Superposición cuántica

Principio de la mecánica cuántica.

Superposición cuántica de estados y decoherencia.

La superposición cuántica es un principio fundamental de la mecánica cuántica que establece que las combinaciones lineales de soluciones de la ecuación de Schrödinger también son soluciones de la ecuación de Schrödinger. Esto se desprende del hecho de que la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal en tiempo y posición. Más precisamente, el estado de un sistema viene dado por una combinación lineal de todas las funciones propias de la ecuación de Schrödinger que gobierna ese sistema.

Un ejemplo es un qubit utilizado en el procesamiento de información cuántica . Un estado de qubit es generalmente una superposición de los estados básicos y : ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle ,}$

donde es el estado cuántico del qubit, y , denotan soluciones particulares a la ecuación de Schrödinger en notación de Dirac ponderadas por las dos amplitudes de probabilidad y que ambas son números complejos. Aquí corresponde al clásico 0 bit y al clásico 1 bit. Las probabilidades de medir el sistema en el estado o están dadas por y respectivamente (ver la regla de Born ). Antes de que se produzca la medición, el qubit se encuentra en una superposición de ambos estados. ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |c_{0}|^{2}}$ ${\displaystyle |c_{1}|^{2}}$

Las franjas de interferencia en el experimento de la doble rendija proporcionan otro ejemplo del principio de superposición.

Fondo

Paul Dirac describió el principio de superposición de la siguiente manera:

El principio general de superposición de la mecánica cuántica se aplica a los estados [que son teóricamente posibles sin interferencia o contradicción mutua]... de cualquier sistema dinámico. Requiere que supongamos que entre estos estados existen relaciones peculiares tales que siempre que el sistema esté definitivamente en un estado podemos considerarlo como si estuviera parcialmente en cada uno de dos o más estados. El estado original debe considerarse como el resultado de una especie de superposición de dos o más estados nuevos, de una manera que no puede concebirse según las ideas clásicas. Cualquier estado puede considerarse como el resultado de una superposición de dos o más estados y, de hecho, de un número infinito de maneras. Por el contrario, dos o más estados pueden superponerse para dar un nuevo estado...

La naturaleza no clásica del proceso de superposición se pone de manifiesto claramente si consideramos la superposición de dos estados, A y B , de modo que existe una observación que, cuando se hace en el sistema en el estado A , con seguridad conducirá a una observación particular. resultado, digamos a , y cuando se realiza en el sistema en el estado B seguramente conducirá a algún resultado diferente, digamos b . ¿Cuál será el resultado de la observación cuando se haga sobre el sistema en estado superpuesto? La respuesta es que el resultado será a veces a y a veces b , según una ley de probabilidad que depende de los pesos relativos de A y B en el proceso de superposición. Nunca será diferente tanto de a como de b [es decir, de a o b ]. El carácter intermedio del estado formado por superposición se expresa así a través de la probabilidad de que un resultado particular para una observación sea intermedio entre las probabilidades correspondientes para los estados originales, no porque el resultado mismo sea intermedio entre los resultados correspondientes para los estados originales. ^[1]

Anton Zeilinger , refiriéndose al ejemplo prototípico del experimento de la doble rendija , ha elaborado sobre la creación y destrucción de la superposición cuántica:

"[L]a superposición de amplitudes... sólo es válida si no hay forma de saber, ni siquiera en principio, qué camino tomó la partícula. Es importante darse cuenta de que esto no implica que un observador realmente tome nota de lo que hizo. Esto es suficiente para destruir el patrón de interferencia, si la información de la ruta es en principio accesible desde el experimento o incluso si está dispersa en el medio ambiente y más allá de cualquier posibilidad técnica de ser recuperada, pero en principio todavía está "ahí fuera". ' La ausencia de tal información es el criterio esencial para que aparezca la interferencia cuántica ^{[2] .}

