Los orígenes de la trigonometría esférica en las matemáticas griegas y los principales avances en las matemáticas islámicas se analizan detalladamente en Historia de la trigonometría y Matemáticas en el Islam medieval . El tema llegó a buen término en la época moderna temprana con importantes desarrollos de John Napier , Delambre y otros, y alcanzó una forma esencialmente completa a finales del siglo XIX con la publicación del libro de texto de Todhunter Trigonometría esférica para el uso de colegios y escuelas . [1]
Desde entonces, avances significativos han sido la aplicación de métodos vectoriales, métodos de cuaterniones y el uso de métodos numéricos.
Estos polígonos pueden tener cualquier número de lados mayor que 1. Los polígonos esféricos de dos lados ( lunes , también llamados digones o bi-ángulos) están delimitados por dos arcos de círculo máximo: un ejemplo familiar es la superficie curvada de un segmento que mira hacia afuera. de una naranja. Tres arcos sirven para definir un triángulo esférico, tema principal de este artículo. Los polígonos con mayor número de lados (cuadriláteros esféricos de 4 lados, pentágonos esféricos de 5 lados, etc.) se definen de manera similar. De manera análoga a sus homólogos planos, los polígonos esféricos con más de 3 lados siempre pueden considerarse como la composición de triángulos esféricos.
A partir de este punto del artículo, la discusión se limitará a los triángulos esféricos, denominados simplemente triángulos .
Notación
Tanto los vértices como los ángulos en los vértices de un triángulo se indican con las mismas letras mayúsculas A , B y C.
Los lados se indican con letras minúsculas: a , b y c . La esfera tiene un radio de 1, por lo que las longitudes de los lados y los ángulos en minúsculas son equivalentes (ver longitud del arco).
El ángulo A (respectivamente, B y C ) puede considerarse como el ángulo entre los dos planos que cortan la esfera en el vértice A o , de manera equivalente, como el ángulo entre las tangentes de los arcos de círculo máximo donde se encuentran en el punto final. vértice.
Los ángulos se expresan en radianes . Los ángulos de los triángulos esféricos propios son (por convención) menores que π , de modo que (Todhunter, [1] Art.22,32).
En particular, la suma de los ángulos de un triángulo esférico es estrictamente mayor que la suma de los ángulos de un triángulo definido en el plano euclidiano, que siempre es exactamente π radianes.
Los lados también se expresan en radianes. Un lado (considerado como un arco de círculo máximo) se mide por el ángulo que subtiende en el centro. En la esfera unitaria, esta medida en radianes es numéricamente igual a la longitud del arco. Por convención, los lados de triángulos esféricos propios son menores que π , de modo que (Todhunter, [1] Art.22,32).
El radio de la esfera se toma como unidad. Para problemas prácticos específicos en una esfera de radio R, las longitudes medidas de los lados deben dividirse por R antes de usar las identidades que se indican a continuación. Asimismo, después de un cálculo en la esfera unitaria, los lados a , b y c deben multiplicarse por R.
Triángulos polares
El triángulo polar asociado a un triángulo △ ABC se define de la siguiente manera. Considere el círculo máximo que contiene el lado BC . Este gran círculo está definido por la intersección de un plano diametral con la superficie. Dibuje la normal a ese plano en el centro: intersecta la superficie en dos puntos y el punto que está en el mismo lado del plano que A se denomina (convencionalmente) polo de A y se denota por A' . Los puntos B' y C' se definen de manera similar.
El triángulo △ A'B'C' es el triángulo polar correspondiente al triángulo △ ABC . Un teorema muy importante (Todhunter, [1] Art.27) demuestra que los ángulos y lados del triángulo polar están dados por
Por lo tanto, si se demuestra alguna identidad para △ ABC entonces podemos derivar inmediatamente una segunda identidad aplicando la primera identidad al triángulo polar haciendo las sustituciones anteriores. Así es como las ecuaciones de cosenos suplementarias se derivan de las ecuaciones de cosenos. De manera similar, las identidades de un triángulo cuadrantal se pueden derivar de las de un triángulo rectángulo. El triángulo polar de un triángulo polar es el triángulo original.
Reglas del coseno y reglas del seno.
reglas del coseno
La regla del coseno es la identidad fundamental de la trigonometría esférica: todas las demás identidades, incluida la regla del seno, pueden derivarse de la regla del coseno:
Estas identidades generalizan la regla del coseno de la trigonometría plana , a la que son asintóticamente equivalentes en el límite de los ángulos interiores pequeños. (En la esfera unitaria, si está establecida , etc.; consulte Ley esférica de los cosenos ).
