Reciprocidad (electromagnetismo)

Teorema del electromagnetismo clásico

En el electromagnetismo clásico , la reciprocidad se refiere a una variedad de teoremas relacionados que involucran el intercambio de densidades de corriente eléctrica armónicas en el tiempo (fuentes) y los campos electromagnéticos resultantes en las ecuaciones de Maxwell para medios lineales invariantes en el tiempo bajo ciertas restricciones. La reciprocidad está estrechamente relacionada con el concepto de operadores simétricos del álgebra lineal , aplicado al electromagnetismo.

Quizás el teorema más común y general es el de reciprocidad de Lorentz (y sus diversos casos especiales, como la reciprocidad de Rayleigh-Carson ), llamado así por el trabajo de Hendrik Lorentz en 1896 a raíz de resultados análogos con respecto al sonido por Lord Rayleigh y la luz por Helmholtz (Potton 2004). En términos generales, establece que la relación entre una corriente oscilante y el campo eléctrico resultante no cambia si se intercambian los puntos donde se coloca la corriente y donde se mide el campo. Para el caso específico de una red eléctrica , a veces se expresa como la afirmación de que los voltajes y las corrientes en diferentes puntos de la red se pueden intercambiar. Más técnicamente, se deduce que la impedancia mutua de un primer circuito debido a un segundo es la misma que la impedancia mutua del segundo circuito debido al primero.

La reciprocidad es útil en óptica , que (aparte de los efectos cuánticos) puede expresarse en términos de electromagnetismo clásico, pero también en términos de radiometría .

También existe un teorema análogo en electrostática , conocido como reciprocidad de Green , que relaciona el intercambio de potencial eléctrico y densidad de carga eléctrica .

Las formas de los teoremas de reciprocidad se utilizan en muchas aplicaciones electromagnéticas, como el análisis de redes eléctricas y sistemas de antenas . ^{[1] Por ejemplo, la reciprocidad implica que las antenas funcionan igual de bien como transmisores o receptores, y específicamente que} los patrones de radiación y recepción de una antena son idénticos. La reciprocidad también es un lema básico que se utiliza para demostrar otros teoremas sobre sistemas electromagnéticos, como la simetría de la matriz de impedancia y la matriz de dispersión , las simetrías de las funciones de Green para su uso en métodos computacionales de elementos de contorno y matrices de transferencia, así como las propiedades de ortogonalidad de los modos armónicos en sistemas de guías de onda (como una alternativa a la demostración de esas propiedades directamente a partir de las simetrías de los operadores propios ).

Reciprocidad de Lorentz

En concreto, supongamos que uno tiene una densidad de corriente que produce un campo eléctrico y un campo magnético donde los tres son funciones periódicas del tiempo con frecuencia angular ω , y en particular tienen dependencia del tiempo. Supongamos que de manera similar tenemos una segunda corriente a la misma frecuencia ω que (por sí misma) produce campos y El teorema de reciprocidad de Lorentz establece entonces, bajo ciertas condiciones simples sobre los materiales del medio descrito a continuación, que para una superficie arbitraria S que encierra un volumen V : ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\,,}$ ${\displaystyle \exp(-i\omega t)\,.}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\,.}$

${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

De manera equivalente, en forma diferencial (por el teorema de divergencia ):

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ .}$

Esta forma general se suele simplificar para varios casos especiales. En particular, se suele suponer que y están localizados (es decir, tienen un soporte compacto ) y que no hay ondas entrantes desde una distancia infinita. En este caso, si se integra en todo el espacio, los términos de la integral de superficie se cancelan (véase más abajo) y se obtiene: ${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\ }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,\mathrm {d} V=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\mathrm {d} V\ .}$

Este resultado (junto con las siguientes simplificaciones) se denomina a veces teorema de reciprocidad de Rayleigh-Carson , en honor al trabajo de Lord Rayleigh sobre las ondas sonoras y una extensión de Carson (1924; 1930) a aplicaciones para antenas de radiofrecuencia . A menudo, se simplifica aún más esta relación considerando fuentes dipolares puntuales , en cuyo caso las integrales desaparecen y simplemente se tiene el producto del campo eléctrico con los momentos dipolares correspondientes de las corrientes. O, para cables de espesor despreciable, se obtiene la corriente aplicada en un cable multiplicada por el voltaje resultante en otro y viceversa; véase también a continuación.