Teoría

Formalismo general

Cualquier estado puede expandirse como una suma de los estados propios de un operador hermitiano, como el hamiltoniano, porque los estados propios forman una base completa:

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{x}c_{n}|n\rangle ,}$

¿Dónde están los estados propios de energía del hamiltoniano? Para variables continuas como estados propios de posición ,: ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$

${\displaystyle |\alpha \rangle =\int dx'|x'\rangle \langle x'|\alpha \rangle ,}$

donde está la proyección del estado en la base y se llama función de onda de la partícula. En ambos casos notamos que se puede expandir como una superposición de un número infinito de estados básicos. ${\displaystyle \phi _{\alpha }(x)=\langle x|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Ejemplo

Dada la ecuación de Schrödinger

${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,}$

donde indexa el conjunto de estados propios del hamiltoniano con valores propios de energía vemos inmediatamente que ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle E_{n},}$

${\displaystyle {\hat {H}}{\big (}|n\rangle +|n'\rangle {\big )}=E_{n}|n\rangle +E_{n'}|n'\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle |\Psi \rangle =|n\rangle +|n'\rangle }$

es una solución de la ecuación de Schrödinger pero generalmente no es un estado propio porque y generalmente no son iguales. Decimos que está formado por una superposición de estados propios de energía. Consideremos ahora el caso más concreto de un electrón que tiene espín hacia arriba o hacia abajo. Ahora indexamos los estados propios con los espinores en la base: ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n'}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =c_{1}|{\uparrow }\rangle +c_{2}|{\downarrow }\rangle ,}$

donde y denotan estados de aceleración y desaceleración respectivamente. Como se analizó anteriormente, las magnitudes de los coeficientes complejos dan la probabilidad de encontrar el electrón en cualquier estado de espín definido: ${\displaystyle |{\uparrow }\rangle }$ ${\displaystyle |{\downarrow }\rangle }$

${\displaystyle P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2},}$

${\displaystyle P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{2}|^{2},}$

${\displaystyle P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1,}$

donde la probabilidad de encontrar la partícula con espín hacia arriba o hacia abajo está normalizada a 1. Observe que y son números complejos, de modo que ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle |\Psi \rangle ={\frac {3}{5}}i|{\uparrow }\rangle +{\frac {4}{5}}|{\downarrow }\rangle .}$

es un ejemplo de un estado permitido. ahora obtenemos

${\displaystyle P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {3i}{5}}\right|^{2}={\frac {9}{25}},}$

${\displaystyle P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {4}{5}}\right|^{2}={\frac {16}{25}},}$

${\displaystyle P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1.}$

Si consideramos un qubit con posición y giro, el estado es una superposición de todas las posibilidades para ambos:

${\displaystyle \Psi =\psi _{+}(x)\otimes |{\uparrow }\rangle +\psi _{-}(x)\otimes |{\downarrow }\rangle ,}$

donde tenemos un estado general es la suma de los productos tensoriales de las funciones de onda del espacio de posición y los espinores. ${\displaystyle \Psi }$

evolución hamiltoniana

Los números que describen las amplitudes para diferentes posibilidades definen la cinemática , el espacio de diferentes estados. La dinámica describe cómo estos números cambian con el tiempo. Para una partícula que puede estar en cualquiera de infinitas posiciones discretas, una partícula en una red, el principio de superposición le dice cómo crear un estado:

${\displaystyle \sum _{n}\psi _{n}|n\rangle \,}$

De modo que la lista infinita de amplitudes describe completamente el estado cuántico de la partícula. Esta lista se llama vector de estado , y formalmente es un elemento de un espacio de Hilbert , un espacio vectorial complejo de dimensión infinita . Es habitual representar el estado de manera que la suma de los cuadrados absolutos de las amplitudes sea uno: ${\textstyle (\ldots ,\psi _{-2},\psi _{-1},\psi _{0},\psi _{1},\psi _{2},\ldots )}$

