Flujo pulsátil

Un flujo con variaciones periódicas (dinámica de fluidos)

En dinámica de fluidos , un flujo con variaciones periódicas se conoce como flujo pulsátil o flujo de Womersley . Los perfiles de flujo fueron derivados por primera vez por John R. Womersley (1907-1958) en su trabajo sobre el flujo sanguíneo en las arterias . ^[1] El sistema cardiovascular de los animales cordados es un muy buen ejemplo donde se encuentra el flujo pulsátil, pero el flujo pulsátil también se observa en motores y sistemas hidráulicos , como resultado de mecanismos giratorios que bombean el fluido.

Ecuación

Se muestran cuatro perfiles de flujo pulsátil en un tubo recto. El primer gráfico (en azul) muestra el gradiente de presión como función coseno, y los otros gráficos (en rojo) muestran perfiles de velocidad adimensionales para diferentes números de Womersley.

El perfil de flujo pulsátil se da en una tubería recta mediante

${\displaystyle u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,,}$

dónde:

Propiedades

Número de Womersley

El perfil de flujo pulsátil cambia su forma dependiendo del número de Womersley

${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{1/2}\,.}$

En el caso de , las fuerzas viscosas dominan el flujo y el pulso se considera cuasiestático con un perfil parabólico. En el caso de , las fuerzas inerciales son dominantes en el núcleo central, mientras que las fuerzas viscosas dominan cerca de la capa límite. Por lo tanto, el perfil de velocidad se aplana y la fase entre las ondas de presión y velocidad se desplaza hacia el núcleo. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \alpha \lesssim 2}$ ${\displaystyle \alpha \gtrsim 2}$

Límites de funciones

Límite inferior

La función de Bessel en su límite inferior se convierte en ^[2]

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z)=1-{\frac {z^{2}}{4}}\,,}$

que converge al perfil de flujo de Hagen-Poiseuille para flujo constante para

${\displaystyle \lim _{n\to 0}u(r,t)=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,,}$

o a un pulso cuasiestático con perfil parabólico cuando

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,\cos(n\omega t)\,.}$

En este caso, la función es real, porque las ondas de presión y velocidad están en fase.

Límite superior

La función de Bessel en su límite superior se convierte en ^[2]

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z\,i)={\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi \,z}}}\,,}$

que converge a

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\,i^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]\sin(n\,\omega \,t)\,.}$

Esto recuerda mucho a la capa de Stokes en una placa plana oscilante, o a la penetración superficial de un campo magnético alterno en un conductor eléctrico. En la superficie , pero el término exponencial se vuelve insignificante una vez que se hace grande, el perfil de velocidad se vuelve casi constante e independiente de la viscosidad. Por lo tanto, el flujo simplemente oscila como un perfil de tapón en el tiempo de acuerdo con el gradiente de presión, ${\displaystyle u(r=R,t)=0}$ ${\displaystyle \alpha (1-r/R)}$

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\sum _{n=0}^{N}P'_{n}\,.}$

Sin embargo, cerca de las paredes, en una capa de espesor , la velocidad se ajusta rápidamente a cero. Además, la fase de la oscilación temporal varía rápidamente con la posición a lo largo de la capa. La caída exponencial de las frecuencias más altas es más rápida. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\alpha ^{-1})}$

Derivación

Para derivar la solución analítica de este perfil de velocidad de flujo no estacionario, se toman las siguientes suposiciones: ^{[3] [4]}

• El fluido es homogéneo , incompresible y newtoniano ;
• La pared del tubo es rígida y circular ;
• El movimiento es laminar , axisimétrico y paralelo al eje del tubo;
• Las condiciones de contorno son: axisimetría en el centro y condición antideslizamiento en la pared;
• El gradiente de presión es una función periódica que impulsa el fluido;
• La gravitación no tiene ningún efecto sobre el fluido.

De esta forma, la ecuación de Navier-Stokes y la ecuación de continuidad se simplifican como

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)\,}$

y

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,,}$

respectivamente. El gradiente de presión que impulsa el flujo pulsátil se descompone en series de Fourier ,

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}(t)=\sum _{n=0}^{N}P'_{n}e^{in\omega t}\,,}$

donde es el número imaginario , es la frecuencia angular del primer armónico (es decir, ), y son las amplitudes de cada armónico . Nótese que, (que representa ) es el gradiente de presión en estado estacionario, cuyo signo se opone a la velocidad en estado estacionario (es decir, un gradiente de presión negativo produce un flujo positivo). De manera similar, el perfil de velocidad también se descompone en series de Fourier en fase con el gradiente de presión, porque el fluido es incompresible, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle P'_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P'_{0}}$ ${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle u(r,t)=\sum _{n=0}^{N}U_{n}e^{in\omega t}\,,}$

donde son las amplitudes de cada armónico de la función periódica, y el componente estable ( ) es simplemente el flujo de Poiseuille ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle U_{0}=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,.}$

Por lo tanto, la ecuación de Navier-Stokes para cada armónico se lee como

${\displaystyle i\rho n\omega U_{n}=-P'_{n}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}U_{n}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U_{n}}{\partial r}}\right)\,.}$