Otro caso especial del teorema de reciprocidad de Lorentz se aplica cuando el volumen V contiene en su totalidad ambas fuentes localizadas (o, alternativamente, si V no interseca ninguna de las fuentes). En este caso:

${\displaystyle \ \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} =\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

En problemas prácticos, existen otras formas más generalizadas de relaciones de reciprocidad de Lorentz y otras, en las que, además de la densidad de corriente eléctrica , también se utiliza la densidad de corriente magnética . Este tipo de relaciones de reciprocidad se suelen analizar en la literatura de ingeniería eléctrica . ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {M} \ }$

Reciprocidad para redes eléctricas

Anteriormente, la reciprocidad de Lorentz se expresó en términos de una fuente de corriente aplicada externamente y el campo resultante. A menudo, especialmente para redes eléctricas, uno prefiere pensar en un voltaje aplicado externamente y las corrientes resultantes. El teorema de reciprocidad de Lorentz también describe este caso, suponiendo materiales óhmicos (es decir, corrientes que responden linealmente al campo aplicado) con una matriz de conductividad 3×3 σ que se requiere que sea simétrica , lo que está implícito en las otras condiciones a continuación. Para describir correctamente esta situación, uno debe distinguir cuidadosamente entre los campos aplicados externamente (de los voltajes de activación) y los campos totales que resultan (King, 1963).

Más específicamente, lo anterior solo consistía en términos de "fuente" externa introducidos en las ecuaciones de Maxwell. Ahora lo denotamos con para distinguirlo de la corriente total producida tanto por la fuente externa como por los campos eléctricos resultantes en los materiales. Si esta corriente externa está en un material con una conductividad σ , entonces corresponde a un campo eléctrico aplicado externamente donde, por definición de σ : ${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}=\sigma \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$

Además, el campo eléctrico anterior solo consistía en la respuesta a esta corriente, y no incluía el campo "externo". Por lo tanto, ahora denotamos el campo de antes como donde el campo total está dado por ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{(e)}+\mathbf {E} ^{(r)}\ .}$

Ahora, la ecuación del lado izquierdo del teorema de reciprocidad de Lorentz se puede reescribir moviendo σ del término de corriente externa a los términos del campo de respuesta y también sumando y restando un término, para obtener el campo externo multiplicado por la corriente total . ${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\mathbf {E} _{2}^{(e)}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \ :}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r)}-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E} _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\right)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\ .\end{aligned}}}$

Para el límite de cables delgados, esto da el producto del voltaje aplicado externamente (1) multiplicado por la corriente total resultante (2) y viceversa. En particular, el teorema de reciprocidad de Rayleigh-Carson se convierte en una simple suma:

${\displaystyle \ \sum _{n}{\mathcal {V}}_{1}^{(n)}I_{2}^{(n)}=\sum _{n}{\mathcal {V}}_{2}^{(n)}I_{1}^{(n)}}$

donde y denotan las amplitudes complejas de los voltajes de CA aplicados y las corrientes resultantes, respectivamente, en un conjunto de elementos de circuito (indexados por n ) para dos conjuntos posibles de voltajes y ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}\ .}$

Lo más común es simplificarlo aún más al caso en el que cada sistema tiene una única fuente de voltaje en y Entonces el teorema se vuelve simplemente ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{\text{s}}\ ,}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}^{(1)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}^{(2)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ .}$

${\displaystyle I_{1}^{(2)}=I_{2}^{(1)}}$

o en palabras:

La corriente en la posición (1) a partir de un voltaje en (2) es idéntica a la corriente en (2) a partir del mismo voltaje en (1).

