Regla del 72

Métodos para estimar el tiempo de duplicación de una inversión

En finanzas , la regla del 72 , la regla del 70 ^[1] y la regla del 69.3 son métodos para estimar el tiempo de duplicación de una inversión . El número de la regla (por ejemplo, 72) se divide por el porcentaje de interés por período (normalmente años) para obtener el número aproximado de períodos necesarios para la duplicación. Aunque las calculadoras científicas y los programas de hojas de cálculo tienen funciones para encontrar el tiempo de duplicación preciso, las reglas son útiles para los cálculos mentales y cuando solo se dispone de una calculadora básica . ^[2]

Estas reglas se aplican al crecimiento exponencial y, por lo tanto, se utilizan para los cálculos de interés compuesto en lugar de los de interés simple . También se pueden utilizar para la descomposición para obtener un tiempo de reducción a la mitad. La elección del número es principalmente una cuestión de preferencia: 69 es más preciso para la capitalización continua, mientras que 72 funciona bien en situaciones de interés común y es más fácil de dividir. Hay una serie de variaciones de las reglas que mejoran la precisión. Para la capitalización periódica, el tiempo exacto de duplicación para una tasa de interés de r por ciento por período es

${\displaystyle t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}}}$,

donde t es el número de períodos necesarios. La fórmula anterior se puede utilizar para más cosas que calcular el tiempo de duplicación. Si se desea conocer el tiempo de triplicación, por ejemplo, se reemplaza la constante 2 en el numerador por 3. Como otro ejemplo, si se desea conocer el número de períodos que se necesitan para que el valor inicial aumente en un 50%, se reemplaza la constante 2 por 1,5.

Uso de la regla para estimar los períodos de capitalización

Para estimar el número de períodos necesarios para duplicar una inversión original, divida la "cantidad-regla" más conveniente por la tasa de crecimiento esperada, expresada como porcentaje.

• Por ejemplo, si usted invirtiera $100 con un interés compuesto a una tasa del 9% anual, la regla del 72 da 72/9 = 8 años necesarios para que la inversión valga $200; un cálculo exacto da ln(2) /ln(1+0,09) = 8,0432 años.

De manera similar, para determinar el tiempo que tarda el valor del dinero en reducirse a la mitad a una tasa dada, divida la cantidad de la regla por esa tasa.

• Para determinar el tiempo que tardará el poder adquisitivo del dinero en reducirse a la mitad, los financieros dividen la cantidad de la regla por la tasa de inflación . Por lo tanto, con una inflación del 3,5% utilizando la regla del 70 , el valor de una unidad monetaria debería tardar aproximadamente 70/3,5 = 20 años en reducirse a la mitad. ^[1]
• Para estimar el impacto de las tarifas adicionales en las pólizas financieras (por ejemplo, tarifas y gastos de fondos mutuos , cargos por gastos y recargos en carteras de inversión de seguros de vida universales variables ), divida 72 por la tarifa. Por ejemplo, si la póliza de vida universal cobra una tarifa anual del 3 % por encima del costo del fondo de inversión subyacente, entonces el valor total de la cuenta se reducirá al 50 % en 72 / 3 = 24 años, y luego al 25 % del valor en 48 años, en comparación con mantener exactamente la misma inversión fuera de la póliza.

Elección de la regla

El valor 72 es una elección conveniente de numerador, ya que tiene muchos divisores pequeños : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12. Proporciona una buena aproximación para la capitalización anual y para la capitalización a tasas típicas (del 6% al 10%); las aproximaciones son menos precisas a tasas de interés más altas.

Para la capitalización continua, 69 da resultados precisos para cualquier tasa, ya que ln (2) es aproximadamente 69,3%; véase la derivación a continuación. Dado que la capitalización diaria es bastante cercana a la capitalización continua, para la mayoría de los propósitos 69, 69,3 o 70 son mejores que 72 para la capitalización diaria. Para tasas anuales más bajas que las anteriores, 69,3 también sería más preciso que 72. ^[3] Para tasas anuales más altas, 78 es más preciso.

Gráficos que comparan los tiempos de duplicación y las vidas medias de crecimientos exponenciales (líneas en negrita) y decrecimientos (líneas tenues), y sus aproximaciones 70/ t y 72/ t . En la versión SVG, pase el cursor sobre un gráfico para resaltarlo y su complemento.