Reglas del seno
La ley esférica de los senos viene dada por la fórmula
Estas identidades se aproximan a la regla del seno de la trigonometría plana cuando los lados son mucho más pequeños que el radio de la esfera.
Derivación de la regla del coseno
Las fórmulas del coseno esférico fueron probadas originalmente mediante la geometría elemental y la regla del coseno plano (Todhunter, [1] Art.37). También da una derivación utilizando geometría de coordenadas simple y la regla del coseno plano (Art.60). El enfoque descrito aquí utiliza métodos vectoriales más simples . (Estos métodos también se analizan en Ley esférica de los cosenos ).
Considere tres vectores unitarios OA → , OB → , OC → dibujados desde el origen hasta los vértices del triángulo (en la esfera unitaria). El arco BC subtiende un ángulo de magnitud a en el centro y por tanto OB → · OC → = cos a . Introduzca una base cartesiana con OA → a lo largo del eje z y OB → en el plano xz formando un ángulo c con el eje z . El vector OC → se proyecta a ON en el plano xy y el ángulo entre ON y el eje x es A. Por tanto, los tres vectores tienen componentes:
El producto escalar OB → · OC → en términos de los componentes es.
Al equiparar las dos expresiones para el producto escalar se obtiene.
Esta ecuación se puede reorganizar para dar expresiones explícitas para el ángulo en términos de los lados:
Las otras reglas del coseno se obtienen mediante permutaciones cíclicas.
Derivación de la regla del seno
Esta derivación se da en Todhunter, [1] (Art.40). De la identidad y la expresión explícita para cos A dada inmediatamente arriba
Dado que el lado derecho es invariante bajo una permutación cíclica de a , b y c, la regla del seno esférico se sigue inmediatamente.
Derivaciones alternativas
Hay muchas formas de derivar las reglas fundamentales del coseno y del seno y otras reglas que se desarrollan en las siguientes secciones. Por ejemplo, Todhunter [1] da dos pruebas de la regla del coseno (artículos 37 y 60) y dos pruebas de la regla del seno (artículos 40 y 42). La página sobre la ley esférica de los cosenos ofrece cuatro pruebas diferentes de la regla del coseno. Los libros de texto sobre geodesia [2] y astronomía esférica [3] ofrecen diferentes pruebas y los recursos en línea de MathWorld ofrecen aún más. [4] Hay derivaciones aún más exóticas, como la de Banerjee [5] que deriva las fórmulas utilizando el álgebra lineal de matrices de proyección y también cita métodos en geometría diferencial y la teoría de grupos de rotaciones.
La derivación de la regla del coseno presentada anteriormente tiene las ventajas de ser simple y directa, y la derivación de la regla del seno enfatiza el hecho de que no se requiere ninguna prueba separada aparte de la regla del coseno. Sin embargo, la geometría anterior puede usarse para dar una prueba independiente de la regla del seno. El triple producto escalar , OA → · ( OB → × OC → ) se evalúa como sen b sen c sen A en la base que se muestra. De manera similar, en una base orientada con el eje z a lo largo de OB → , el producto triple OB → · ( OC → × OA → ) , se evalúa como sin c sin a sin B. Por lo tanto, la invariancia del producto triple bajo permutaciones cíclicas da sen b sen A = sen a sen B, que es la primera de las reglas del seno. Vea variaciones curvas de la ley de los senos para ver detalles de esta derivación.
Identidades
Reglas suplementarias del coseno
Aplicando las reglas del coseno al triángulo polar se obtiene (Todhunter, [1] Art.47), es decir, reemplazando A por π – a , a por π – A , etc.,
Fórmulas cotangentes de cuatro partes
Las seis partes de un triángulo se pueden escribir en orden cíclico como ( aCbAcB ). Las fórmulas cotangentes, o de cuatro partes, relacionan dos lados y dos ángulos formando cuatro partes consecutivas alrededor del triángulo, por ejemplo ( aCbA ) o BaCb ). En tal conjunto hay partes internas y externas: por ejemplo en el conjunto ( BaCb ) el ángulo interno es C , el lado interno es a , el ángulo externo es B , el lado externo es b . La regla de la cotangente se puede escribir como (Todhunter, [1] Art.44)
y las seis ecuaciones posibles son (con el conjunto correspondiente mostrado a la derecha):
Para probar la primera fórmula, comience desde la primera regla del coseno y a la derecha sustituto lateral de cos c de la tercera regla del coseno:
El resultado se obtiene al dividir por sin a sin b . Técnicas similares con las otras dos reglas del coseno dan CT3 y CT5. Las otras tres ecuaciones siguen aplicando las reglas 1, 3 y 5 al triángulo polar.