${\displaystyle \sum \psi _{n}^{*}\psi _{n}=1}$

Para una partícula descrita por la teoría de la probabilidad que camina aleatoriamente sobre una recta, lo análogo es la lista de probabilidades , que dan la probabilidad de cualquier posición. Las cantidades que describen cómo cambian en el tiempo son las probabilidades de transición , que dan la probabilidad de que, comenzando en x, la partícula termine en y tiempo t después. La probabilidad total de terminar en y está dada por la suma de todas las posibilidades ${\textstyle (\ldots ,P_{-2},P_{-1},P_{0},P_{1},P_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle \scriptstyle K_{x\rightarrow y}(t)}$

${\displaystyle P_{y}(t_{0}+t)=\sum _{x}P_{x}(t_{0})K_{x\rightarrow y}(t)\,}$

La condición de conservación de la probabilidad establece que comenzando en cualquier x, la probabilidad total de terminar en algún lugar debe sumar 1:

${\displaystyle \sum _{y}K_{x\rightarrow y}=1\,}$

Para que se conserve la probabilidad total, K es lo que se llama una matriz estocástica .

Cuando no pasa el tiempo, nada cambia: durante 0 tiempo transcurrido , la matriz K es cero excepto de un estado a sí misma. Entonces, en el caso de que el tiempo sea corto, es mejor hablar de la tasa de cambio de la probabilidad en lugar del cambio absoluto de la probabilidad. ${\displaystyle \scriptstyle K{x\rightarrow y}(0)=\delta _{xy}}$

${\displaystyle P_{y}(t+dt)=P_{y}(t)+dt\,\sum _{x}P_{x}R_{x\rightarrow y}\,}$

donde es la derivada temporal de la matriz K: ${\displaystyle \scriptstyle R_{x\rightarrow y}}$

${\displaystyle R_{x\rightarrow y}={K_{x\rightarrow y}\,dt-\delta _{xy} \over dt}.\,}$

La ecuación de las probabilidades es una ecuación diferencial que a veces se denomina ecuación maestra :

${\displaystyle {dP_{y} \over dt}=\sum _{x}P_{x}R_{x\rightarrow y}\,}$

La matriz R es la probabilidad por unidad de tiempo de que la partícula haga una transición de x a y. La condición de que los elementos de la matriz K sumen uno se convierte en la condición de que los elementos de la matriz R sumen cero:

${\displaystyle \sum _{y}R_{x\rightarrow y}=0\,}$

Un caso simple de estudiar es cuando la matriz R tiene la misma probabilidad de ir una unidad hacia la izquierda o hacia la derecha, describiendo una partícula que tiene una velocidad constante de caminata aleatoria. En este caso es cero a menos que y sea x  + 1, x o x  − 1, cuando y es x  + 1 o x  − 1, la matriz R tiene valor c y para que la suma de los coeficientes de la matriz R sea igual a cero, el valor de debe ser −2 c . Entonces las probabilidades obedecen a la ecuación de difusión discretizada : ${\displaystyle \scriptstyle R_{x\rightarrow y}}$ ${\displaystyle R_{x\rightarrow x}}$

${\displaystyle {dP_{x} \over dt}=c(P_{x+1}-2P_{x}+P_{x-1})\,}$

que, cuando c se escala apropiadamente y la distribución de P es lo suficientemente suave como para pensar en el sistema en un límite continuo , se convierte en:

${\displaystyle {\partial P(x,t) \over \partial t}=c{\partial ^{2}P \over \partial x^{2}}\,}$

Cuál es la ecuación de difusión .