Nota: El valor más preciso en cada fila está en cursiva y el más preciso de las reglas más simples, en negrita.

Historia

Una referencia temprana a la regla se encuentra en la Summa de arithmetica (Venecia, 1494. Fol. 181, n. 44) de Luca Pacioli (1445-1514). Presenta la regla en un debate sobre la estimación del tiempo de duplicación de una inversión, pero no la deriva ni la explica, por lo que se supone que la regla es anterior a Pacioli en algún momento.

A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l'anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72 , a mente, il quale semper partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sará raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 por 100 el año, dico che si parta 72 por 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale. (énfasis añadido).

Traducido aproximadamente:

Para saber de un capital cualquiera, a un porcentaje anual dado, en cuántos años se duplicará añadiendo el interés al capital, tened por regla general presente el número 72, que dividiréis siempre por el interés, y lo que resulte, en tantos años se duplicará. Ejemplo: Cuando el interés es del 6 por ciento anual, digo que se divide 72 por 6; resulta 12, y en 12 años se duplicará el capital.

Ajustes para una mayor precisión

Para tasas más altas, sería mejor usar un numerador más grande (por ejemplo, para el 20%, usar 76 para obtener 3,8 años tendría una diferencia de solo 0,002, mientras que usar 72 para obtener 3,6 tendría una diferencia de aproximadamente 0,2). Esto se debe a que, como se indicó anteriormente, la regla de 72 es solo una aproximación que es precisa para tasas de interés del 6% al 10%.

Por cada tres puntos porcentuales que se alejen del 8%, el valor de 72 podría ajustarse en 1:

${\displaystyle t\approx {\frac {72+(r-8)/3}{r}}}$

o, para el mismo resultado:

${\displaystyle t\approx {\frac {70+(r-2)/3}{r}}}$

Ambas ecuaciones se simplifican a:

${\displaystyle t\approx {\frac {208}{3r}}+{\frac {1}{3}}}$

Tenga en cuenta que está bastante cerca de 69,3. ${\displaystyle {\frac {208}{3}}}$

Regla EM

La regla de segundo orden de Eckart-McHale (la regla EM) proporciona una corrección multiplicativa para la regla de 69,3 que es muy precisa para tasas de 0% a 20%, mientras que la regla normalmente sólo es precisa en el extremo más bajo de las tasas de interés, de 0% a aproximadamente 5%.

Para calcular la aproximación EM, multiplique el resultado de la regla 69,3 por 200/(200− r ) de la siguiente manera:

${\displaystyle t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {200}{200-r}}}$.

Por ejemplo, si la tasa de interés es del 18%, la regla del 69,3 da t = 3,85 años, que la regla EM multiplica por (es decir, 200/(200−18)) para dar un tiempo de duplicación de 4,23 años. Como el tiempo de duplicación real a esta tasa es de 4,19 años, la regla EM da una aproximación más cercana que la regla del 72. ${\displaystyle {\frac {200}{182}}}$

Para obtener una corrección similar para la regla del 70 o del 72, se puede fijar uno de los numeradores y ajustar el otro para mantener su producto aproximadamente igual. La regla EM también se podría escribir así:

${\displaystyle t\approx {\frac {70}{r}}\times {\frac {198}{200-r}}}$o ${\displaystyle t\approx {\frac {72}{r}}\times {\frac {192}{200-r}}}$

En estas variantes, la corrección multiplicativa pasa a ser 1 respectivamente para r=2 y r=8, los valores para los cuales las reglas de 70 y 72 son más precisas.

