Integral abeliana

En matemáticas , una integral abeliana , llamada así en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel , es una integral en el plano complejo de la forma

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,}$

donde es una función racional arbitraria de las dos variables y , que están relacionadas por la ecuación ${\displaystyle R(x,w)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle F(x,w)=0,}$

donde es un polinomio irreducible en , ${\displaystyle F(x,w)}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle F(x,w)\equiv \varphi _{n}(x)w^{n}+\cdots +\varphi _{1}(x)w+\varphi _{0}\left(x\right),}$

cuyos coeficientes , son funciones racionales de . El valor de una integral abeliana depende no sólo de los límites de integración, sino también del camino que recorre la integral; es por tanto una función multivaluada de . ${\displaystyle \varphi _{j}(x)}$ ${\displaystyle j=0,1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

Las integrales abelianas son generalizaciones naturales de las integrales elípticas , que surgen cuando

${\displaystyle F(x,w)=w^{2}-P(x),\,}$

donde es un polinomio de grado 3 o 4. Otro caso especial de una integral abeliana es una integral hiperelíptica , donde , en la fórmula anterior, es un polinomio de grado mayor que 4. ${\displaystyle P\left(x\right)}$ ${\displaystyle P(x)}$

Historia

La teoría de las integrales abelianas se originó con un artículo de Abel ^[1] publicado en 1841. Este artículo fue escrito durante su estadía en París en 1826 y presentado a Augustin-Louis Cauchy en octubre del mismo año. Esta teoría, desarrollada más tarde en su totalidad por otros, ^[2] fue uno de los logros más importantes de las matemáticas del siglo XIX y ha tenido un gran impacto en el desarrollo de las matemáticas modernas. En un lenguaje más abstracto y geométrico, está contenida en el concepto de variedad abeliana , o más precisamente en la forma en que una curva algebraica puede mapearse en variedades abelianas. Las integrales abelianas se conectaron más tarde con el 16.º problema del destacado matemático David Hilbert , y continúan siendo consideradas uno de los principales desafíos de las matemáticas contemporáneas.

Visión moderna

En la teoría de superficies de Riemann , una integral abeliana es una función relacionada con la integral indefinida de una diferencial de primera especie . Supongamos que se nos da una superficie de Riemann y sobre ella una 1-forma diferencial que es holomorfa en todas partes en , y fijamos un punto en , desde el cual integrar. Podemos considerar ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{P_{0}}^{P}\omega }$

como una función multivaluada o (mejor) una función honesta del camino elegido trazado desde hasta . Dado que en general estará múltiplemente conectado , se debería especificar , pero el valor de hecho solo dependerá de la clase de homología de . ${\displaystyle f\left(P\right)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

En el caso de una superficie de Riemann compacta de género 1, es decir, una curva elíptica , dichas funciones son las integrales elípticas . Por tanto, desde el punto de vista lógico, una integral abeliana debería ser una función como . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$

Tales funciones se introdujeron por primera vez para estudiar integrales hiperelípticas , es decir, para el caso donde es una curva hiperelíptica . Este es un paso natural en la teoría de la integración al caso de integrales que involucran funciones algebraicas , donde es un polinomio de grado . Las primeras ideas importantes de la teoría fueron dadas por Abel; más tarde se formuló en términos de la variedad jacobiana . La elección de da lugar a una función holomorfa estándar ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle >4}$ ${\displaystyle J\left(S\right)}$ ${\displaystyle P_{0}}$

${\displaystyle S\to J(S)}$

de variedades complejas . Tiene la propiedad definitoria de que las 1-formas holomorfas en , de las cuales hay g independientes si g es el género de S , retroceden hasta una base para las diferenciales de primera clase en  S . ${\displaystyle S\to J(S)}$

Notas

1. Abel 1841.
2. Appell y Goursat 1895, pag. 248.

Referencias

• Abel, Niels H. (1841). "Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions trascendentes". Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (en francés). París. págs. 176–264.
• Apelar, Paul ; Goursat, Édouard (1895). Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (en francés). París: Gauthier-Villars.
• Bliss, Gilbert A. (1933). Funciones algebraicas . Providence: Sociedad Matemática Americana .
• Forsyth, Andrew R. (1893). Teoría de funciones de una variable compleja . Providence: Cambridge University Press .
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978). Principios de geometría algebraica . Nueva York: John Wiley & Sons .
• Neumann, Carl (1884). Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (2ª ed.). Leipzig: BG Teubner .