Fórmulas de medio ángulo y medio lado
Con y
Otras doce identidades siguen por permutación cíclica.
La demostración (Todhunter, [1] Art.49) de la primera fórmula parte de la identidad utilizando la regla del coseno para expresar A en términos de los lados y sustituyendo la suma de dos cosenos por un producto. (Ver identidades de suma a producto ). La segunda fórmula comienza desde la identidad, la tercera es un cociente y el resto sigue aplicando los resultados al triángulo polar.
Analogías de Delambre
Las analogías de Delambre (también llamadas analogías de Gauss) fueron publicadas de forma independiente por Delambre, Gauss y Mollweide en 1807-1809. [6]
Otras ocho identidades siguen por permutación cíclica.
Se demuestra ampliando los numeradores y utilizando las fórmulas del medio ángulo. (Todhunter, [1] Art.54 y Delambre [7] )
Las analogías de Napier
Otras ocho identidades siguen por permutación cíclica.
Estas identidades se siguen por división de las fórmulas de Delambre. (Todhunter, [1] artículo 52)
Reglas de Napier para triángulos esféricos rectángulos
Cuando uno de los ángulos, digamos C , de un triángulo esférico es igual a π /2, las diversas identidades dadas anteriormente se simplifican considerablemente. Hay diez identidades que relacionan tres elementos elegidos del conjunto a , b , c , A y B.
Napier [8] proporcionó una elegante ayuda mnemónica para las diez ecuaciones independientes: la mnemónica se llama círculo de Napier o pentágono de Napier (cuando el círculo en la figura anterior, a la derecha, se reemplaza por un pentágono).
Primero, escribe las seis partes del triángulo (tres ángulos de vértice, tres ángulos de arco para los lados) en el orden en que aparecen alrededor de cualquier circuito del triángulo: para el triángulo que se muestra arriba a la izquierda, en el sentido de las agujas del reloj, comenzando con a, se obtiene aCbAcB . Luego reemplace las partes que no son adyacentes a C (es decir , A , c y B ) por sus complementos y luego elimine el ángulo C de la lista. Las partes restantes se pueden dibujar como cinco sectores iguales y ordenados de un pentagrama o círculo, como se muestra en la figura de arriba (derecha). Para cualquier elección de tres partes contiguas, una (la parte central ) será adyacente a dos partes y opuesta a las otras dos. Las diez reglas de Napier están dadas por
seno de la parte media = el producto de las tangentes de las partes adyacentes
seno de la parte media = el producto de los cosenos de las partes opuestas
La clave para recordar qué función trigonométrica corresponde a cada parte es observar la primera vocal del tipo de parte: las partes intermedias toman el seno, las partes adyacentes toman la tangente y las partes opuestas toman el coseno. Por ejemplo, comenzando con el sector que contiene a tenemos:
El conjunto completo de reglas para el triángulo esférico rectángulo es (Todhunter, [1] Art.62)
Reglas de Napier para triángulos cuadrantales
Un triángulo esférico cuadrantal se define como un triángulo esférico en el que uno de los lados subtiende un ángulo de π /2 radianes en el centro de la esfera: en la esfera unitaria, el lado tiene una longitud de π /2. En el caso de que el lado c tenga longitud π /2 en la esfera unitaria, las ecuaciones que rigen los lados y ángulos restantes se pueden obtener aplicando las reglas para el triángulo rectángulo esférico de la sección anterior al triángulo polar △ A'B'C ' con lados a', b', c' tales que A' = π − a , a' = π − A etc. Los resultados son:
Reglas de cinco partes
Sustituyendo la segunda regla del coseno en la primera y simplificando se obtiene:
Cancelando el factor de sen c se obtiene
Sustituciones similares en otras fórmulas de cosenos y cosenos suplementarios dan una gran variedad de reglas de 5 partes. Rara vez se utilizan.
