Proyección 3D

Técnica de diseño

Clasificación de algunas proyecciones 3D

Una proyección 3D (o proyección gráfica ) es una técnica de diseño que se utiliza para mostrar un objeto tridimensional (3D) en una superficie bidimensional (2D). Estas proyecciones se basan en la perspectiva visual y el análisis de aspectos para proyectar un objeto complejo para su visualización en un plano más simple.

Las proyecciones 3D utilizan las cualidades primarias de la forma básica de un objeto para crear un mapa de puntos, que luego se conectan entre sí para crear un elemento visual. El resultado es un gráfico que contiene propiedades conceptuales para interpretar la figura o imagen como si no fuera realmente plana (2D), sino como un objeto sólido (3D) que se visualiza en una pantalla 2D.

Los objetos 3D se muestran en gran medida en medios bidimensionales (como papel y monitores de computadora). Como tal, las proyecciones gráficas son un elemento de diseño de uso común; en particular, en dibujos de ingeniería , dibujo técnico y gráficos por computadora . Las proyecciones se pueden calcular mediante el empleo de análisis y fórmulas matemáticas, o mediante el uso de diversas técnicas geométricas y ópticas.

Descripción general

Comparación de varios tipos de proyección gráfica

Diversas proyecciones y cómo se producen

La proyección se logra mediante el uso de "proyectores" imaginarios; la imagen mental proyectada se convierte en la visión que tiene el técnico de la imagen final deseada. ^{[ se necesita más explicación ]} Los métodos proporcionan un procedimiento de formación de imágenes uniforme entre personas capacitadas en gráficos técnicos (dibujo mecánico, diseño asistido por computadora, etc.). Al seguir un método, el técnico puede producir la imagen imaginada en una superficie plana como el papel de dibujo.

Hay dos categorías de proyección gráfica, cada una con su propio método:

• proyección paralela
• proyección en perspectiva

• 
  Proyección multivista (elevación)
• 
  Proyección isométrica
• Proyección militar
• 
  Proyección del gabinete
• 
  Perspectiva de un punto
• 
  Perspectiva de dos puntos
• 
  Perspectiva de tres puntos

Proyección paralela

La proyección paralela corresponde a una proyección en perspectiva con un punto de vista hipotético, es decir, aquella en la que la cámara se encuentra a una distancia infinita del objeto y tiene una distancia focal infinita, o "zoom".

En la proyección paralela, las líneas de visión desde el objeto hasta el plano de proyección son paralelas entre sí. Por lo tanto, las líneas que son paralelas en el espacio tridimensional permanecen paralelas en la imagen proyectada bidimensional. La proyección paralela también corresponde a una proyección en perspectiva con una distancia focal infinita (la distancia entre el objetivo de una cámara y el punto focal ), o " zoom ".

Las imágenes dibujadas en proyección paralela se basan en la técnica de la axonometría ("medir a lo largo de ejes"), como se describe en el teorema de Pohlke . En general, la imagen resultante es oblicua (los rayos no son perpendiculares al plano de la imagen); pero en casos especiales el resultado es ortográfico (los rayos son perpendiculares al plano de la imagen). La axonometría no debe confundirse con la proyección axonométrica , ya que en la literatura inglesa esta última suele referirse solo a una clase específica de imágenes (ver más abajo).

Proyección ortográfica

La proyección ortográfica se deriva de los principios de la geometría descriptiva y es una representación bidimensional de un objeto tridimensional. Es una proyección paralela (las líneas de proyección son paralelas tanto en la realidad como en el plano de proyección). Es el tipo de proyección de elección para los dibujos de trabajo .