Condiciones y prueba de la reciprocidad de Lorentz

El teorema de reciprocidad de Lorentz es simplemente un reflejo del hecho de que el operador lineal que relaciona y en una frecuencia fija (en medios lineales): donde es usualmente un operador simétrico bajo el " producto interno " para campos vectoriales y ^[8] (Técnicamente, esta forma no conjugada no es un verdadero producto interno porque no tiene un valor real para campos de valores complejos, pero eso no es un problema aquí. En este sentido, el operador no es verdaderamente hermítico sino que es más bien complejo-simétrico). Esto es cierto siempre que la permitividad ε y la permeabilidad magnética μ , en el ω dado , sean matrices simétricas 3×3 (tensores simétricos de rango 2) – esto incluye el caso común donde son escalares (para medios isótropos), por supuesto. No es necesario que sean reales (los valores complejos corresponden a materiales con pérdidas, como los conductores con conductividad finita σ (que se incluye en ε mediante )) y, debido a esto, el teorema de reciprocidad no requiere invariancia de inversión temporal . La condición de matrices simétricas ε y μ casi siempre se cumple; consulte a continuación una excepción. ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} }$$ $${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \equiv {\frac {1}{i\omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]\mathbf {E} }$$ ${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \ .}$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon +i\sigma /\omega \ }$

Para cualquier operador hermítico bajo un producto interno , tenemos por definición, y el teorema de reciprocidad de Rayleigh-Carson es simplemente la versión vectorial de esta afirmación para este operador particular , es decir, La propiedad hermítica del operador aquí se puede derivar por integración por partes . Para un volumen de integración finito, los términos de superficie de esta integración por partes dan como resultado el teorema de integral de superficie más general anterior. En particular, el hecho clave es que, para campos vectoriales e integración por partes (o el teorema de divergencia ) sobre un volumen V encerrado por una superficie S da la identidad: ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle (f,g)\!}$ ${\displaystyle (f,\operatorname {\hat {O}} g)=(\operatorname {\hat {O}} f,g)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \ :}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})=(\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})\ .}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \ ,}$ $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )\,\mathrm {d} V\equiv \int _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V-\oint _{S}(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ .}$$

Esta identidad se aplica luego dos veces para obtener más el término de superficie, obteniéndose así la relación de reciprocidad de Lorentz. ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})}$ ${\displaystyle (\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})}$

Condiciones y demostración de la reciprocidad de Lorenz utilizando las ecuaciones de Maxwell y operaciones vectoriales ^[9]

Probaremos una forma general del teorema de reciprocidad electromagnética de Lorenz que establece que los campos y generados por dos densidades de corriente sinusoidales diferentes respectivamente y de la misma frecuencia, satisfacen la condición ${\displaystyle \mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ $${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} .}$$

Tomemos una región en la que la constante dieléctrica y la permeabilidad pueden ser funciones de la posición pero no del tiempo. Las ecuaciones de Maxwell, escritas en términos de los campos, corrientes y cargas totales de la región, describen el comportamiento electromagnético de la región. Las dos ecuaciones de rizo son: $${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

En condiciones de frecuencia constante estable, obtenemos de las dos ecuaciones de rizo las ecuaciones de Maxwell para el caso periódico en el tiempo: $${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-j\omega \mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +j\omega \mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

Debe reconocerse que los símbolos en las ecuaciones de este artículo representan los multiplicadores complejos de , que dan las partes en fase y desfasadas con respecto a la referencia elegida. Los multiplicadores vectoriales complejos de pueden llamarse fasores vectoriales por analogía con las cantidades escalares complejas que se conocen comúnmente como fasores . ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle e^{j\omega t}}$

Una equivalencia de operaciones vectoriales muestra que para cada vector y $${\displaystyle \mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} \ .}$

Si aplicamos esta equivalencia a y obtenemos: ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\cdot (\nabla \times \mathbf {E} _{1})-\mathbf {E} _{1}\cdot (\nabla \times \mathbf {H} _{2})=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

Si los productos en las ecuaciones periódicas de tiempo se toman como lo indica esta última equivalencia y se suman, $${\displaystyle -\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}-\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

Esto ahora puede integrarse en el volumen de preocupación, $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\int _{V}\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\mathrm {d} V\ .}$$

Del teorema de divergencia, la integral de volumen de es igual a la integral de superficie de sobre el límite. ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}}$ $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Esta forma es válida para medios generales, pero en el caso común de materiales lineales, isótropos e invariantes en el tiempo, ε es un escalar independiente del tiempo. Entonces, generalmente, como magnitudes físicas y ${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} \ .}$

La última ecuación entonces se convierte en $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