Las amplitudes cuánticas dan la velocidad a la que las amplitudes cambian en el tiempo y matemáticamente son exactamente iguales excepto que son números complejos. El análogo de la matriz K de tiempo finito se llama matriz U:

${\displaystyle \psi _{n}(t)=\sum _{m}U_{nm}(t)\psi _{m}\,}$

Como la suma de los cuadrados absolutos de las amplitudes debe ser constante, debe ser unitaria : ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \sum _{n}U_{nm}^{*}U_{np}=\delta _{mp}\,}$

o, en notación matricial,

${\displaystyle U^{\dagger }U=I\,}$

La tasa de cambio de U se llama hamiltoniano H , hasta un factor tradicional de i :

${\displaystyle H_{mn}=i{d \over dt}U_{mn}}$

El hamiltoniano da la velocidad a la que la partícula tiene amplitud para pasar de ma n. La razón por la que se multiplica por i es que la condición de que U sea unitario se traduce en la condición:

${\displaystyle (I+iH^{\dagger }\,dt)(I-iH\,dt)=I}$

${\displaystyle H^{\dagger }-H=0\,}$

que dice que H es hermitiano . Los valores propios de la matriz hermitiana H son cantidades reales, que tienen una interpretación física como niveles de energía. Si el factor i estuviera ausente, la matriz H sería antihermitiana y tendría valores propios puramente imaginarios, que no es la forma tradicional en que la mecánica cuántica representa cantidades observables como la energía.

Para una partícula que tiene igual amplitud para moverse hacia la izquierda y hacia la derecha, la matriz hermitiana H es cero excepto para los vecinos más cercanos, donde tiene el valor c . Si el coeficiente es constante en todas partes, la condición de que H sea hermitiano exige que la amplitud para moverse hacia la izquierda sea el conjugado complejo de la amplitud para moverse hacia la derecha. La ecuación de movimiento es la ecuación diferencial de tiempo: ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle i{d\psi _{n} \over dt}=c^{*}\psi _{n+1}+c\psi _{n-1}}$

En el caso en que izquierda y derecha sean simétricas, c es real. Al redefinir la fase de la función de onda en el tiempo, las amplitudes de estar en diferentes ubicaciones solo se reescalan, de modo que la situación física no cambia. Pero esta rotación de fases introduce un término lineal. ${\displaystyle \psi \rightarrow \psi e^{i2ct}}$

${\displaystyle i{d\psi _{n} \over dt}=c\psi _{n+1}-2c\psi _{n}+c\psi _{n-1},}$

cuál es la elección correcta de fase para tomar el límite del continuo. Cuando es muy grande y varía lentamente de modo que la red puede considerarse como una línea, ésta se convierte en la ecuación libre de Schrödinger : ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle i{\partial \psi \over \partial t}=-{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}}$

Si hay un término adicional en la matriz H que es una rotación de fase extra que varía de un punto a otro, el límite del continuo es la ecuación de Schrödinger con una energía potencial:

${\displaystyle i{\partial \psi \over \partial t}=-{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+V(x)\psi }$

Estas ecuaciones describen el movimiento de una sola partícula en mecánica cuántica no relativista.

Mecánica cuántica en tiempo imaginario

Las funciones de onda de la mecánica cuántica son amplitudes de probabilidad para estados particulares, por lo que la mecánica cuántica se presta a una descripción estadística. En un sistema estadístico en tiempo discreto, t=1,2,3, descrito por una matriz de transición para un paso de tiempo , la probabilidad de ir entre dos puntos después de un número finito de pasos de tiempo se puede representar como una suma de todos los caminos de la probabilidad de tomar cada camino: ${\displaystyle \scriptstyle K_{m\rightarrow n}}$

${\displaystyle K_{x\rightarrow y}(T)=\sum _{x(t)}\prod _{t}K_{x(t)x(t+1)}\,}$

donde la suma se extiende sobre todos los caminos con la propiedad que y . La expresión análoga en mecánica cuántica es la integral de trayectoria . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(0)=0}$ ${\displaystyle x(T)=y}$

