Curva del plano cuartico

Curva algebraica plana definida por un polinomio de cuarto grado

En geometría algebraica , una curva plana de cuarto grado es una curva algebraica plana de cuarto grado . Puede definirse mediante una ecuación de cuarto grado bivariada :

${\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}$

con al menos uno de A, B, C, D, E distinto de cero. Esta ecuación tiene 15 constantes. Sin embargo, se puede multiplicar por cualquier constante distinta de cero sin cambiar la curva; así, mediante la elección de una constante de multiplicación apropiada, cualquiera de los coeficientes se puede establecer en 1, dejando sólo 14 constantes. Por lo tanto, el espacio de las curvas cuárticas se puede identificar con el espacio proyectivo real. También se deduce, del teorema de Cramer sobre las curvas algebraicas , que hay exactamente una curva cuártica que pasa por un conjunto de 14 puntos distintos en posición general , ya que una curva cuártica tiene 14 grados de libertad . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}.}$

Una curva cuártica puede tener un máximo de:

• Cuatro componentes conectados
• Veintiocho bitangentes
• Tres puntos dobles ordinarios .

También se pueden considerar curvas cuárticas sobre otros campos (o incluso anillos ), por ejemplo, los números complejos . De esta manera, se obtienen superficies de Riemann , que son objetos unidimensionales pero bidimensionales. Un ejemplo es la cuartica de Klein . Además, se pueden observar curvas en el plano proyectivo , dadas por polinomios homogéneos. ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Ejemplos

Varias combinaciones de coeficientes en la ecuación anterior dan lugar a varias familias de curvas importantes, como se enumeran a continuación.

• 
  Curva comercial
• 
  curva de frijol
• 
  curva bicúspide
• 
  Curva de arco
• 
  Curva cruciforme con los parámetros (b,a) siendo (1,1) en rojo; (2,2) en verde; (3,3) en azul.
• 
  Curva cruciforme con los parámetros (b,a) siendo (1,1) en rojo; (2,1) en verde; (3,1) en azul.
• 
  Sección espírica
• 
  Trébol de tres hojas en coordenadas cartesianas
• 
  Trébol de tres hojas en coordenadas polares

Curva comercial

La curva comercial es una curva plana de cuarto grado dada por la ecuación:

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$

Tiene género cero, con tres puntos dobles ordinarios, todos en el plano real. ^[1]

curva de frijol

La curva de frijol es una curva plana de cuarto grado con la ecuación:

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$

La curva del frijol tiene género cero. Tiene una singularidad en el origen, un punto triple ordinario. ^{[2] [3]}

curva bicúspide

El premolar es una curva del plano cuártico con la ecuación

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$

donde a determina el tamaño de la curva. El premolar tiene sólo las dos cúspides como singularidades y, por tanto, es una curva de género uno. ^[4]

Curva de arco

La curva de arco es una curva plana de cuarto grado con la ecuación:

${\displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,}$

La curva del arco tiene un único punto triple en x =0, y =0 y, en consecuencia, es una curva racional, de género cero. ^[5]

Curva cruciforme

La curva cruciforme , o curva transversal, es una curva plana de cuarto grado dada por la ecuación

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

donde a y b son dos parámetros que determinan la forma de la curva. La curva cruciforme está relacionada mediante una transformación cuadrática estándar, x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y con la elipse a ² x ² + b ² y ² = 1, y por lo tanto es una curva algebraica plana racional de género cero. La curva cruciforme tiene tres puntos dobles en el plano proyectivo real , en x =0 y y =0, x =0 y z =0, y y =0 y z =0. ^[6]

Como la curva es racional, se puede parametrizar mediante funciones racionales. Por ejemplo, si a =1 y b =2, entonces

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

parametriza los puntos de la curva fuera de los casos excepcionales en los que un denominador es cero.

Ilustración de los teoremas de Pitágoras inversa y regular

El teorema de Pitágoras inverso se obtiene de la ecuación anterior sustituyendo x por AC , y por BC y cada a y b por CD , donde A , B son los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC y D es el pie de una perpendicular caída desde C , el vértice del ángulo recto, hasta la hipotenusa:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

Sección espírica

Las secciones espirales se pueden definir como curvas cuárticas bicirculares que son simétricas con respecto a los ejes xey . Las secciones espíricas se incluyen en la familia de las secciones tóricas e incluyen la familia de los hipopédicos y la familia de los óvalos de Cassini . El nombre proviene de σπειρα, que significa toro en griego antiguo.

La ecuación cartesiana se puede escribir como

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$

y la ecuación en coordenadas polares como

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$

Trébol de tres hojas (trifolium)

El trébol de tres hojas o trifolium ^[7] es la curva del plano cuártico

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

Resolviendo para y , la curva se puede describir mediante la siguiente función:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$

donde las dos apariciones de ± son independientes entre sí, dando hasta cuatro valores distintos de y para cada x .

La ecuación paramétrica de la curva es

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$^[8]

En coordenadas polares ( x = r  cos φ, y = r  sin φ) la ecuación es

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$

Es un caso especial de curva rosa con k = 3. Esta curva tiene un punto triple en el origen (0, 0) y tiene tres tangentes dobles.

Ver también

• cuartico ternario
• Bitangentes de un cuarto

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Curva comercial". MundoMatemático .
2. Cundy, H. Martyn; Rollett, AP (1961) [1952], Modelos matemáticos (2ª ed.), Clarendon Press, Oxford, pág. 72, ISBN 978-0-906212-20-2, SEÑOR  0124167
3. Weisstein, Eric W. "Curva de frijol". MundoMatemático .
4. Weisstein, Eric W. "Curva bicúspide". MundoMatemático .
5. Weisstein, Eric W. "Arco". MundoMatemático .
6. Weisstein, Eric W. "Curva cruciforme". MundoMatemático .
7. Weisstein, Eric W. "Trifolium". MundoMatemático .
8. Gibson, CG, Geometría elemental de curvas algebraicas, introducción universitaria , Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3 . Páginas 12 y 78.