De manera exactamente análoga obtenemos para los vectores la siguiente expresión: ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$ $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{1}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1}\right)\operatorname {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Restando las dos últimas ecuaciones por miembros obtenemos y equivalentemente en forma diferencial QED $${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\operatorname {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$$ $${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ }$$

Cancelación de término superficial

La cancelación de los términos de superficie en el lado derecho del teorema de reciprocidad de Lorentz, para una integración en todo el espacio, no es completamente obvia pero se puede derivar de varias maneras. Un tratamiento riguroso de la integral de superficie tiene en cuenta la causalidad de los estados de campo de ondas en interacción: la contribución de la integral de superficie en el infinito se desvanece solo para la interacción de convolución temporal de dos campos de ondas causales (la interacción de correlación temporal conduce a una contribución distinta de cero). ^[10]

Otro argumento simple sería que los campos tienden a cero en el infinito para una fuente localizada, pero este argumento falla en el caso de medios sin pérdidas: en ausencia de absorción, los campos radiados decaen inversamente con la distancia, pero el área superficial de la integral aumenta con el cuadrado de la distancia, por lo que las dos tasas se equilibran entre sí en la integral.

En cambio, es común (p. ej., King, 1963) suponer que el medio es homogéneo e isótropo lo suficientemente lejos. En este caso, el campo radiado toma asintóticamente la forma de ondas planas que se propagan radialmente hacia afuera (en la dirección) con y donde Z es la impedancia escalar del medio circundante. Entonces se sigue que por una simple identidad vectorial es igual a De manera similar, y los dos términos se cancelan entre sí. ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }\cdot \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /Z}$ ${\textstyle {\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}={\frac {\mathbf {E} _{1}\times {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ ,}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\ .}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}={\frac {\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {E} _{1}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}}$

El argumento anterior muestra explícitamente por qué los términos de superficie pueden cancelarse, pero carece de generalidad. Alternativamente, se puede tratar el caso de medios circundantes sin pérdidas con condiciones de contorno de radiación impuestas a través del principio de absorción limitante (LAP): tomando el límite cuando las pérdidas (la parte imaginaria de ε ) tienden a cero. Para cualquier pérdida distinta de cero, los campos decaen exponencialmente con la distancia y la integral de superficie se desvanece, independientemente de si el medio es homogéneo. Dado que el lado izquierdo del teorema de reciprocidad de Lorentz se desvanece para la integración en todo el espacio con cualquier pérdida distinta de cero, también debe desvanecerse en el límite cuando las pérdidas tienden a cero. (Obsérvese que el LAP impone implícitamente la condición de radiación de Sommerfeld de cero ondas entrantes desde el infinito, porque de lo contrario incluso una pérdida arbitrariamente pequeña eliminaría las ondas entrantes y el límite no daría la solución sin pérdidas).

Reciprocidad y función de Green

La inversa del operador ie, en (que requiere una especificación de las condiciones de contorno en el infinito en un sistema sin pérdidas), tiene la misma simetría que y es esencialmente una convolución de la función de Green . Por lo tanto, otra perspectiva sobre la reciprocidad de Lorentz es que refleja el hecho de que la convolución con la función de Green electromagnética es una operación lineal compleja-simétrica (o antihermítica, a continuación) bajo las condiciones apropiadas en ε y μ . Más específicamente, la función de Green se puede escribir como dando el n -ésimo componente de en desde una corriente dipolar puntual en la m -ésima dirección en (esencialmente, da los elementos de la matriz de ), y la reciprocidad de Rayleigh-Carson es equivalente a la afirmación de que A diferencia de que generalmente no es posible dar una fórmula explícita para la función de Green (excepto en casos especiales como medios homogéneos), pero se calcula rutinariamente mediante métodos numéricos. ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$ ${\displaystyle \mathbf {E} =\operatorname {\hat {O}} ^{-1}\mathbf {J} }$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} ^{-1}}$ ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )=G_{mn}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\ .}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$