Ecuación de Cagnoli
Multiplicar la primera regla del coseno por cos A da
De manera similar, multiplicar la primera regla del coseno suplementario por cos a produce
Restar las dos y observar que se deduce de las reglas del seno que produce la ecuación de Cagnoli,
que es una relación entre las seis partes del triángulo esférico. [9]
Solución de triángulos
Triángulos oblicuos
La solución de triángulos es el objetivo principal de la trigonometría esférica: dados tres, cuatro o cinco elementos del triángulo, determinar los demás. El caso de cinco elementos dados es trivial y requiere sólo una única aplicación de la regla del seno. Para cuatro elementos dados hay un caso no trivial, que se analiza a continuación. Para tres elementos dados hay seis casos: tres lados, dos lados y un ángulo incluido u opuesto, dos ángulos y un lado incluido u opuesto, o tres ángulos. (El último caso no tiene análogo en trigonometría plana). Ningún método resuelve todos los casos. La siguiente figura muestra los siete casos no triviales: en cada caso los lados dados están marcados con una barra transversal y los ángulos dados con un arco. (Los elementos dados también se enumeran debajo del triángulo). En la notación resumida aquí, como ASA, A se refiere a un ángulo dado y S se refiere a un lado dado, y la secuencia de A y S en la notación se refiere a la secuencia correspondiente en el triángulo.
Caso 1: tres lados dados (SSS). Se puede utilizar la regla del coseno para obtener los ángulos A , B y C pero, para evitar ambigüedades, se prefieren las fórmulas del medio ángulo.
Caso 2: dos lados y un ángulo incluido dado (SAS). La regla del coseno da a y luego volvemos al Caso 1.
Caso 3: dos lados y un ángulo opuesto dado (SSA). La regla del seno da C y luego tenemos el Caso 7. Hay una o dos soluciones.
Caso 4: dos ángulos y un lado incluido dado (ASA). Las fórmulas cotangentes de cuatro partes para conjuntos ( cBaC ) y ( BaCb ) dan c y b , luego A se sigue de la regla del seno.
Caso 5: dos ángulos y un lado opuesto dado (AAS). La regla del seno da by luego tenemos el Caso 7 (rotado). Hay una o dos soluciones.
Caso 6: tres ángulos dados (AAA). Se puede utilizar la regla del coseno suplementario para obtener los lados a , byc pero , para evitar ambigüedades, se prefieren las fórmulas de los medios lados .
Caso 7: dos ángulos y dos lados opuestos dados (SSAA). Utilice las analogías de Napier para a y A ; o utilice el caso 3 (SSA) o el caso 5 (AAS).
Los métodos de solución enumerados aquí no son las únicas opciones posibles: son posibles muchas otras. En general, es mejor elegir métodos que eviten tomar un seno inverso debido a la posible ambigüedad entre un ángulo y su suplemento. A menudo se recomienda el uso de fórmulas de semiángulos porque los semiángulos serán menores que π /2 y, por lo tanto, estarán libres de ambigüedad. Hay una discusión completa en Todhunter. El artículo Solución de triángulos#Resolver triángulos esféricos presenta variantes de estos métodos con una notación ligeramente diferente.
Hay una discusión completa sobre la solución de triángulos oblicuos en Todhunter. [1] : Cap. VI Véase también la discusión en Ross. [10] Nasir al-Din al-Tusi fue el primero en enumerar los seis casos distintos (2-7 en el diagrama) de un triángulo rectángulo en trigonometría esférica. [11]
Solución por triángulos rectángulos
Otro método consiste en dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos. Por ejemplo, tomemos el ejemplo del Caso 3 donde se dan b , c y B. Construya el círculo máximo desde A que sea normal al lado BC en el punto D. Usa las reglas de Napier para resolver el triángulo △ ABD : usa c y B para encontrar los lados AD y BD y el ángulo ∠ BAD . Luego usa las reglas de Napier para resolver el triángulo △ ACD : es decir, usa AD y b para encontrar el lado DC y los ángulos C y ∠ DAC . El ángulo A y el lado a se siguen por suma.
Consideraciones numéricas
No todas las reglas obtenidas son numéricamente robustas en ejemplos extremos, por ejemplo cuando un ángulo tiende a cero o π . Es posible que sea necesario examinar cuidadosamente los problemas y las soluciones, especialmente cuando se escribe código para resolver un triángulo arbitrario.
Área y exceso esférico.
