Manil (4 de marzo de 2019). "Opinión | Deja de decir 'exponencial'. Sinceramente, un nerd de las matemáticas". Los New York Times .
^ "Diez palabras científicas que probablemente estés usando mal". Como funcionan las cosas . 11 de julio de 2014.
^ Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M .; van Oudenaarden, Alejandro (2014). "La tasa de crecimiento constante puede respaldarse reduciendo el flujo de energía y aumentando la glucólisis aeróbica". Informes celulares . 7 (3): 705–714. doi :10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN 2211-1247. PMC 4049626 . PMID 24767987.
^ Sublette, Carey. "Introducción a la física y el diseño de armas nucleares". Archivo de armas nucleares . Consultado el 26 de mayo de 2009 .
^ Crauder, Evans y Noell 2008, págs. 314–315.
^ ab Ariel Cintrón-Arias (2014). "Para volverse viral". arXiv : 1402.3499 [física.soc-ph].
^ Karine Nahón; Jeff Hemsley (2013). Ir viral. Gobierno. pag. 16.ISBN _ 978-0-7456-7129-1.
^ Youtube (2012). "Gangnam Style vs Call Me Maybe: una comparación de popularidad". Tendencias de YouTube .
^ Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Funciones y cambios: un enfoque de modelado del álgebra universitaria. Houghton Mifflin Harcourt. pag. 398.ISBN _ 978-1-111-78502-4.
^ Bernstein, Rut (2003). Ecología de poblaciones: una introducción a las simulaciones por computadora. John Wiley e hijos. pag. 37.ISBN _ 978-0-470-85148-7.
^ Stango, Víctor; Zinman, Jonathan (2009). "Sesgo de crecimiento exponencial y financiación de los hogares". La Revista de Finanzas . 64 (6): 2807–2849. doi :10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.
^ ab Porritt, Jonathan (2005). Capitalismo: como si el mundo importara . Londres: Earthscan. pag. 49.ISBN _ 1-84407-192-8.
^ Prados, Donella (2004). Los límites del crecimiento: la actualización de 30 años . Publicación verde de Chelsea. pag. 21.ISBN _ 9781603581554.

Fuentes

Prados, Donella. Randers, Jorgen. Prados, Dennis. Los límites del crecimiento : la actualización de 30 años. Editorial verde de Chelsea, 2004. ISBN 9781603581554
Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers y William W. Behrens III. (1972) Los límites del crecimiento . Nueva York: Libros universitarios. ISBN 0-87663-165-0
Porritt, J. Capitalismo como si el mundo importara , Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
Swirski, Peter. De la literatura y el conocimiento: exploraciones en experimentos de pensamiento narrativo, evolución y teoría de juegos . Nueva York: Routledge. ISBN 0-415-42060-1
Thomson, David G. Plan para mil millones: siete elementos esenciales para lograr un crecimiento exponencial , Wiley, diciembre de 2005, ISBN 0-471-74747-5
Tsirel, SV 2004. Sobre las posibles razones del crecimiento hiperexponencial de la población de la Tierra. Modelización matemática de la dinámica social y económica / Ed. por MG Dmitriev y AP Petrov, págs. 367–9. Moscú: Universidad Social Estatal de Rusia, 2004.

enlaces externos

Crecimiento en un mundo finito – Sostenibilidad y función exponencial – Presentación
Dr. Albert Bartlett: Aritmética, Población y Energía: transmisión de video y audio 58 min