Multiplicidad (matemáticas)

Número de veces que se debe contar un objeto para hacer verdadera una fórmula general

En matemáticas , la multiplicidad de un miembro de un multiconjunto es el número de veces que aparece en el multiconjunto. Por ejemplo, el número de veces que un polinomio dado tiene una raíz en un punto dado es la multiplicidad de esa raíz.

La noción de multiplicidad es importante para poder contar correctamente sin especificar excepciones (por ejemplo, raíces dobles contadas dos veces). De ahí la expresión "contado con multiplicidad".

Si se ignora la multiplicidad, esto se puede enfatizar contando el número de elementos distintos , como en "el número de raíces distintas". Sin embargo, siempre que se forma un conjunto (a diferencia de un conjunto múltiple), la multiplicidad se ignora automáticamente, sin necesidad de utilizar el término "distinto".

Multiplicidad de un factor primo

En la factorización prima , la multiplicidad de un factor primo es su valoración -ádica . Por ejemplo, la factorización prima del número entero 60 es ${\displaystyle p}$

60 = 2 × 2 × 3 × 5,

la multiplicidad del factor primo 2 es 2 , mientras que la multiplicidad de cada uno de los factores primos 3 y 5 es 1 . Por tanto, 60 tiene cuatro factores primos que permiten multiplicidades, pero sólo tres factores primos distintos.

Multiplicidad de una raíz de un polinomio

Sea un campo y un polinomio en una variable con coeficientes en . Un elemento es raíz de multiplicidad de si existe un polinomio tal que y . Si , entonces a se llama raíz simple . Si , entonces se llama raíz múltiple . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(a)\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)=(x-a)^{k}s(x)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle a}$

Por ejemplo, el polinomio tiene 1 y −4 como raíces y se puede escribir como . Esto significa que 1 es una raíz de multiplicidad 2 y −4 es una raíz simple (de multiplicidad 1). La multiplicidad de una raíz es el número de ocurrencias de esta raíz en la factorización completa del polinomio, mediante el teorema fundamental del álgebra . ${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$ ${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$

Si es raíz de multiplicidad de un polinomio, entonces es raíz de multiplicidad de la derivada de ese polinomio, a menos que la característica del campo subyacente sea un divisor de k , en cuyo caso es raíz de multiplicidad al menos de la derivada. . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$

El discriminante de un polinomio es cero si y sólo si el polinomio tiene raíz múltiple.

Comportamiento de una función polinómica cerca de una raíz múltiple

Gráfica de x ³  + 2 x ²  − 7 x  + 4 con una raíz simple (multiplicidad 1) en x=−4 y una raíz de multiplicidad 2 en x=1. La gráfica cruza el eje x en la raíz simple. Es tangente al eje x en la raíz múltiple y no lo cruza, ya que la multiplicidad es par.

La gráfica de una función polinómica f toca el eje x en las raíces reales del polinomio. La gráfica es tangente a él en las raíces múltiples de f y no tangente en las raíces simples. La gráfica cruza el eje x en raíces de multiplicidad impar y no lo cruza en raíces de multiplicidad par.

Una función polinómica distinta de cero es no negativa en todas partes si y sólo si todas sus raíces tienen multiplicidad par y existe tal que . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})>0}$

Multiplicidad de una solución de un sistema de ecuaciones no lineal.

Para una ecuación con solución de una sola variable , la multiplicidad es si ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$y ${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

En otras palabras, el funcional diferencial , definido como la derivada de una función en , desaparece en hasta . Esos funcionales diferenciales abarcan un espacio vectorial, llamado espacio dual de Macaulay en , ^[1] y su dimensión es la multiplicidad de como cero de . ${\displaystyle \partial _{j}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$

Sea un sistema de ecuaciones de variables con solución donde es un mapeo de a o de a . También hay un espacio dual de Macaulay de funcionales diferenciales en el que cada funcional desaparece en . La dimensión de este espacio dual de Macaulay es la multiplicidad de la solución de la ecuación . El espacio dual de Macaulay forma la estructura de multiplicidad del sistema en la solución. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle R^{m}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle C^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