Si la normal del plano de visión (la dirección de la cámara) es paralela a uno de los ejes primarios (que es el eje x , y o z ), la transformación matemática es la siguiente: Para proyectar el punto 3D , sobre el punto 2D , utilizando una proyección ortográfica paralela al eje y (donde y positiva representa la dirección hacia adelante: vista de perfil), se pueden utilizar las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle a_{y}}$ ${\displaystyle a_{z}}$ ${\displaystyle b_{x}}$ ${\displaystyle b_{y}}$

${\displaystyle b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}}$

${\displaystyle b_{y}=s_{z}a_{z}+c_{z}}$

donde el vector s es un factor de escala arbitrario y c es un desplazamiento arbitrario. Estas constantes son opcionales y se pueden utilizar para alinear correctamente la ventana gráfica. Si se utiliza la multiplicación de matrices , las ecuaciones se convierten en:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&0&s_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

Si bien las imágenes proyectadas ortográficamente representan la naturaleza tridimensional del objeto proyectado, no representan el objeto tal como se registraría fotográficamente o como lo percibiría un espectador que lo observara directamente. En particular, las longitudes paralelas en todos los puntos de una imagen proyectada ortográficamente tienen la misma escala independientemente de si están lejos o cerca del espectador virtual. Como resultado, las longitudes no se acortan como lo estarían en una proyección en perspectiva.

Proyección multivista

Símbolos utilizados para definir si una proyección multivista es de primer ángulo (izquierda) o de tercer ángulo (derecha).

Con las proyecciones multivista , se producen hasta seis imágenes (llamadas vistas primarias ) de un objeto, con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. Las vistas se posicionan entre sí de acuerdo con uno de dos esquemas: proyección de primer ángulo o proyección de tercer ángulo . En cada uno, las apariencias de las vistas pueden considerarse como proyectadas sobre planos que forman un cuadro de 6 lados alrededor del objeto. Aunque se pueden dibujar seis lados diferentes, por lo general tres vistas de un dibujo brindan suficiente información para hacer un objeto 3D. Estas vistas se conocen como vista frontal , vista superior y vista final . También se utilizan los términos elevación , planta y sección .

Proyección oblicua

En las proyecciones oblicuas, los rayos de proyección paralelos no son perpendiculares al plano de visualización como en la proyección ortográfica, sino que inciden en el plano de proyección en un ángulo distinto de noventa grados. Tanto en la proyección ortográfica como en la oblicua, las líneas paralelas en el espacio aparecen paralelas en la imagen proyectada. Debido a su simplicidad, la proyección oblicua se utiliza exclusivamente con fines pictóricos en lugar de para dibujos formales de trabajo. En un dibujo pictórico oblicuo , los ángulos mostrados entre los ejes, así como los factores de escorzo (escala), son arbitrarios. La distorsión creada por ello suele atenuarse alineando un plano del objeto representado para que sea paralelo al plano de proyección, creando así una forma verdadera, una imagen de tamaño completo del plano elegido. Los tipos especiales de proyecciones oblicuas son:

Proyección Cavalier (45°)

En la proyección caballera (a veces perspectiva caballera o punto de vista elevado ) un punto del objeto se representa mediante tres coordenadas, x , y y z . En el dibujo, se representa únicamente mediante dos coordenadas, x″ e y″ . En el dibujo plano, dos ejes, x y z en la figura, son perpendiculares y la longitud en estos ejes se dibuja con una escala 1:1; por lo tanto, es similar a las proyecciones dimétricas , aunque no es una proyección axonométrica , ya que el tercer eje, aquí y , se dibuja en diagonal, formando un ángulo arbitrario con el eje x″ , generalmente 30 o 45°. La longitud del tercer eje no está escalada.

Proyección del gabinete

El término proyección de gabinete (a veces perspectiva de gabinete ) proviene de su uso en ilustraciones de la industria del mueble. ^{[ cita requerida ]} Al igual que la perspectiva caballera, una cara del objeto proyectado es paralela al plano de visualización y el tercer eje se proyecta desplazándose en un ángulo (normalmente 30° o 45° o arctan(2) = 63,4°). A diferencia de la proyección caballera, donde el tercer eje mantiene su longitud, con la proyección de gabinete la longitud de las líneas que se alejan se reduce a la mitad.