Una matriz de transición genérica en probabilidad tiene una distribución estacionaria, que es la probabilidad final de encontrarse en cualquier punto, sin importar cuál sea el punto de partida. Si existe una probabilidad distinta de cero de que dos caminos cualesquiera lleguen al mismo punto al mismo tiempo, esta distribución estacionaria no depende de las condiciones iniciales. En teoría de la probabilidad, la probabilidad m para la matriz estocástica obedece a un equilibrio detallado cuando la distribución estacionaria tiene la propiedad: ${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle \rho _{n}K_{n\rightarrow m}=\rho _{m}K_{m\rightarrow n}\,}$

El equilibrio detallado dice que la probabilidad total de pasar de m a n en la distribución estacionaria, que es la probabilidad de comenzar en m multiplicada por la probabilidad de saltar de m a n, es igual a la probabilidad de pasar de n a m, de modo que el flujo total de probabilidad de ida y vuelta en equilibrio es cero en cualquier salto. La condición se cumple automáticamente cuando n=m, por lo que tiene la misma forma cuando se escribe como condición para la matriz R de probabilidad de transición. ${\displaystyle \rho _{m}}$

${\displaystyle \rho _{n}R_{n\rightarrow m}=\rho _{m}R_{m\rightarrow n}\,}$

Cuando la matriz R obedece al equilibrio detallado, la escala de las probabilidades se puede redefinir utilizando la distribución estacionaria para que ya no sumen 1:

${\displaystyle p'_{n}={\sqrt {\rho _{n}}}\;p_{n}\,}$

En las nuevas coordenadas, la matriz R se reescala de la siguiente manera:

${\displaystyle {\sqrt {\rho _{n}}}R_{n\rightarrow m}{1 \over {\sqrt {\rho _{m}}}}=H_{nm}\,}$

y H es simétrico

${\displaystyle H_{nm}=H_{mn}\,}$

Esta matriz H define un sistema mecánico cuántico:

${\displaystyle i{d \over dt}\psi _{n}=\sum H_{nm}\psi _{m}\,}$

cuyo hamiltoniano tiene los mismos valores propios que los de la matriz R del sistema estadístico. Los vectores propios también son los mismos, excepto que se expresan en la base reescalada. La distribución estacionaria del sistema estadístico es el estado fundamental del hamiltoniano y tiene energía exactamente cero, mientras que todas las demás energías son positivas. Si H se exponencia para encontrar la matriz U:

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt}\,}$

y se permite que t tome valores complejos, la matriz K' se encuentra tomando tiempo imaginario .

${\displaystyle K'(t)=e^{-Ht}\,}$

Para los sistemas cuánticos que son invariantes bajo la inversión del tiempo, el hamiltoniano puede hacerse real y simétrico, de modo que la acción de la inversión del tiempo sobre la función de onda sea simplemente una conjugación compleja. Si tal hamiltoniano tiene un estado único de mínima energía con una función de onda real positiva, como suele ocurrir por razones físicas, está conectado a un sistema estocástico en tiempo imaginario. Esta relación entre sistemas estocásticos y sistemas cuánticos arroja mucha luz sobre la supersimetría .

Experimentos y aplicaciones

Se han realizado con éxito experimentos que implican superposiciones de objetos relativamente grandes (según los estándares de la física cuántica). ^[3]

• Se ha logrado un " estado de gato " con fotones . ^[4]
• Un ion berilio ha quedado atrapado en un estado superpuesto. ^[5]
• Se ha realizado un experimento de doble rendija con moléculas del tamaño de buckybolas y oligoporfirinas funcionalizadas de hasta 2.000 átomos. ^{[6] [7]}
• Un experimento de 2013 superpuso moléculas que contenían 15.000 cada una de protones, neutrones y electrones. Las moléculas eran de compuestos seleccionados por su buena estabilidad térmica y se evaporaron en un haz a una temperatura de 600 K. El haz se preparó a partir de sustancias químicas altamente purificadas, pero aún contenía una mezcla de diferentes especies moleculares. Cada especie de molécula interfirió sólo consigo misma, como lo verifica la espectrometría de masas. ^[8]
• Un experimento que involucra un dispositivo de interferencia cuántica superconductor ("SQUID") se ha relacionado con el tema del experimento mental del "estado de gato". ^[9]

