Distancia del círculo máximo

Distancia más corta entre dos puntos en la superficie de una esfera

Diagrama que ilustra la distancia del círculo máximo (dibujada en rojo) entre dos puntos de una esfera, P y Q. También se muestran dos puntos antípodas , u y v.

La distancia ortodrómica, o distancia esférica , es la distancia entre dos puntos de una esfera , medida a lo largo del arco de círculo máximo que los separa. Este arco es el camino más corto entre los dos puntos de la superficie de la esfera. (En comparación, el camino más corto que pasa por el interior de la esfera es la cuerda entre los puntos).

En una superficie curva , el concepto de líneas rectas se sustituye por un concepto más general de geodésicas , curvas que son localmente rectas con respecto a la superficie. Las geodésicas en la esfera son círculos máximos, círculos cuyo centro coincide con el centro de la esfera.

Dos puntos distintos de una esfera que no sean antípodas (diametralmente opuestos) se encuentran ambos en un único círculo máximo, que los puntos separan en dos arcos; la longitud del arco más corto es la distancia del círculo máximo entre los puntos. Esta longitud de arco es proporcional al ángulo central entre los puntos, que si se mide en radianes se puede ampliar por el radio de la esfera para obtener la longitud del arco. Dos puntos antípodas se encuentran ambos en infinitos círculos máximos, cada uno de los cuales dividen en dos arcos de longitud π multiplicada por el radio.

La determinación de la distancia del círculo máximo forma parte del problema más general de la navegación de círculo máximo , que también calcula los acimutes en los puntos finales y los puntos intermedios. Debido a que la Tierra es casi esférica , las fórmulas de distancia del círculo máximo aplicadas a la longitud y latitud geodésica de puntos de la Tierra tienen una precisión de aproximadamente el 0,5 %. ^[1]

Fórmulas

Una ilustración del ángulo central, Δσ, entre dos puntos, P y Q. λ y φ son los ángulos longitudinal y latitudinal de P respectivamente.

Sean y la longitud y latitud geográficas de dos puntos 1 y 2, y sus diferencias absolutas; entonces , el ángulo central entre ellos, está dado por la ley esférica de los cosenos si uno de los polos se utiliza como tercer punto auxiliar en la esfera: ^[2] ${\displaystyle \lambda _{1},\phi _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2},\phi _{2}}$ ${\displaystyle \Delta \lambda ,\Delta \phi }$ ${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle \Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda {\bigr )}.}$

El problema se expresa normalmente en términos de hallar el ángulo central . Dado este ángulo en radianes, la longitud real del arco d en una esfera de radio r se puede calcular de manera trivial como ${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle d=r\,\Delta \sigma .}$

Relación entre el ángulo central y la longitud de la cuerda

El ángulo central está relacionado con la longitud de la cuerda de la esfera unitaria : ${\displaystyle \Delta \sigma }$ ${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}},\\\Delta \sigma _{\text{c}}&=2\sin {\frac {\Delta \sigma }{2}}.\end{aligned}}}$

Para aproximación de distancias cortas ( ), ${\displaystyle |\Delta \sigma _{\text{c}}|\ll 1}$

${\displaystyle \Delta \sigma =\Delta \sigma _{\text{c}}\left(1+{\frac {1}{24}}\left(\Delta \sigma _{\text{c}}\right)^{2}+\cdots \right).}$

Fórmulas de cálculo

En sistemas informáticos con baja precisión de coma flotante , la fórmula de la ley esférica de los cosenos puede tener grandes errores de redondeo si la distancia es pequeña (si los dos puntos están separados por un kilómetro en la superficie de la Tierra, el coseno del ángulo central está cerca de 0,99999999). Para los números de coma flotante de 64 bits modernos , la fórmula de la ley esférica de los cosenos, dada anteriormente, no tiene errores de redondeo graves para distancias mayores que unos pocos metros en la superficie de la Tierra. ^[3] La fórmula de Haversine está numéricamente mejor condicionada para distancias pequeñas al usar la relación cuerda-longitud: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\left(1-\operatorname {hav} (\Delta \phi )-\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2})\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right).\end{aligned}}}$

Históricamente, el uso de esta fórmula se simplificó gracias a la disponibilidad de tablas para la función haversine : y . ${\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {archav} x=2\arcsin {\sqrt {x}}}$

A continuación se muestra la fórmula equivalente que expresa explícitamente la longitud de la cuerda:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma _{\text{c}}&=2{\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{1}}\cdot \cos {\phi _{2}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\ ,\\&=2{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}\ ,\end{aligned}}}$

dónde . ${\displaystyle \phi _{\text{m}}={\tfrac {1}{2}}(\phi _{1}+\phi _{2})}$

Aunque esta fórmula es precisa para la mayoría de las distancias en una esfera, también sufre errores de redondeo para el caso especial (y algo inusual) de puntos antípodas. Una fórmula que es precisa para todas las distancias es el siguiente caso especial de la fórmula de Vincenty para un elipsoide con ejes mayor y menor iguales: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma ={\operatorname {atan2} }{\Bigl (}&{\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin \Delta \lambda \right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \right)^{2}}},\\&\quad {\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda }{\Bigr )},\end{aligned}}}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ es la arcotangente de dos argumentos . El uso de atan2 garantiza que se elija el cuadrante correcto.

