Radio de Schwarzschild

Radio del horizonte de sucesos de un agujero negro de Schwarzschild

El radio de Schwarzschild o radio gravitacional es un parámetro físico de la solución de Schwarzschild a las ecuaciones de campo de Einstein que corresponde al radio que define el horizonte de sucesos de un agujero negro de Schwarzschild . Es un radio característico asociado a cualquier cantidad de masa. El radio de Schwarzschild debe su nombre al astrónomo alemán Karl Schwarzschild , quien calculó esta solución exacta para la teoría de la relatividad general en 1916.

El radio de Schwarzschild se expresa como donde G es la constante gravitacional , M es la masa del objeto y c es la velocidad de la luz . ^{[nota 1] [1] [2]} $${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$$

Historia

En 1916, Karl Schwarzschild obtuvo la solución exacta ^{[3] [4]} de las ecuaciones de campo de Einstein para el campo gravitatorio fuera de un cuerpo no giratorio, esféricamente simétrico con masa (ver métrica de Schwarzschild ). La solución contenía términos de la forma y , que se vuelven singulares en y respectivamente. El ha llegado a conocerse como el radio de Schwarzschild . El significado físico de estas singularidades fue debatido durante décadas. Se encontró que el de es una singularidad de coordenadas, lo que significa que es un artefacto del sistema particular de coordenadas que se utilizó; mientras que el de es una singularidad del espacio-tiempo y no se puede eliminar. ^[5] El radio de Schwarzschild es, no obstante, una cantidad físicamente relevante, como se señaló arriba y abajo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1-{r_{\text{s}}}/r}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-{r_{\text{s}}}/r}}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}}$ ${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$ ${\displaystyle r=0}$

Esta expresión ya había sido calculada previamente, utilizando la mecánica newtoniana, como el radio de un cuerpo esférico simétrico en el que la velocidad de escape era igual a la velocidad de la luz. Fue identificada en el siglo XVIII por John Michell ^[6] y Pierre-Simon Laplace ^[7] .

Parámetros

El radio de Schwarzschild de un objeto es proporcional a su masa. Por lo tanto, el Sol tiene un radio de Schwarzschild de aproximadamente 3,0 km (1,9 mi), ^[8] mientras que el de la Tierra es de aproximadamente 9 mm (0,35 in) ^[8] y el de la Luna es de aproximadamente 0,1 mm (0,0039 in).

Derivación

La forma más sencilla de derivar el radio de Schwarzschild proviene de la igualdad del módulo de la energía en reposo de una masa sólida esférica con su energía gravitacional:

 ${\displaystyle Mc^{2}={\frac {GM^{2}}{2r}}}$

Entonces, el radio de Schwarzschild se lee como

${\displaystyle r={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

Clasificación de agujeros negros según el radio de Schwarzschild

Cualquier objeto cuyo radio sea menor que su radio de Schwarzschild se denomina agujero negro . La superficie en el radio de Schwarzschild actúa como un horizonte de sucesos en un cuerpo que no gira (un agujero negro que gira funciona de manera ligeramente diferente). Ni la luz ni las partículas pueden escapar a través de esta superficie desde la región interior, de ahí el nombre de "agujero negro".

Los agujeros negros se pueden clasificar en función de su radio de Schwarzschild o, equivalentemente, de su densidad, donde la densidad se define como la masa de un agujero negro dividida por el volumen de su esfera de Schwarzschild. Como el radio de Schwarzschild está relacionado linealmente con la masa, mientras que el volumen encerrado corresponde a la tercera potencia del radio, los agujeros negros pequeños son, por tanto, mucho más densos que los grandes. El volumen encerrado en el horizonte de sucesos de los agujeros negros más masivos tiene una densidad media inferior a la de las estrellas de la secuencia principal.

Agujero negro supermasivo

Un agujero negro supermasivo (SMBH) es el tipo más grande de agujero negro, aunque hay pocos criterios oficiales sobre cómo se considera tal objeto, del orden de cientos de miles a miles de millones de masas solares. (Se han detectado agujeros negros supermasivos de hasta 21 mil millones (2,1 × 10 ¹⁰ )  M _☉ , como NGC 4889 .) ^[16] A diferencia de los agujeros negros de masa estelar , los agujeros negros supermasivos tienen densidades promedio comparativamente bajas. (Tenga en cuenta que un agujero negro (no giratorio) es una región esférica en el espacio que rodea la singularidad en su centro; no es la singularidad en sí misma). Con eso en mente, la densidad promedio de un agujero negro supermasivo puede ser menor que la densidad del agua.

El radio de Schwarzschild de un cuerpo es proporcional a su masa y, por lo tanto, a su volumen, suponiendo que el cuerpo tiene una masa-densidad constante. ^[17] En cambio, el radio físico del cuerpo es proporcional a la raíz cúbica de su volumen. Por lo tanto, a medida que el cuerpo acumula materia a una densidad fija dada (en este ejemplo, 997 kg/m ³ , la densidad del agua), su radio de Schwarzschild aumentará más rápidamente que su radio físico. Cuando un cuerpo de esta densidad haya crecido hasta alrededor de 136 millones de masas solares (1,36 × 10 ⁸  M _☉ ), su radio físico sería superado por su radio de Schwarzschild y, por lo tanto, formaría un agujero negro supermasivo.

Se cree que los agujeros negros supermasivos como estos no se forman inmediatamente a partir del colapso singular de un cúmulo de estrellas, sino que pueden comenzar su vida como agujeros negros más pequeños, del tamaño de una estrella, y crecer más grandes por la acreción de materia, o incluso de otros agujeros negros. ^[18]

El radio de Schwarzschild del agujero negro supermasivo en el centro galáctico de la Vía Láctea es de aproximadamente 12 millones de kilómetros. ^[11] Su masa es de aproximadamente 4,1 millones de  M _☉ .