Por ejemplo, la solución del sistema de ecuaciones en forma de con ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

es de multiplicidad 3 porque el espacio dual de Macaulay

${\displaystyle span\{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

es de dimensión 3, donde denota el funcional diferencial aplicado a una función en el punto . ${\displaystyle \partial _{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\partial x_{2}^{j}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$

La multiplicidad es siempre finita si la solución está aislada, es invariante a la perturbación en el sentido de que una solución doble se convierte en un grupo de soluciones con una multiplicidad combinada bajo perturbación en espacios complejos y es idéntica a la multiplicidad de intersección en sistemas polinomiales. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Multiplicidad de intersección

En geometría algebraica , la intersección de dos subvariedades de una variedad algebraica es una unión finita de variedades irreducibles . A cada componente de dicha intersección se le atribuye una multiplicidad de intersección . Esta noción es local en el sentido de que puede definirse observando lo que ocurre en las proximidades de cualquier punto genérico de este componente. De ello se deduce que, sin pérdida de generalidad, podemos considerar, para definir la multiplicidad de intersección, la intersección de dos variedades afines (subvariedades de un espacio afín).

Por lo tanto, dadas dos variedades afines V ₁ y V ₂ , considere un componente irreducible W de la intersección de V ₁ y V ₂ . Sea d la dimensión de W y P cualquier punto genérico de W. La intersección de W con d hiperplanos en posición general que pasa por P tiene una componente irreducible que se reduce al único punto P. Por lo tanto, el anillo local en este componente del anillo de coordenadas de la intersección tiene solo un ideal primo y, por lo tanto, es un anillo artiniano . Este anillo es, por tanto, un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo terrestre. Su dimensión es la multiplicidad de intersección de V ₁ y V ₂ en W.

Esta definición nos permite enunciar con precisión el teorema de Bézout y sus generalizaciones.

Esta definición generaliza la multiplicidad de una raíz de un polinomio de la siguiente manera. Las raíces de un polinomio f son puntos de la recta afín , que son los componentes del conjunto algebraico definido por el polinomio. El anillo de coordenadas de este conjunto afín es donde K es un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de f . Si es la factorización de f , entonces el anillo local de R en el ideal primo es. Este es un espacio vectorial sobre K , que tiene la multiplicidad de la raíz como dimensión. ${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$ ${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$ ${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$ ${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Esta definición de multiplicidad de intersección, que se debe esencialmente a Jean-Pierre Serre en su libro Álgebra local , funciona sólo para los componentes teóricos de conjuntos (también llamados componentes aislados ) de la intersección, no para los componentes incrustados . Se han desarrollado teorías para manejar el caso integrado (consulte Teoría de intersección para más detalles).

En análisis complejos

Sea z ₀ una raíz de una función holomorfa f y sea n el entero menos positivo tal que la n- ^ésima derivada de f evaluada en z ₀ difiere de cero. Entonces la serie de potencias de f alrededor de z ₀ comienza con el n- ^ésimo término, y se dice que f tiene una raíz de multiplicidad (u “orden”)  n . Si n  = 1, la raíz se llama raíz simple. ^[4]

También podemos definir la multiplicidad de los ceros y polos de una función meromórfica . Si tenemos una función meromorfa, tome las expansiones de Taylor de g y h alrededor de un punto z ₀ y encuentre el primer término distinto de cero en cada una (denote el orden de los términos m y n respectivamente), entonces si m  =  n , entonces la El punto tiene un valor distinto de cero. Si entonces el punto es un cero de multiplicidad Si , entonces el punto tiene un polo de multiplicidad ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ ${\displaystyle m>n,}$ ${\displaystyle m-n.}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle n-m.}$

Referencias

1. DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein y CW Wampler (2013). Resolución numérica de sistemas polinomiales con Bertini . SIAM. págs. 186-187.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. BH Dayton, T.-Y. Li y Z. Zeng (2011). "Múltiples ceros de sistemas no lineales". Matemáticas de la Computación . 80 (276): 2143–2168. arXiv : 2103.05738 . doi :10.1090/s0025-5718-2011-02462-2. S2CID  9867417.
3. Macaulay, FS (1916). La teoría algebraica de los sistemas modulares . Universidad de Cambridge. Prensa de 1994, reimpresión del original de 1916.
4. (Krantz 1999, pag.70)

• Krantz, SG Manual de variables complejas . Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 .