Proyección militar

Una variante de la proyección oblicua se denomina proyección militar . En este caso, las secciones horizontales se dibujan isométricamente de modo que los planos de planta no se distorsionen y las verticales se dibujan en ángulo. La proyección militar se da mediante una rotación en el plano xy y una traslación vertical de una magnitud z . ^[1]

Proyección axonométrica

Las tres vistas axonométricas , aquí de ebanistería .

Las proyecciones axonométricas muestran una imagen de un objeto visto desde una dirección oblicua para revelar las tres direcciones (ejes) del espacio en una sola imagen. ^[2] Las proyecciones axonométricas pueden ser ortográficas u oblicuas . Los dibujos axonométricos de instrumentos se utilizan a menudo para aproximarse a las proyecciones en perspectiva gráfica, pero existe una distorsión asociada en la aproximación. Debido a que las proyecciones pictóricas contienen innatamente esta distorsión, en los dibujos de instrumentos de las proyecciones pictóricas se pueden tomar grandes libertades para economizar esfuerzos y obtener el mejor efecto. ^{[ aclaración necesaria ]}

La proyección axonométrica se subdivide en tres categorías: proyección isométrica , proyección dimétrica y proyección trimétrica , dependiendo del ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal. ^{[3] [4]} Una característica típica de las imágenes ortogonales es que un eje del espacio generalmente se muestra como vertical.

Proyección isométrica

En las imágenes isométricas (para conocer los métodos, consulte Proyección isométrica ), la dirección de la vista es tal que los tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados y existe un ángulo común de 120° entre ellos. La distorsión causada por el escorzo es uniforme, por lo que se conserva la proporcionalidad de todos los lados y longitudes y los ejes comparten una escala común. Esto permite leer o tomar medidas directamente del dibujo.

Proyección dimétrica

En los dibujos dimétricos (para conocer los métodos, véase Proyección dimétrica ), la dirección de la mirada es tal que dos de los tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados, y la escala correspondiente y los ángulos de presentación se determinan según el ángulo de la mirada; la escala de la tercera dirección (vertical) se determina por separado. Las aproximaciones son comunes en los dibujos dimétricos.

Proyección trimétrica

En los dibujos trimétricos (para conocer los métodos, consulte Proyección trimétrica ), la dirección de la mirada es tal que los tres ejes del espacio aparecen escorzados de manera desigual. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan por separado según lo dicta el ángulo de la mirada. Las aproximaciones en los dibujos trimétricos son comunes.

Limitaciones de la proyección paralela

Los objetos dibujados con proyección paralela no parecen más grandes o más pequeños a medida que se acercan o se alejan del espectador. Si bien es una ventaja para los dibujos arquitectónicos , donde las medidas deben tomarse directamente de la imagen, el resultado es una distorsión percibida, ya que a diferencia de la proyección en perspectiva , así no es como funcionan normalmente nuestros ojos o la fotografía. También puede dar lugar fácilmente a situaciones en las que la profundidad y la altitud son difíciles de medir, como se muestra en la ilustración de la derecha.

En este dibujo isométrico, la esfera azul se encuentra dos unidades por encima de la roja. Sin embargo, esta diferencia de altura no se aprecia si se cubre la mitad derecha de la imagen, ya que los recuadros (que sirven como pistas para indicar la altura) quedan ocultos.

Esta ambigüedad visual ha sido explotada en el arte óptico , así como en los dibujos de "objetos imposibles". La Cascada (1961) de MC Escher , aunque no utiliza estrictamente la proyección paralela, es un ejemplo bien conocido, en el que un canal de agua parece viajar sin ayuda a lo largo de un camino descendente, solo para luego caer paradójicamente una vez más cuando regresa a su fuente. El agua parece desobedecer así la ley de conservación de la energía . Un ejemplo extremo se representa en la película Origen , donde mediante un truco de perspectiva forzada una escalera inmóvil cambia su conectividad. El videojuego Fez usa trucos de perspectiva para determinar dónde un jugador puede y no puede moverse como si fuera un rompecabezas.