Mediante el uso de temperaturas muy bajas, se hicieron arreglos experimentales muy finos para proteger casi en aislamiento y preservar la coherencia de los estados intermedios, durante un período de tiempo, entre la preparación y la detección, de las corrientes SQUID. Tal corriente SQUID es un conjunto físico coherente de quizás miles de millones de electrones. Debido a su coherencia, se puede considerar que tal conjunto exhibe "estados colectivos" de una entidad cuántica macroscópica. Para el principio de superposición, después de que se prepara pero antes de que se detecte, se puede considerar que presenta un estado intermedio. No es un estado de una sola partícula como se considera a menudo en las discusiones sobre interferencia, por ejemplo por Dirac en su famoso dicho mencionado anteriormente. ^[10] Además, aunque el estado "intermedio" puede considerarse vagamente como tal, no se ha producido como resultado de un analizador cuántico secundario que fue alimentado con un estado puro desde un analizador primario, por lo que este no es un ejemplo de superposición definida de manera estricta y restringida.

Sin embargo, después de la preparación, pero antes de la medición, dicho estado SQUID puede considerarse, por así decirlo, como un estado "puro" que es una superposición de un estado de corriente en el sentido de las agujas del reloj y otro en el sentido contrario a las agujas del reloj. En un SQUID, los estados colectivos de electrones se pueden preparar físicamente casi de forma aislada, a temperaturas muy bajas, para dar como resultado estados intermedios coherentes protegidos. Lo que es notable aquí es que hay dos estados colectivos autocoherentes y bien separados que exhiben tal metaestabilidad . La multitud de electrones hace túneles de un lado a otro entre los estados en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj, en lugar de formar un único estado intermedio en el que no hay una sensación colectiva definida de flujo de corriente. ^{[11] [12]}

• Se ha construido un " diapasón " piezoeléctrico que puede colocarse en una superposición de estados vibratorios y no vibratorios. El resonador comprende alrededor de 10 billones de átomos. ^[13]
• Investigaciones recientes indican que la clorofila dentro de las plantas parece explotar la característica de la superposición cuántica para lograr una mayor eficiencia en el transporte de energía, permitiendo que las proteínas pigmentarias estén más separadas de lo que sería posible de otra manera. ^{[14] [15]}

En computación cuántica, la frase "estado de gato" a menudo se refiere al estado GHZ , ^[16] el estado entrelazado especial de qubits en el que los qubits están en una superposición igual de todos siendo 0 y todos 1; es decir,

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}|00\ldots 0\rangle +|11\ldots 1\rangle {\bigg )}.}$

Computación cuántica: estados de superposición cuántica uniformes

Los estados de superposición cuántica uniforme describen sistemas cuánticos que existen en una combinación lineal de múltiples estados base, donde cada estado base contribuye igualmente a la superposición general.

Definición

En el contexto de un sistema - qubit , un estado de superposición cuántica uniforme se define como donde representa los estados básicos computacionales del sistema - qubit y es el número total de estados distintos en la superposición. El factor de normalización asegura que la probabilidad total de encontrar el sistema en uno de los estados básicos sea igual a 1. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle |\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j=0}^{N-1}|j\rangle ,}$$ ${\displaystyle |j\rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$

Importancia en la computación cuántica

Los estados de superposición uniforme desempeñan un papel crucial en los algoritmos de computación cuántica. A menudo se utilizan como estados iniciales o intermedios durante los cálculos cuánticos. La capacidad de preparar eficientemente estados de superposición uniformes es esencial para la implementación de varios algoritmos cuánticos (por ejemplo, el algoritmo de Grover , la transformada cuántica de Fourier ), ya que afecta la eficiencia general y el éxito de los cálculos cuánticos.