Agujero negro estelar

Los agujeros negros estelares tienen densidades medias mucho mayores que los agujeros negros supermasivos. Si se acumula materia a densidad nuclear (la densidad del núcleo de un átomo, unos 10 ¹⁸ kg/m ³ ; las estrellas de neutrones también alcanzan esta densidad), dicha acumulación caería dentro de su propio radio de Schwarzschild, de unos 3  M _☉ y, por tanto, sería un agujero negro estelar .

Microagujero negro

Una masa pequeña tiene un radio de Schwarzschild extremadamente pequeño. Un agujero negro de masa similar a la del Monte Everest ^{[19] [nota 2]} tendría un radio de Schwarzschild mucho más pequeño que un nanómetro . ^{[nota 3]} Su densidad media a ese tamaño sería tan alta que ningún mecanismo conocido podría formar objetos tan extremadamente compactos. Es posible que tales agujeros negros se formaran en una etapa temprana de la evolución del universo, justo después del Big Bang , cuando las densidades de materia eran extremadamente altas. Por lo tanto, estos hipotéticos agujeros negros en miniatura se denominan agujeros negros primordiales .

Al pasar a la escala de Planck ≈ 10 ⁻³⁵ m , es conveniente escribir el radio gravitacional en la forma , (ver también agujero negro virtual ). ^[20] ${\displaystyle \ell _{P}={\sqrt {(G/c^{3})\,\hbar }}}$ ${\displaystyle r_{s}=2\,(G/c^{3})Mc}$

Otros usos

En la dilatación del tiempo gravitacional

La dilatación del tiempo gravitacional cerca de un cuerpo grande, de rotación lenta y casi esférico, como la Tierra o el Sol, se puede aproximar razonablemente de la siguiente manera: ^[21] donde: $${\displaystyle {\frac {t_{r}}{t}}={\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}}$$

• t _r es el tiempo transcurrido para un observador en la coordenada radial r dentro del campo gravitacional;
• t es el tiempo transcurrido para un observador distante del objeto masivo (y por lo tanto fuera del campo gravitacional);
• r es la coordenada radial del observador (que es análoga a la distancia clásica desde el centro del objeto);
• r _s es el radio de Schwarzschild.

Intersección de longitud de onda de Compton

El radio de Schwarzschild ( ) y la longitud de onda de Compton ( ) correspondientes a una masa dada son similares cuando la masa es alrededor de una masa de Planck ( ), cuando ambas son del mismo orden que la longitud de Planck ( ). ${\displaystyle 2GM/c^{2}}$ ${\displaystyle 2\pi \hbar /Mc}$ ${\textstyle M={\sqrt {\hbar c/G}}}$ ${\textstyle {\sqrt {\hbar G/c^{3}}}}$

Radio gravitacional y principio de incertidumbre de Heisenberg

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}={\frac {2G}{c^{3}}}Mc={\frac {2G}{c^{3}}}P_{0}\Rightarrow {\frac {2G}{c^{3}}}{\frac {\hbar }{2r}}={\frac {\ell _{P}^{2}}{r}}.}$

Por lo tanto, o , que es otra forma del principio de incertidumbre de Heisenberg en la escala de Planck . (Véase también Agujero negro virtual ). ^{[20] [22]} ${\displaystyle r_{s}r\sim \ell _{P}^{2}}$ ${\displaystyle \Delta r_{s}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}$

Calcular el volumen y el radio máximos posibles dada una densidad antes de que se forme un agujero negro

La ecuación del radio de Schwarzschild se puede manipular para obtener una expresión que proporcione el radio más grande posible a partir de una densidad de entrada que no forme un agujero negro. Si tomamos la densidad de entrada como ρ ,

${\displaystyle r_{\text{s}}={\sqrt {\frac {3c^{2}}{8\pi G\rho }}}.}$

Por ejemplo, la densidad del agua es1000 kg/m ³ . Esto significa que la mayor cantidad de agua que puede haber sin formar un agujero negro tendría un radio de 400 920 754 km (aproximadamente 2,67 UA ).

Véase también

• Agujero negro , un estudio general
• Límite de Chandrasekhar , un segundo requisito para la formación de un agujero negro
• Juan Michell

Clasificación de los agujeros negros por tipo:

• Agujero negro estático o de Schwarzschild
• Agujero negro giratorio o de Kerr
• Agujero negro cargado o agujero negro de Newman y agujero negro de Kerr-Newman

Una clasificación de los agujeros negros por masa:

• Agujero negro micro y agujero negro extradimensional
• Longitud de Planck
• Agujero negro primordial , un hipotético remanente del Big Bang
• Agujero negro estelar , que podría ser un agujero negro estático o un agujero negro giratorio
• Agujero negro supermasivo , que también podría ser un agujero negro estático o un agujero negro giratorio
• Universo visible , si su densidad es la densidad crítica , como un agujero negro hipotético
• Agujero negro virtual

Notas

1. En sistemas de unidades geometrizadas , tanto G como c se toman como unidad, lo que reduce esta ecuación a . ${\displaystyle r_{\text{s}}=2M}$
2. Usando estos valores, ^[19] se puede calcular una estimación de masa de6,3715 × 10 ¹⁴  kilogramos .
3. Se puede calcular el radio de Schwarzschild: 2 ×6,6738 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅ kg ⁻¹ ⋅ ^{s −2} ×6,3715 × 10 ¹⁴  kg / (299 792 458  m⋅s ⁻¹ ) ² =9,46 × 10 ⁻¹³  m =9,46 × 10 ⁻⁴  nm .

Referencias

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