Proyección en perspectiva

Perspectiva de un sólido geométrico con dos puntos de fuga. En este caso, la proyección del sólido (proyección ortogonal) se dibuja por debajo de la perspectiva, como si se doblara el plano del suelo.

Proyección axonométrica de un esquema que muestra los elementos relevantes de una perspectiva de plano de cuadro vertical . El punto de apoyo (PS) se encuentra en el plano del suelo π , y el punto de vista (PV) está justo encima de él. PP es su proyección en el plano del cuadro α . LO y LT son el horizonte y las líneas de suelo ( linea d'orizzonte y linea di terra ). Las líneas en negrita s y q se encuentran en π , e interceptan α en Ts y Tq respectivamente. Las líneas paralelas que pasan por PV (en rojo) interceptan a LO en los puntos de fuga Fs y Fq : por lo tanto, se pueden dibujar las proyecciones s′ y q′ , y, por lo tanto, también su intersección R′ en R .

La proyección en perspectiva o transformación de perspectiva es una proyección en la que se proyectan objetos tridimensionales sobre un plano de imagen . Esto tiene el efecto de que los objetos distantes aparecen más pequeños que los objetos cercanos.

También significa que las líneas que son paralelas por naturaleza (es decir, se encuentran en el punto en el infinito ) parecen intersecarse en la imagen proyectada. Por ejemplo, si se representan ferrocarriles con proyección en perspectiva, parecen converger hacia un único punto, llamado punto de fuga . Las lentes fotográficas y el ojo humano funcionan de la misma manera, por lo tanto, la proyección en perspectiva parece la más realista. ^[5] La proyección en perspectiva generalmente se clasifica en perspectiva de un punto , dos puntos y tres puntos , dependiendo de la orientación del plano de proyección hacia los ejes del objeto representado. ^[6]

Los métodos de proyección gráfica se basan en la dualidad entre líneas y puntos, en la que dos líneas rectas determinan un punto mientras que dos puntos determinan una línea recta. La proyección ortogonal del punto del ojo sobre el plano de la imagen se denomina punto de fuga principal (PP en el esquema de la derecha, del término italiano punto principale , acuñado durante el Renacimiento). ^[7]

Dos puntos relevantes de una recta son:

• su intersección con el plano de la imagen, y
• su punto de fuga, que se encuentra en la intersección entre la línea paralela desde el punto del ojo y el plano del cuadro.

El punto de fuga principal es el punto de fuga de todas las líneas horizontales perpendiculares al plano del cuadro. Los puntos de fuga de todas las líneas horizontales se encuentran en la línea del horizonte . Si, como suele ser el caso, el plano del cuadro es vertical, todas las líneas verticales se dibujan verticalmente y no tienen un punto de fuga finito en el plano del cuadro. Se pueden imaginar fácilmente varios métodos gráficos para proyectar escenas geométricas. Por ejemplo, las líneas trazadas desde el punto del ojo a 45° hasta el plano del cuadro intersecan a este último a lo largo de un círculo cuyo radio es la distancia del punto del ojo al plano, por lo que el trazado de ese círculo ayuda a la construcción de todos los puntos de fuga de las líneas de 45°; en particular, la intersección de ese círculo con la línea del horizonte consta de dos puntos de distancia . Son útiles para dibujar pisos de tablero de ajedrez que, a su vez, sirven para ubicar la base de los objetos en la escena. En la perspectiva de un sólido geométrico de la derecha, tras elegir el punto de fuga principal —que determina la línea del horizonte— el punto de fuga de 45° del lado izquierdo del dibujo completa la caracterización del punto de vista (igualmente distante). Se trazan dos líneas desde la proyección ortogonal de cada vértice, una a 45° y otra a 90° respecto del plano del cuadro. Tras intersecar la línea del suelo, esas líneas se dirigen hacia el punto de distancia (para 45°) o el punto principal (para 90°). Su nueva intersección ubica la proyección del mapa. Las alturas naturales se miden por encima de la línea del suelo y luego se proyectan de la misma manera hasta que se encuentran con la vertical del mapa.

Mientras que la proyección ortográfica ignora la perspectiva para permitir mediciones precisas, la proyección en perspectiva muestra los objetos distantes como más pequeños para proporcionar realismo adicional.

Fórmula matemática

La proyección en perspectiva requiere una definición más compleja en comparación con las proyecciones ortográficas. Una ayuda conceptual para comprender la mecánica de esta proyección es imaginar la proyección 2D como si el objeto o los objetos se estuvieran viendo a través del visor de una cámara. La posición, la orientación y el campo de visión de la cámara controlan el comportamiento de la transformación de la proyección. Las siguientes variables se definen para describir esta transformación:

• ${\displaystyle \mathbf {a} _{x,y,z}}$– la posición 3D de un punto A que se va a proyectar.
• ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}}$– la posición 3D de un punto C que representa la cámara.
• ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}$– La orientación de la cámara (representada por los ángulos de Tait-Bryan ).
• ${\displaystyle \mathbf {e} _{x,y,z}}$– la posición de la superficie de visualización con respecto a la mencionada anteriormente . ^[8] ${\displaystyle \mathbf {c} }$

La mayoría de las convenciones utilizan valores z positivos (el plano está frente al orificio ); sin embargo, los valores z negativos son físicamente más correctos, pero la imagen se invertirá tanto horizontal como verticalmente, lo que da como resultado: ${\displaystyle \mathbf {c} }$

• ${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$– la proyección 2D de ${\displaystyle \mathbf {a} .}$

Cuando y el vector 3D se proyecta al vector 2D . ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$ ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle 1,2,0\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$

De lo contrario, para calcularlo primero definimos un vector como la posición del punto A con respecto a un sistema de coordenadas definido por la cámara, con origen en C y rotado por con respecto al sistema de coordenadas inicial. Esto se logra restando de y luego aplicando una rotación por al resultado. Esta transformación a menudo se denomina ${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} _{x,y,z}}$ ${\displaystyle \mathbf {\theta } }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle -\mathbf {\theta } }$transformada de cámara , y se puede expresar de la siguiente manera, expresando la rotación en términos de rotaciones sobre losx, yyz(estos cálculos suponen que los ejes están ordenados como unsistema de ejespara zurdos^[9][10]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\mathbf {\theta } _{x})&\sin(\mathbf {\theta } _{x})\\0&-\sin(\mathbf {\theta } _{x})&\cos(\mathbf {\theta } _{x})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{y})&0&-\sin(\mathbf {\theta } _{y})\\0&1&0\\\sin(\mathbf {\theta } _{y})&0&\cos(\mathbf {\theta } _{y})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{z})&\sin(\mathbf {\theta } _{z})&0\\-\sin(\mathbf {\theta } _{z})&\cos(\mathbf {\theta } _{z})&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)}$

Esta representación corresponde a una rotación de tres ángulos de Euler (más propiamente, ángulos de Tait–Bryan ), utilizando la convención xyz , que puede interpretarse como "rotar sobre los ejes extrínsecos (ejes de la escena ) en el orden z , y , x (leyendo de derecha a izquierda)" o "rotar sobre los ejes intrínsecos (ejes de la cámara ) en el orden x, y, z (leyendo de izquierda a derecha)". Si la cámara no está rotada ( ), entonces las matrices se eliminan (como identidades), y esto se reduce simplemente a un desplazamiento: ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {a} -\mathbf {c} .}$

Alternativamente, sin utilizar matrices (reemplacemos con y así sucesivamente, y abreviemos como y a ): ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle a_{x}-c_{x}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \cos \left(\theta _{\alpha }\right)}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle \sin \left(\theta _{\alpha }\right)}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} _{x}&=c_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} )-s_{y}\mathbf {z} \\\mathbf {d} _{y}&=s_{x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} ))+c_{x}(c_{z}\mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\\\mathbf {d} _{z}&=c_{x}(c_{y}\mathbf {z} +s_{y}(s_{z}\mathbf {y} +c_{z}\mathbf {x} ))-s_{x}(c_{z}\mathbf {y} -s_{z}\mathbf {x} )\end{aligned}}}$

Este punto transformado puede luego proyectarse sobre el plano 2D utilizando la fórmula (aquí, x / y se utiliza como plano de proyección; la literatura también puede utilizar x / z ): ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{x}+\mathbf {e} _{x},\\[5pt]\mathbf {b} _{y}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{y}+\mathbf {e} _{y}.\end{aligned}}}$

O bien, en forma matricial utilizando coordenadas homogéneas , el sistema

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{x}\\\mathbf {f} _{y}\\\mathbf {f} _{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&{\frac {\mathbf {e} _{x}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&1&{\frac {\mathbf {e} _{y}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&0&{\frac {1}{\mathbf {e} _{z}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}}$

en conjunción con un argumento que utiliza triángulos similares, conduce a la división por la coordenada homogénea, dando

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=\mathbf {f} _{x}/\mathbf {f} _{w}\\\mathbf {b} _{y}&=\mathbf {f} _{y}/\mathbf {f} _{w}\end{aligned}}}$

La distancia del espectador a la superficie de visualización, , se relaciona directamente con el campo de visión, donde es el ángulo de visión. (Nota: Esto supone que asigna los puntos (-1, -1) y (1, 1) a las esquinas de su superficie de visualización) ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle \alpha =2\cdot \arctan(1/\mathbf {e} _{z})}$

Las ecuaciones anteriores también se pueden reescribir como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=(\mathbf {d} _{x}\mathbf {s} _{x})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{x})\mathbf {r} _{z},\\\mathbf {b} _{y}&=(\mathbf {d} _{y}\mathbf {s} _{y})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{y})\mathbf {r} _{z}.\end{aligned}}}$

¿En qué tamaño de pantalla se encuentra?, ¿es el tamaño de la superficie de grabación ( CCD o película fotográfica )?, ¿es la distancia desde la superficie de grabación hasta la pupila de entrada ( centro de la cámara )?, y ¿es la distancia, desde el punto 3D que se proyecta, hasta la pupila de entrada?. ${\displaystyle \mathbf {s} _{x,y}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{x,y}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} _{z}}$

Es posible que sean necesarias operaciones de recorte y escalado posteriores para mapear el plano 2D en cualquier medio de visualización particular.

Proyección en perspectiva débil

Una proyección en perspectiva "débil" utiliza los mismos principios de una proyección ortográfica, pero requiere que se especifique el factor de escala, lo que garantiza que los objetos más cercanos aparezcan más grandes en la proyección, y viceversa. Puede considerarse un híbrido entre una proyección ortográfica y una proyección en perspectiva, y describirse como una proyección en perspectiva con profundidades de puntos individuales reemplazadas por una profundidad constante promedio ^{[12] o simplemente como una proyección ortográfica más una escala [13]} . ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$

El modelo de perspectiva débil se aproxima así a la proyección en perspectiva utilizando un modelo más simple, similar a la perspectiva ortográfica pura (sin escala). Es una aproximación razonable cuando la profundidad del objeto a lo largo de la línea de visión es pequeña en comparación con la distancia desde la cámara y el campo de visión es pequeño. Con estas condiciones, se puede suponer que todos los puntos de un objeto 3D están a la misma distancia de la cámara sin errores significativos en la proyección (en comparación con el modelo de perspectiva completa). ${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$

Ecuación

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{x}={\frac {X}{Z_{\text{ave}}}}\\[5pt]&P_{y}={\frac {Y}{Z_{\text{ave}}}}\end{aligned}}}$

asumiendo la distancia focal . ${\textstyle f=1}$

Diagrama

Para determinar qué coordenada x de la pantalla corresponde a un punto, multiplique las coordenadas del punto por: ${\displaystyle A_{x},A_{z}}$

${\displaystyle B_{x}=A_{x}{\frac {B_{z}}{A_{z}}}}$

dónde

${\displaystyle B_{x}}$¿es la coordenada x de la pantalla?

${\displaystyle A_{x}}$¿es la coordenada x del modelo?