Padé aproximado

La aproximación de Padé de tercer orden proporciona una respuesta más precisa en un rango aún mayor de r , pero tiene una fórmula ligeramente más complicada:

${\displaystyle t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {4r+600}{r+600}}}$

Lo cual se simplifica a:

${\displaystyle t\approx {\frac {1386r+207900}{5r^{2}+3000r}}}$

Derivación

Interés compuesto periódico

Para la capitalización periódica , el valor futuro viene dado por:

${\displaystyle FV=PV\cdot (1+r)^{t}}$

donde es el valor actual , es el número de períodos de tiempo y representa la tasa de interés por período de tiempo. ${\displaystyle PV}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$

El valor futuro es el doble del valor presente cuando:

${\displaystyle FV=PV\cdot 2}$

cual es la siguiente condición:

${\displaystyle (1+r)^{t}=2\,}$

Esta ecuación se resuelve fácilmente para : ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln((1+r)^{t})&=\ln 2\\t\ln(1+r)&=\ln 2\\t&={\frac {\ln 2}{\ln(1+r)}}\end{aligned}}}$

Una simple reordenación muestra:

${\displaystyle {\frac {\ln {2}}{\ln {(1+r)}}}={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {r}{\ln(1+r)}}{\bigg )}}$

Si r es pequeño, entonces ln(1 + r ) es aproximadamente igual a r (este es el primer término de la serie de Taylor ). Es decir, el último factor crece lentamente cuando r es cercano a cero. ${\displaystyle r}$

Llamamos a este último factor . Se demuestra que la función es precisa en la aproximación de para una tasa de interés positiva pequeña cuando (ver la derivación a continuación). , y por lo tanto, aproximamos el tiempo como: ${\displaystyle f(r)={\frac {r}{\ln(1+r)}}}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r=.08}$ ${\displaystyle f(.08)\approx 1.03949}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}f(.08)\approx {\frac {.72}{r}}}$

Escrito como porcentaje:

${\displaystyle {\frac {.72}{r}}={\frac {72}{100r}}}$

Esta aproximación aumenta en precisión a medida que la capitalización del interés se vuelve continua (ver la derivación a continuación). se escribe como un porcentaje . ${\displaystyle 100r}$ ${\displaystyle r}$

Para obtener los ajustes más precisos presentados anteriormente, se observa que se aproxima más estrechamente mediante (utilizando el segundo término en la serie de Taylor ). luego se puede simplificar aún más mediante aproximaciones de Taylor: ${\displaystyle \ln(1+r)\,}$ ${\displaystyle r-{\frac {r^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}&={\frac {69.3}{R-R^{2}/200}}\\&\\&={\frac {69.3}{R}}{\frac {1}{1-R/200}}\\&&\\&\approx {\frac {69.3(1+R/200)}{R}}\\&&\\&={\frac {69.3}{R}}+{\frac {69.3}{200}}\\&&\\&={\frac {69.3}{R}}+0.3465.\end{aligned}}}$

Reemplazar la " R " en R /200 en la tercera línea por 7,79 da 72 en el numerador. Esto demuestra que la regla del 72 es más precisa para intereses compuestos periódicamente de alrededor del 8 %. De manera similar, reemplazar la " R " en R /200 en la tercera línea por 2,02 da 70 en el numerador, lo que demuestra que la regla del 70 es más precisa para intereses compuestos periódicamente de alrededor del 2 %.

Alternativamente, la regla EM se obtiene si se utiliza directamente la aproximación de Taylor de segundo orden.

Composición continua

Para la composición continua , la derivación es más simple y produce una regla más precisa:

${\displaystyle {\begin{aligned}(e^{r})^{p}&=2\\e^{rp}&=2\\\ln e^{rp}&=\ln 2\\rp&=\ln 2\\p&={\frac {\ln 2}{r}}\\p&\approx {\frac {0.693147}{r}}\end{aligned}}}$

Véase también

• Crecimiento exponencial
• Valor temporal del dinero
• Interés
• Descuento
• Regla del 16
• Regla de tres (estadística)

Referencias

1. Donella Meadows , Thinking in Systems: A Primer , Chelsea Green Publishing , 2008, página 33 (recuadro "Sugerencia para reforzar los bucles de retroalimentación y duplicar el tiempo").
2. Slavin, Steve (1989). Todas las matemáticas que necesitarás . John Wiley & Sons . Págs. 153-154. ISBN. 0-471-50636-2.
3. Kalid Azad Desmitificando el logaritmo natural (ln) de BetterExplained

Enlaces externos

• La escala del 70 extiende la regla del 72 más allá del crecimiento de tasa fija al crecimiento compuesto de tasa variable, incluyendo tasas positivas y negativas.