Considere un polígono esférico de N lados y sea An el n -ésimo ángulo interior. El área de dicho polígono viene dada por (Todhunter, [1] Art.99)
Para el caso de un triángulo esférico con ángulos A , B y C, esto se reduce al teorema de Girard,
donde E es la cantidad en la que la suma de los ángulos excede π radianes, llamado exceso esférico del triángulo. Este teorema lleva el nombre de su autor, Albert Girard . [12] El matemático inglés Thomas Harriot obtuvo una prueba anterior, pero no la publicó . En una esfera de radio R, ambas expresiones de área anteriores se multiplican por R 2 . La definición del exceso es independiente del radio de la esfera.
El resultado inverso puede escribirse como
Como el área de un triángulo no puede ser negativa, el exceso esférico siempre es positivo. No es necesariamente pequeño, porque la suma de los ángulos puede llegar a 5 π (3 π para ángulos propios ). Por ejemplo, un octante de una esfera es un triángulo esférico con tres ángulos rectos, de modo que el exceso es π /2. En aplicaciones prácticas suele ser pequeño: por ejemplo, los triángulos de los estudios geodésicos suelen tener un exceso esférico mucho menor que 1' de arco. [13] En la Tierra, el exceso de un triángulo equilátero con lados de 21,3 km (y área de 393 km 2 ) es aproximadamente 1 segundo de arco.
Hay muchas fórmulas para el exceso. Por ejemplo, Todhunter, [1] (Art.101-103) da diez ejemplos, incluido el de L'Huilier :
donde
Debido a que algunos triángulos están mal caracterizados por sus aristas (por ejemplo, si ), a menudo es mejor usar la fórmula para el exceso en términos de dos aristas y su ángulo incluido.
Cuando el triángulo △ ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en C , entonces cos C = 0 y sen C = 1 , entonces esto se reduce a
El exceso esférico de un cuadrilátero esférico delimitado por el ecuador, los dos meridianos de longitud y el arco de círculo máximo entre dos puntos con longitud y latitud y es
Este resultado se obtiene a partir de una de las analogías de Napier. En el límite donde son todos pequeños, esto se reduce a la conocida zona trapezoidal, .
El área de un polígono se puede calcular a partir de cuadrángulos individuales del tipo anterior, a partir de (análogamente) triángulos individuales delimitados por un segmento del polígono y dos meridianos, [14] mediante una línea integral con el teorema de Green , [15] o mediante un proyección de áreas iguales como se hace comúnmente en SIG. Los otros algoritmos aún se pueden usar con las longitudes de los lados calculadas usando una fórmula de distancia de círculo máximo .
^ abcdefghijklmnop Todhunter, I. (1886). Trigonometría esférica (5ª ed.). MacMillan. Archivado desde el original el 14 de abril de 2020 . Consultado el 28 de julio de 2013 .
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^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Nasir al-Din al-Tusi", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews"Una de las contribuciones matemáticas más importantes de al-Tusi fue la creación de la trigonometría como una disciplina matemática por derecho propio y no simplemente como una herramienta para aplicaciones astronómicas. En Tratado sobre el cuadrilátero, al-Tusi dio la primera exposición existente de todo el sistema. de trigonometría plana y esférica. Este trabajo es realmente el primero en la historia sobre la trigonometría como una rama independiente de las matemáticas puras y el primero en el que se exponen los seis casos para un triángulo esférico rectángulo.
^ Otra prueba del teorema de Girard se puede encontrar en [1] Archivado el 31 de octubre de 2012 en Wayback Machine .
^ Chamberlain, Robert G.; Duquette, William H. (17 de abril de 2007). Algunos algoritmos para polígonos en una esfera. Reunión anual de la Asociación de Geógrafos Estadounidenses. JPL de la NASA. Archivado desde el original el 22 de julio de 2020 . Consultado el 7 de agosto de 2020 .
^ "Área de superficie de un polígono en una esfera o elipsoide - MATLAB areaint". www.mathworks.com . Archivado desde el original el 1 de mayo de 2021 . Consultado el 1 de mayo de 2021 .
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"Revisando la trigonometría esférica con proyectores ortogonales" por Sudipto Banerjee. El artículo deriva la ley esférica de los cosenos y la ley de los senos utilizando álgebra lineal elemental y matrices de proyección.
"El Libro de Instrucción sobre Planos Desviados y Planos Simples", un manuscrito en árabe que data de 1740 y habla de trigonometría esférica, con diagramas
Algunos algoritmos para polígonos en una esfera Robert G. Chamberlain, William H. Duquette, Jet Propulsion Laboratory. El artículo desarrolla y explica muchas fórmulas útiles, quizás centrándose en la navegación y la cartografía.