Preparación de estados de superposición cuántica uniformes cuando N = 2 n {\displaystyle N=2^{n}}

Para un sistema de qubits, las puertas de Hadamard que actúan sobre cada uno de los qubits (cada uno inicializado en ) se pueden utilizar para preparar estados de superposición cuántica uniformes cuando tienen la forma . En este caso de qubits, la puerta de Hadamard combinada se expresa como el producto tensorial de las puertas de Hadamard: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{n}=\underbrace {H\otimes H\otimes \ldots \otimes H} _{n{\text{ times}}}.}$

El estado de superposición cuántica uniforme resultante es entonces

${\displaystyle H_{n}|0\rangle ^{\otimes n}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{j=0}^{2^{n}-1}|j\rangle .}$

Esto generaliza la preparación de estados cuánticos uniformes utilizando puertas de Hadamard para cualquier . ^[17] ${\displaystyle N=2^{n}}$

La medición de este estado cuántico uniforme da como resultado un estado aleatorio entre y . ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |N-1\rangle }$

Ejemplos

Ejemplo 1: ${\displaystyle N=2}$

Para un sistema con qubit, la puerta de Hadamard se aplica al qubit único: ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle H_{1}=H.}$

Aplicando se obtiene el estado de superposición cuántica uniforme: ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle +|1\rangle {\big )}.}$

Ejemplo 2: ${\displaystyle N=4}$

Para un sistema con qubits, la puerta de Hadamard combinada es el producto tensorial de dos puertas de Hadamard: ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle H_{2}}$

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H.}$

Matemáticamente, esto se expresa como

$${\displaystyle H_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}.}$$La aplicación de produce los estados de superposición con pesos iguales. ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle |00\rangle }$

Preparación de estados de superposición cuántica uniformes en el caso general, N ≠ 2 n {\displaystyle N\neq 2^{n}}

Recientemente se presentó un enfoque eficiente y determinista para preparar el estado de superposición con una complejidad de puerta y una profundidad de circuito de solo para todos . ^[18] Este enfoque requiere sólo qubits. Es importante destacar que en este enfoque no se necesitan qubits ancilla ni puertas cuánticas con múltiples controles para crear el estado de superposición uniforme . $${\displaystyle |\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j=0}^{N-1}|j\rangle }$$ ${\displaystyle O(\log _{2}N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n=\lceil \log _{2}N\rceil }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Interpretación formal

Aplicando el principio de superposición a una partícula de la mecánica cuántica, todas las configuraciones de la partícula son posiciones, por lo que las superposiciones forman una onda compleja en el espacio. Los coeficientes de superposición lineal son una onda que describe lo mejor posible la partícula y cuya amplitud interfiere según el principio de Huygens .

Para cualquier propiedad física en mecánica cuántica , existe una lista de todos los estados donde esa propiedad tiene algún valor. Estos estados son necesariamente perpendiculares entre sí utilizando la noción euclidiana de perpendicularidad que proviene de la longitud de sumas de cuadrados, excepto que tampoco deben ser i múltiplos entre sí. Esta lista de estados perpendiculares tiene un valor asociado que es el valor de la propiedad física. El principio de superposición garantiza que cualquier estado puede escribirse como una combinación de estados de esta forma con coeficientes complejos. ^{[ se necesita aclaración ]}

Escriba cada estado con el valor q de la cantidad física como un vector en alguna base , una lista de números en cada valor de n para el vector que tiene el valor q para la cantidad física. Ahora forme el producto exterior de los vectores multiplicando todos los componentes del vector y súmelos con coeficientes para formar la matriz. ${\displaystyle \psi _{n}^{q}}$

${\displaystyle A_{nm}=\sum _{q}q\psi _{n}^{*q}\psi _{m}^{q}}$

donde la suma se extiende sobre todos los valores posibles de q. Esta matriz es necesariamente simétrica porque está formada a partir de estados ortogonales y tiene valores propios q. La matriz A se llama observable asociado a la cantidad física. Tiene la propiedad de que los valores propios y los vectores propios determinan la cantidad física y los estados que tienen valores definidos para esta cantidad.