Versión vectorial

Otra representación de fórmulas similares, pero utilizando vectores normales en lugar de latitud y longitud para describir las posiciones, se encuentra mediante álgebra vectorial 3D , utilizando el producto escalar , el producto vectorial o una combinación: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}}$

donde y son las normales a la esfera en las dos posiciones 1 y 2. De manera similar a las ecuaciones anteriores basadas en latitud y longitud, la expresión basada en arctan es la única que está bien condicionada para todos los ángulos . La expresión basada en arctan requiere la magnitud del producto vectorial sobre el producto escalar. ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$

A partir de la longitud del acorde

Una línea que atraviesa un espacio tridimensional entre puntos de interés en una Tierra esférica es la cuerda del círculo máximo entre los puntos. El ángulo central entre los dos puntos se puede determinar a partir de la longitud de la cuerda. La distancia del círculo máximo es proporcional al ángulo central.

La longitud de la cuerda del círculo máximo, , se puede calcular de la siguiente manera para la esfera unitaria correspondiente, mediante resta cartesiana : ${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\\Delta \sigma _{\text{c}}&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Sustituyendo esta fórmula se puede manipular algebraicamente a la forma que se muestra arriba en § Fórmulas computacionales. ${\displaystyle \lambda _{1}=-{\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }$

Radio de la Tierra esférica

Radios ecuatorial ( a ), polar ( b ) y medio de la Tierra según se definen en la revisión del Sistema Geodésico Mundial de 1984. ( No está a escala ).

La forma de la Tierra se asemeja mucho a una esfera aplanada (un esferoide ) con un radio ecuatorial de 6378,137 km; la distancia desde el centro del esferoide a cada polo es de 6356,7523142 km. Al calcular la longitud de una línea corta de norte a sur en el ecuador, el círculo que mejor se aproxima a esa línea tiene un radio de (que equivale al semilatus rectum del meridiano ), o 6335,439 km, mientras que el esferoide en los polos se aproxima mejor con una esfera de radio , o 6399,594 km, una diferencia del 1%. Siempre que se suponga una Tierra esférica, cualquier fórmula única para la distancia en la Tierra solo tiene una garantía de exactitud del 0,5% (aunque es posible una mayor precisión si la fórmula solo está destinada a aplicarse a un área limitada). El uso del radio medio de la Tierra ( para el elipsoide WGS84 ) significa que en el límite de aplanamiento pequeño, el error relativo cuadrático medio en las estimaciones de distancia se minimiza. ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}}$ ${\textstyle {\frac {a^{2}}{b}}}$ ${\textstyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371.009{\text{ km}}}$

Para distancias menores de 500 kilómetros y fuera de los polos, una aproximación euclidiana de una Tierra elipsoidal ( fórmula de FCC ) es más simple y más precisa (hasta el 0,1%). ^[8]

Véase también

• Navegación aérea
• Distancia angular
• Circunnavegación
• Geometría elíptica § Espacio elíptico (caso 3D)
• Planificación de vuelo
• Geodesia
• Geodésicas sobre un elipsoide
• Sistema geodésico
• Distancia geográfica
• Isoazimutal
• Navegación loxodrómica
• Arco meridiano
• Línea de rumbo
• Geometría esférica
• Trigonometría esférica
• Versor

Referencias y notas

1. Manual de navegación del Almirantazgo, volumen 1, The Stationery Office, 1987, pág. 10, ISBN 9780117728806Los errores introducidos al suponer una Tierra esférica basada en la milla náutica internacional no son más del 0,5% para la latitud y el 0,2% para la longitud .
2. Kells, Lyman M.; Kern, Willis F.; Bland, James R. (1940). Trigonometría plana y esférica. McGraw Hill Book Company, Inc. págs. 323-326 . Consultado el 13 de julio de 2018 .
3. "Calcula distancia, rumbo y más entre puntos de latitud/longitud" . Consultado el 10 de agosto de 2013 .
4. Sinnott, Roger W. (agosto de 1984). "Virtudes de Haversine". Sky and Telescope . 68 (2): 159.
5. Vincenty, Thaddeus (1975-04-01). "Soluciones directas e inversas de geodésicas en el elipsoide con aplicación de ecuaciones anidadas" (PDF) . Survey Review . 23 (176). Kingston Road, Tolworth, Surrey: Dirección de Estudios en el Extranjero : 88–93. doi :10.1179/sre.1975.23.176.88 . Consultado el 21 de julio de 2008 .
6. Gade, Kenneth (2010). "Una representación de posición horizontal no singular" (PDF) . The Journal of Navigation . 63 (3). Cambridge University Press: 395–417. doi :10.1017/S0373463309990415.
7. McCaw, GT (1932). "Largas líneas en la Tierra". Empire Survey Review . 1 (6): 259–263. doi :10.1179/sre.1932.1.6.259.
8. • Agafonkin, Vladimir (30 de agosto de 2017). "Aproximaciones geodésicas rápidas con Cheap Ruler". Mapbox .
   • "mapbox/cheap-ruler". Mapbox. 10 de mayo de 2024.

Enlaces externos

• Gran círculo en MathWorld