Materiales magneto-ópticos sin pérdidas

Un caso en el que ε no es una matriz simétrica es para materiales magneto-ópticos , en cuyo caso la afirmación usual de reciprocidad de Lorentz no se cumple (ver abajo una generalización, sin embargo). Si permitimos materiales magneto-ópticos, pero nos restringimos a la situación donde la absorción del material es despreciable , entonces ε y μ son en general matrices hermíticas complejas 3×3 . En este caso, el operador es hermítico bajo el producto interno conjugado y una variante del teorema de reciprocidad ^{[ cita requerida ]} todavía se cumple: donde los cambios de signo provienen de en la ecuación anterior, lo que hace que el operador sea antihermítico (despreciando los términos de superficie). Para el caso especial de esto se da una reformulación de la conservación de la energía o el teorema de Poynting (ya que aquí hemos asumido materiales sin pérdidas, a diferencia de lo anterior): La tasa promedio en el tiempo del trabajo realizado por la corriente (dada por la parte real de ) es igual al flujo de salida promedio en el tiempo de potencia (la integral del vector de Poynting ). Sin embargo, por la misma razón, los términos de superficie en general no se desvanecen si uno integra sobre todo el espacio para esta variante de reciprocidad, por lo que una forma de Rayleigh-Carson no se sostiene sin suposiciones adicionales. ${\textstyle \ {\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon }$ ${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} ^{*}\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V\ ,}$ $${\displaystyle -\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{*}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{*}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}^{*}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}^{*}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} A} }$$ ${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{2}\ ,}$ ${\displaystyle -\mathbf {J} ^{*}\cdot \mathbf {E} }$

El hecho de que los materiales magneto-ópticos rompan la reciprocidad de Rayleigh-Carson es la clave para dispositivos como los aisladores y circuladores de Faraday . Una corriente en un lado de un aislador de Faraday produce un campo en el otro lado, pero no al revés.

Generalización a materiales no simétricos

Para una combinación de materiales con pérdidas y magnetoópticos, y en general cuando los tensores ε y μ no son matrices simétricas ni hermíticas, aún se puede obtener una versión generalizada de la reciprocidad de Lorentz considerando que y existen en sistemas diferentes . ${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$ ${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$

En particular, si se satisfacen las ecuaciones de Maxwell en ω para un sistema con materiales y se satisfacen las ecuaciones de Maxwell en ω para un sistema con materiales donde denota la transpuesta , entonces se cumple la ecuación de reciprocidad de Lorentz. Esto se puede generalizar aún más a materiales bianisotrópicos transponiendo el tensor de susceptibilidad completo de 6×6. ^[11] ${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$ ${\displaystyle (\varepsilon _{1},\mu _{1})\ ,}$ ${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$ ${\displaystyle \left(\varepsilon _{1}^{\mathsf {T}},\mu _{1}^{\mathsf {T}}\right)\ ,}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Excepciones a la reciprocidad

En el caso de los medios no lineales , no se cumple ningún teorema de reciprocidad. La reciprocidad tampoco suele aplicarse a los medios que varían con el tiempo ("activos"); por ejemplo, cuando ε se modula en el tiempo mediante algún proceso externo. (En ambos casos, la frecuencia ω no suele ser una cantidad conservada).

Reciprocidad Feld-Tai

^{En 1992, YA Feld [12]} y CT Tai ^[13] enunciaron de forma independiente un teorema de reciprocidad estrechamente relacionado , conocido como reciprocidad Feld-Tai o lema Feld-Tai . Relaciona dos fuentes de corriente localizadas armónicas en el tiempo y los campos magnéticos resultantes :

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2}\,\operatorname {d} V=\int \mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\operatorname {d} V\ .}$

Sin embargo, el lema de Feld-Tai sólo es válido en condiciones mucho más restrictivas que la reciprocidad de Lorentz. Generalmente requiere medios lineales invariantes en el tiempo con una impedancia homogénea isótropa , es decir, una relación escalar μ / ε constante , con la posible excepción de regiones de material perfectamente conductor.

Más precisamente, la reciprocidad Feld-Tai requiere la simetría hermítica (o más bien, compleja-simétrica) de los operadores electromagnéticos como se indicó anteriormente, pero también se basa en el supuesto de que el operador que relaciona y es un múltiplo escalar constante del operador que relaciona y, lo cual es cierto cuando ε es un múltiplo escalar constante de μ (los dos operadores generalmente difieren por un intercambio de ε y μ ). Como se indicó anteriormente, también se puede construir una formulación más general para integrales sobre un volumen finito. ${\displaystyle \ \mathbf {E} \ }$ ${\displaystyle \ i\omega \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {H} \ }$ ${\displaystyle \ \nabla \times (\mathbf {J} /\varepsilon )\ ,}$

Reciprocidad óptica en términos radiométricos

Aparte de los efectos cuánticos, la teoría clásica cubre los fenómenos eléctricos y magnéticos de campo cercano, medio y lejano con cursos temporales arbitrarios. La óptica se refiere a los efectos electromagnéticos oscilatorios casi sinusoidales de campo lejano. En lugar de variables eléctricas y magnéticas pareadas, la óptica, incluida la reciprocidad óptica, se puede expresar en variables radiométricas pareadas por polarización , como la radiancia espectral , tradicionalmente llamada intensidad específica .

En 1856, Hermann von Helmholtz escribió:

"Un rayo de luz que procede del punto A llega al punto B después de sufrir cualquier número de refracciones, reflexiones, etc. En el punto A, tómense dos planos perpendiculares cualesquiera a ₁ , a ₂ en la dirección del rayo; y dividan las vibraciones del rayo en dos partes, una en cada uno de estos planos. Tómense planos iguales b ₁ , b ₂ en el rayo en el punto B ; entonces se puede demostrar la siguiente proposición. Si cuando la cantidad de luz J polarizada en el plano a ₁ procede de A en la dirección del rayo dado, la parte K de la misma de luz polarizada en b ₁ llega a B , entonces, a la inversa, si la cantidad de luz J polarizada en b ₁ procede de B , la misma cantidad de luz K polarizada en a ₁ llegará a A ." ^[14]

Esto a veces se denomina principio de reciprocidad (o reversión) de Helmholtz. ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]} Cuando la onda se propaga a través de un material sobre el que actúa un campo magnético aplicado, la reciprocidad puede romperse, por lo que este principio no se aplicará. ^[14] De manera similar, cuando hay objetos en movimiento en el camino del rayo, el principio puede ser completamente inaplicable. Históricamente, en 1849, Sir George Stokes enunció su principio de reversión óptica sin prestar atención a la polarización. ^{[21] [22] [23]}

Al igual que los principios de la termodinámica, este principio es lo suficientemente confiable como para usarse como verificación del correcto desempeño de los experimentos, en contraste con la situación habitual en la que los experimentos son pruebas de una ley propuesta. ^{[24] [25]}

La formulación más simple del principio es: si puedo verte, entonces tú puedes verme . El principio fue utilizado por Gustav Kirchhoff en la derivación de su ley de radiación térmica y por Max Planck en su análisis de su ley de radiación térmica .

Para los algoritmos de iluminación global de trazado de rayos , la luz entrante y saliente se pueden considerar como inversiones entre sí, sin afectar el resultado de la función de distribución de reflectancia bidireccional (BRDF). ^[25]

La reciprocidad de Green

Mientras que los teoremas de reciprocidad anteriores eran para campos oscilantes, la reciprocidad de Green es un teorema análogo para la electrostática con una distribución fija de carga eléctrica (Panofsky y Phillips, 1962).

En particular, denotemos el potencial eléctrico resultante de una densidad de carga total . El potencial eléctrico satisface la ecuación de Poisson , , donde es la permitividad del vacío . De manera similar, denotemos el potencial eléctrico resultante de una densidad de carga total , que satisface . En ambos casos, suponemos que las distribuciones de carga están localizadas, de modo que se puede elegir que los potenciales tiendan a cero en el infinito. Entonces, el teorema de reciprocidad de Green establece que, para integrales en todo el espacio: ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{1}=\rho _{1}/\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{2}=\rho _{2}/\varepsilon _{0}}$

${\displaystyle \int \rho _{1}\phi _{2}dV=\int \rho _{2}\phi _{1}\operatorname {d} V~.}$

Este teorema se demuestra fácilmente a partir de la segunda identidad de Green . Equivalentemente, es la afirmación de que

${\displaystyle \int \phi _{2}(\nabla ^{2}\phi _{1})\operatorname {d} V=\int \phi _{1}(\nabla ^{2}\phi _{2})\operatorname {d} V\ ,}$

es decir que es un operador hermítico (como se deduce integrando por partes dos veces). ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Véase también

• Principio de equivalencia de superficies

Referencias

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