En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , el panal de 4-simplex , el panal de 5 celdas o el panal pentacórico-dispentacórico es un panal de teselación que llena el espacio . Se compone de 5 celdas y facetas rectificadas de 5 celdas en una proporción de 1:1.
Las celdas de la figura del vértice son diez tetraedros y 20 prismas triangulares , correspondientes a las diez celdas de 5 y las 20 celdas de 5 rectificadas que se encuentran en cada vértice. Todos los vértices se encuentran en reinos paralelos en los que forman panales cúbicos alternados , siendo los tetraedros la parte superior de las 5 celdas rectificadas o las bases de las 5 celdas rectificadas, y los octaedros son las partes inferiores de las 5 celdas rectificadas. [1]
El panal de 5 celdas se puede proyectar en el mosaico cuadrado bidimensional mediante una operación de plegado geométrico que mapea dos pares de espejos entre sí, compartiendo la misma disposición de vértices :
La disposición de los vértices del panal de 5 celdas se denomina red A4 o red de 4 simples . Los 20 vértices de su figura de vértice , las 5 celdas runcinadas, representan las 20 raíces del grupo Coxeter. [2] [3] Es el caso tetradimensional de un panal simpléctico .
La A*
4La red [4] es la unión de cinco redes A 4 , y es el dual del panal omnitruncado de 5 simples , y por lo tanto la celda de Voronoi de esta red es un omnitruncado de 5 celdas.
∪
∪
∪
∪
= dual de
Las partes superiores de las 5 celdas en este panal están unidas a las bases de las 5 celdas, y viceversa, en láminas (o capas) adyacentes; pero se pueden invertir láminas alternas de modo que las partes superiores de las 5 celdas rectificadas se unan a las partes superiores de las 5 celdas rectificadas y las bases de las 5 celdas se unan a las bases de otras 5 celdas. Esta inversión da como resultado otro panal convexo uniforme no wythoffiano. También se pueden insertar prismas octaédricos y prismas tetraédricos entre láminas alternadas, lo que da como resultado dos panales uniformes alargados no wythoffianos más. [5]
Este panal es uno de los siete panales uniformes únicos [6] construidos por el grupo Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :
El panal rectificado de 4 simples o el panal rectificado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio .
El panal ciclotruncado de 4 simples o el panal ciclotruncado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio . También puede verse como un panal de 5 células birectificado .
Se compone de facetas de 5 celdas , 5 celdas truncadas y 5 celdas bitruncadas en una proporción de 2:2:1. Su figura de vértice es un antiprisma tetraédrico , con 2 tetraedros regulares , 8 pirámides triangulares y 6 celdas disfenoides tetragonales , que definen 2 facetas de 5 celdas , 8 de 5 celdas truncadas y 6 de 5 celdas bitruncas alrededor de un vértice.
Puede construirse como cinco conjuntos de hiperplanos paralelos que dividen el espacio en dos semiespacios. Los hiperplanos de 3 espacios contienen panales de un cuarto de cubo cúbico como facetas de colección. [7]
El panal truncado de 4 simples o el panal truncado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio . También se le puede llamar panal de 5 células ciclocantitruncado .
El panal cantelado de 4 simples o el panal cantelado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio . También se le puede llamar panal de 5 células cicloruncitruncado .
El panal bitruncado de 4 símplex o el panal bitruncado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio . También puede denominarse panal de 5 células ciclorúncicoantitruncado .
El panal omnitruncado de 4 simples o el panal omnitruncado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio . También puede verse como un panal de 5 células ciclosteriruncicanantitruncado . .
Está compuesto enteramente por facetas omnitruncadas de 5 celdas (omnitruncadas de 4 simples).
Coxeter llama a esto panal de Hinton en honor a CH Hinton , quien lo describió en su libro La cuarta dimensión en 1906. [8]
Las facetas de todos los panales simplecticos omnitruncados se llaman permutoedros y se pueden ubicar en un espacio n+1 con coordenadas integrales, permutaciones de números enteros (0,1,...,n).
La A*
4La red es la unión de cinco redes A 4 , y es el dual del panal omnitruncado de 5 celdas y, por lo tanto, la celda Voronoi de esta red es un panal omnitruncado de 5 celdas . [9]
∪∪∪∪= dual deEste panal se puede alternar , creando 5 celdas omnisnub con 5 celdas irregulares creadas en los vértices eliminados. Aunque no es uniforme, las 5 celdas tienen una simetría de orden 10.
Panales regulares y uniformes en 4 espacios:
