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Teoría de la medida geométrica

En matemáticas , la teoría de la medida geométrica ( GMT ) es el estudio de las propiedades geométricas de los conjuntos (normalmente en el espacio euclidiano ) a través de la teoría de la medida . Permite a los matemáticos ampliar las herramientas de la geometría diferencial a una clase mucho más amplia de superficies que no son necesariamente lisas .

Historia

La teoría de la medida geométrica nació del deseo de resolver el problema de Plateau (llamado así por Joseph Plateau ), que plantea la pregunta de si para cada curva cerrada y suave existe una superficie de menor área entre todas las superficies cuyo límite sea igual a la curva dada. Tales superficies imitan las películas de jabón .

El problema había permanecido abierto desde que fue planteado en 1760 por Lagrange . Fue resuelto independientemente en la década de 1930 por Jesse Douglas y Tibor Radó bajo ciertas restricciones topológicas . En 1960 Herbert Federer y Wendell Fleming utilizaron la teoría de corrientes con la que pudieron resolver el problema de Plateau orientable analíticamente sin restricciones topológicas, dando así origen a la teoría de la medida geométrica. Más tarde, Jean Taylor y Fred Almgren demostraron las leyes de Plateau para el tipo de singularidades que pueden ocurrir en estas películas de jabón y grupos de burbujas de jabón más generales.

Nociones importantes

Los siguientes objetos son centrales en la teoría de la medida geométrica:

Los siguientes teoremas y conceptos también son centrales:

Ejemplos

La desigualdad de Brunn-Minkowski para los volúmenes n -dimensionales de los cuerpos convexos K y L ,

se puede demostrar en una sola página y produce rápidamente la desigualdad isoperimétrica clásica . La desigualdad de Brunn-Minkowski también conduce al teorema de Anderson en estadística. La prueba de la desigualdad de Brunn-Minkowski es anterior a la teoría de la medida moderna; el desarrollo de la teoría de la medida y la integración de Lebesgue permitieron establecer conexiones entre la geometría y el análisis, hasta el punto de que en una forma integral de la desigualdad de Brunn-Minkowski conocida como la desigualdad de Prékopa-Leindler la geometría parece casi completamente ausente.

Véase también

Referencias

Enlaces externos