Con las condiciones de contorno satisfechas, la solución general de esta ecuación diferencial ordinaria para la parte oscilatoria ( ) es ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle U_{n}(r)=A_{n}\,J_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+B_{n}\,Y_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\,,}$

donde es la función de Bessel de primer tipo y orden cero, es la función de Bessel de segundo tipo y orden cero, y son constantes arbitrarias, y es el número de Womersley adimensional . La condición de contorno axisimétrico ( ) se aplica para demostrar que para que la derivada de la ecuación anterior sea válida, ya que las derivadas y tienden al infinito. A continuación, la condición de contorno antideslizante de la pared ( ) produce . Por lo tanto, las amplitudes del perfil de velocidad del armónico se convierten en ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$ ${\displaystyle Y_{0}(\cdot )}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \alpha =R\surd (\omega \rho /\mu )}$ ${\displaystyle \partial U_{n}/\partial r|_{r=0}=0}$ ${\displaystyle B_{n}=0}$ ${\displaystyle J_{0}'}$ ${\displaystyle Y_{0}'}$ ${\displaystyle U_{n}(R)=0}$ ${\displaystyle A_{n}=-{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}{\frac {1}{J_{0}\left(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle U_{n}(r)={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\,,}$

donde se utiliza para simplificar. El perfil de velocidad en sí se obtiene tomando la parte real de la función compleja resultante de la suma de todos los armónicos del pulso, ${\displaystyle \Lambda _{n}=\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

Caudal

El caudal se obtiene integrando el campo de velocidad en la sección transversal.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{p}J_{p}(a\,x)\right]=a\,x^{p}J_{p-1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}\left[x\,J_{1}(a\,x)\right]=a\,xJ_{0}(a\,x)\,,}$

entonces

${\displaystyle Q(t)=\iint u(r,t)\,dA=\mathrm {Re} \left\{\pi \,R^{2}\,\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {2}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

Perfil de velocidad

Se comparan los perfiles de velocidad escalados del flujo pulsátil según el número de Womersley.

Para comparar la forma del perfil de velocidad, se puede suponer que

${\displaystyle u(r,t)=f(r)\,{\frac {Q(t)}{A}}\,,}$

dónde

${\displaystyle f(r)={\frac {u(r,t)}{\frac {Q(t)}{A}}}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-2\,J_{1}(\Lambda _{n})}}\right]\right\}}$

es la función de forma. ^[5] Es importante notar que esta formulación ignora los efectos inerciales. El perfil de velocidad se aproxima a un perfil parabólico o un perfil de tapón, para números de Womersley bajos o altos, respectivamente.

Esfuerzo cortante de la pared

Para tuberías rectas, la tensión cortante de la pared es

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}\,.}$

La derivada de una función de Bessel es

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[x^{-p}J_{-p}(a\,x)\right]=a\,x^{-p}J_{p+1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial x}}\left[J_{0}(a\,x)\right]=-a\,J_{1}(a\,x)\,.}$

Por eso,

${\displaystyle \tau _{w}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}P'_{n}{\frac {R}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}e^{in\omega t}\right\}\,.}$

Velocidad en la línea central

Si no se mide el gradiente de presión, se puede obtener midiendo la velocidad en la línea central. La velocidad medida tiene solo la parte real de la expresión completa en forma de ${\displaystyle P'_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(t)=\mathrm {Re} (u(0,t))\equiv \sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\,\cos(n\,\omega \,t)\,.}$

Observando que la expresión física completa se vuelve ${\displaystyle J_{0}(0)=1}$

${\displaystyle u(0,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}}$

en la línea central. La velocidad medida se compara con la expresión completa aplicando algunas propiedades de los números complejos. Para cualquier producto de números complejos ( ), la amplitud y la fase tienen las relaciones y , respectivamente. Por lo tanto, ${\displaystyle C=AB}$ ${\displaystyle |C|=|A||B|}$ ${\displaystyle \phi _{C}=\phi _{A}+\phi _{B}}$

${\displaystyle {\tilde {U}}_{n}=\left|{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\quad \Rightarrow \quad P'_{n}={\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|}$

y

${\displaystyle {\tilde {\phi }}=0=\phi _{P'_{n}}+\phi _{U_{n}}\quad \Rightarrow \quad \phi _{P'_{n}}=\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\,,}$

que finalmente ceden

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\,\cos \left\{n\,\omega \,t+\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\right\}\,.}$

Véase también

• Sistema cardiovascular
• Hemodinámica
• Número de Womersley
• Golpe de fluido

Referencias

1. Womersley, JR (marzo de 1955). "Método para el cálculo de la velocidad, la tasa de flujo y la resistencia viscosa en las arterias cuando se conoce el gradiente de presión". J. Physiol . 127 (3): 553–563. doi :10.1113/jphysiol.1955.sp005276. PMC  1365740 . PMID  14368548.
2. Mestel, Jonathan (marzo de 2009). "Pulsatile flow in a long straight artery" (PDF) . Imperial College London . Consultado el 6 de enero de 2017. Bio Fluid Mechanics: Lecture 14
3. Fung, YC (1990). Biomecánica: movimiento, flujo, estrés y crecimiento. Nueva York (EE. UU.): Springer-Verlag. pág. 569. ISBN 9780387971247.
4. Nield, DA; Kuznetsov, AV (2007). "Convección forzada con flujo laminar pulsante en un canal o tubo". Revista internacional de ciencias térmicas . 46 (6): 551–560. doi :10.1016/j.ijthermalsci.2006.07.011.
5. San, Omer; Staples, Anne E (2012). "Un modelo mejorado para flujos de fluidos fisiológicos de orden reducido". Revista de mecánica en medicina y biología . 12 (3): 125–152. arXiv : 1212.0188 . doi :10.1142/S0219519411004666. S2CID  118525588.