Cada cantidad física tiene asociado un operador lineal hermitiano , y los estados donde el valor de esta cantidad física es definido son los estados propios de este operador lineal. La combinación lineal de dos o más estados propios da como resultado la superposición cuántica de dos o más valores de la cantidad. Si se mide la cantidad, el valor de la cantidad física será aleatorio, con una probabilidad igual al cuadrado del coeficiente de superposición en la combinación lineal. Inmediatamente después de la medición, el estado vendrá dado por el vector propio correspondiente al valor propio medido.

Interpretación física

Es natural preguntarse por qué los objetos y acontecimientos cotidianos no parecen mostrar características de la mecánica cuántica como la superposición. De hecho, esto a veces se considera "misterioso", por ejemplo, Richard Feynman. ^[19] En 1935, Erwin Schrödinger ideó un conocido experimento mental, ahora conocido como el gato de Schrödinger , que destacó esta disonancia entre la mecánica cuántica y la física clásica. Una visión moderna es que este misterio se explica por la decoherencia cuántica . ^{[ cita necesaria ]} Un sistema macroscópico (como un gato) puede evolucionar con el tiempo hacia una superposición de estados cuánticos clásicamente distintos (como "vivo" y "muerto"). El mecanismo que logra esto es objeto de importantes investigaciones. Un mecanismo sugiere que el estado del gato está entrelazado con el estado de su entorno (por ejemplo, las moléculas de la atmósfera que lo rodea). Cuando se promedian los posibles estados cuánticos del medio ambiente (un procedimiento físicamente razonable a menos que el estado cuántico del medio ambiente pueda controlarse o medirse con precisión), el estado cuántico mixto resultante para el gato está muy cerca de un estado probabilístico clásico en el que el gato tiene cierta probabilidad definida de estar vivo o muerto, tal como esperaría un observador clásico en esta situación. Otra clase de teorías propuesta es que la ecuación fundamental de la evolución del tiempo es incompleta y requiere la adición de algún tipo de Lindbladiano fundamental ; el motivo de esta adición y la forma del término adicional varía de una teoría a otra. Una teoría popular es la localización espontánea continua , donde el término de Lindblad es proporcional a la separación espacial de los estados. Esto también da como resultado un estado probabilístico cuasi clásico.

Ver también

• Estados propios
• Interferómetro de Mach-Zehnder
• Interpretación de Penrose
• Estado de qubit puro
• Computación cuántica
• El gato de Schrödinger
• Principio de superposición
• Paquete de olas

Referencias

1. PAM Dirac (1947). Los principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). Prensa de Clarendon. pag. 12.
2. Zeilinger A (1999). "Experimento y fundamentos de la física cuántica". Mod. Rev. Física . 71 (2): S288-S297. Código Bib : 1999RvMPS..71..288Z. doi :10.1103/revmodphys.71.s288.
3. "¿Cuál es el gato Schrodinger más grande del mundo?".
4. "El gato de Schrödinger ahora hecho de luz". 27 de agosto de 2014.
5. C. Monroe, et al. Un estado de superposición de un átomo del "gato de Schrodinger" Archivado el 7 de enero de 2012 en la Wayback Machine.
6. "Dualidad onda-partícula de C60". 31 de marzo de 2012. Archivado desde el original el 31 de marzo de 2012.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
7. Nairz, Olaf. "onda de luz de pie".Yaakov Y. Fein; Philipp Geyer; Patricio Zwick; Filip Kiałka; Sebastián Pedalino; Marcel Mayor; Stefan Gerlich; Markus Arndt (septiembre de 2019). "Superposición cuántica de moléculas más allá de 25 kDa". Física de la Naturaleza . 15 (12): 1242-1245. Código Bib : 2019NatPh..15.1242F. doi :10.1038/s41567-019-0663-9. S2CID  203638258.
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