En geometría , el punto de Nagel (llamado así por Christian Heinrich von Nagel ) es el centro de un triángulo , uno de los puntos asociados a un triángulo dado cuya definición no depende de la ubicación o la escala del triángulo. Es el punto de concurrencia de los tres divisores del triángulo .
Dado un triángulo △ ABC , sean T A , T B , T C los puntos extoque en los que la circunferencia extraída A corta a la recta BC , la circunferencia extraída B corta a la recta CA y la circunferencia extraída C corta a la recta AB , respectivamente. Las rectas AT A , BT B , CT C concurren en el punto de Nagel N del triángulo △ ABC .
Otra construcción del punto T A es comenzar en A y trazar alrededor del triángulo △ ABC la mitad de su perímetro , y de manera similar para T B y T C. Debido a esta construcción, el punto de Nagel a veces también se denomina punto de perímetro bisecado , y los segmentos AT A , BT B , CT C se denominan divisores del triángulo .
Existe una construcción sencilla del punto de Nagel. Partiendo de cada vértice de un triángulo, basta con trazar el doble de la longitud del lado opuesto. Obtenemos tres rectas que concurren en el punto de Nagel. [1]
El punto de Nagel es el conjugado isotómico del punto de Gergonne . El punto de Nagel, el baricentro y el incentro son colineales en una línea llamada línea de Nagel . El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial ; [2] [3] equivalentemente, el punto de Nagel es el incentro del triángulo anticomplementario . El conjugado isogonal del punto de Nagel es el punto de concurrencia de las líneas que unen el punto de contacto mixtilíneo y el vértice opuesto.
Las coordenadas baricéntricas no normalizadas del punto Nagel son donde es el semiperímetro del triángulo de referencia △ ABC .
Las coordenadas trilineales del punto Nagel son [4] como
o, equivalentemente, en términos de las longitudes de los lados
El punto de Nagel recibe su nombre de Christian Heinrich von Nagel , un matemático alemán del siglo XIX, que escribió sobre él en 1836. Las primeras contribuciones al estudio de este punto también fueron realizadas por August Leopold Crelle y Carl Gustav Jacob Jacobi . [5]