${\displaystyle B_{z}}$es la distancia focal : la distancia axial desde el centro de la cámara hasta el plano de la imagen

${\displaystyle A_{z}}$es la distancia del sujeto.

Como la cámara está en 3D, lo mismo funciona para la coordenada y de la pantalla , sustituyendo y por x en el diagrama y la ecuación anteriores.

Como alternativa, se podrían utilizar técnicas de recorte, reemplazando las variables con valores del punto que están fuera del ángulo FOV y el punto dentro de la matriz de la cámara.

Esta técnica, también conocida como "Cámara Inversa", es un Cálculo de Proyección en Perspectiva con valores conocidos para calcular el último punto del ángulo visible, proyectando desde el punto invisible, una vez finalizadas todas las transformaciones necesarias.

Véase también

• Gráficos de computadora en 3D
• Matriz de cámara
• Gráficos de computadora
• Sección transversal (geometría)
• Vista en sección transversal
• Perspectiva curvilínea
• Dibujo en corte
• Geometría descriptiva
• Dibujo de ingeniería
• Dibujo en despiece
• Coordenadas homogéneas
• Homografía
• Proyección cartográfica (incluida proyección cilíndrica )
• Proyección multivista
• Perspectiva (gráfica)
• Plan (dibujo)
• Dibujo técnico
• Teseracto
• Mapeo de texturas
• Transformación, recorte e iluminación
• Tarjeta de video
• Visualización del tronco truncado
• Globo virtual

Referencias

1. Treibergs, Andrejs. "La geometría del dibujo en perspectiva en la computadora". Universidad de Utah § Departamento de Matemáticas. Archivado desde el original el 30 de abril de 2015. Consultado el 24 de abril de 2015 .
2. Mitchell, William; Malcolm McCullough (1994). Medios de diseño digital. John Wiley and Sons. pág. 169. ISBN 978-0-471-28666-0.
3. Maynard, Patric (2005). Distinciones en el dibujo: las variedades de la expresión gráfica. Cornell University Press. p. 22. ISBN 978-0-8014-7280-0.
4. McReynolds, Tom; David Blythe (2005). Programación avanzada de gráficos con OpenGL. Elsevier. pág. 502. ISBN 978-1-55860-659-3.
5. D. Hearn y M. Baker (1997). Gráficos por ordenador, versión C. Englewood Cliffs: Prentice Hall], capítulo 9
6. James Foley (1997). Gráficos por ordenador . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-84840-6 ], capítulo 6 
7. Kirsti Andersen (2007), La geometría de un arte , Springer, p. xxix, ISBN 9780387259611
8. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (1978). "Proyecciones geométricas planas y transformaciones de visualización" (PDF) . Encuestas de computación ACM . 10 (4): 465–502. CiteSeerX 10.1.1.532.4774 . doi :10.1145/356744.356750. S2CID  708008. 
9. Riley, KF (2006). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press . pp. 931, 942. ISBN. 978-0-521-67971-8.
10. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., págs. 146-148. ISBN 978-0-201-02918-5.
11. Sonka, M; Hlavac, V; Boyle, R (1995). Procesamiento de imágenes, análisis y visión artificial (2.ª ed.). Chapman y Hall. pág. 14. ISBN 978-0-412-45570-4.
12. Subhashis Banerjee (18 de febrero de 2002). "La cámara de perspectiva débil".
13. Alter, TD (julio de 1992). Pose 3D desde 3 puntos correspondientes bajo proyección de perspectiva débil (PDF) (informe técnico). MIT AI Lab .

Lectura adicional

• Kenneth C. Finney (2004). Programación de juegos en 3D todo en uno . Curso de Thomson. pág. 93. ISBN 978-1-59200-136-1. Proyección 3D.
• Koehler; Ralph (diciembre de 2000). Gráficos 2D/3D y splines con código fuente . Autor: Solutions Incorporated. ISBN 978-0759611870.

Enlaces externos

• Creación de entornos 3D a partir de fotografías digitales