Producto cartesiano

Conjunto matemático formado a partir de dos conjuntos dados

Producto cartesiano de los conjuntos { x , y , z } y {1,2,3}

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos , el producto cartesiano de dos conjuntos A y B , denotado A × B , es el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) donde a está en A y b está en B. ^[1] En términos de notación de constructor de conjuntos , esto es ^{[2] [3} ] $${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ and }}\ b\in B\}.}$$

Se puede crear una tabla tomando el producto cartesiano de un conjunto de filas y un conjunto de columnas. Si se toma el producto cartesiano filas × columnas , las celdas de la tabla contienen pares ordenados de la forma (valor de fila, valor de columna) . ^[4]

De manera similar, se puede definir el producto cartesiano de n conjuntos, también conocido como producto cartesiano de n pliegues , que se puede representar mediante una matriz de n dimensiones, donde cada elemento es una n - tupla . Un par ordenado es una 2-tupla o pareja . De manera más general, se puede definir el producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos.

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes , ^[5] cuya formulación de la geometría analítica dio origen al concepto, que se generaliza aún más en términos de producto directo .

Definición de teoría de conjuntos

Una definición rigurosa del producto cartesiano requiere que se especifique un dominio en la notación del generador de conjuntos . En este caso, el dominio tendría que contener el producto cartesiano en sí. Para definir el producto cartesiano de los conjuntos y , con la definición típica de Kuratowski de un par como , un dominio apropiado es el conjunto donde denota el conjunto potencia . Entonces, el producto cartesiano de los conjuntos y se definiría como ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\times B=\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))\mid \exists a\in A\ \exists b\in B:x=(a,b)\}.}$$

Ejemplos

Una baraja de cartas

Baraja estándar de 52 cartas

Un ejemplo ilustrativo es la baraja estándar de 52 cartas . Los rangos de cartas estándar {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} forman un conjunto de 13 elementos. Los palos de cartas {♠, ♥ , ♦ , ♣ } forman un conjunto de cuatro elementos. El producto cartesiano de estos conjuntos da como resultado un conjunto de 52 elementos que consta de 52 pares ordenados , que corresponden a las 52 cartas de juego posibles.

Rangos × Trajes devuelve un conjunto de la forma {(A, ♠), (A,  ♥ ), (A,  ♦ ), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2,  ♥ ), (2,  ♦ ), (2, ♣)}.

Suits × Ranks devuelve un conjunto de la forma {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Estos dos conjuntos son distintos, incluso disjuntos , pero hay una biyección natural entre ellos, bajo la cual (3, ♣) corresponde a (♣, 3) y así sucesivamente.

Un sistema de coordenadas bidimensional

Coordenadas cartesianas de puntos de ejemplo

El principal ejemplo histórico es el plano cartesiano en la geometría analítica . Para representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las representaciones numéricas de las formas, René Descartes asignó a cada punto del plano un par de números reales , llamados sus coordenadas . Por lo general, el primer y segundo componente de dicho par se denominan sus coordenadas x e y , respectivamente (ver imagen). El conjunto de todos estos pares (es decir, el producto cartesiano , con que denota los números reales) se asigna así al conjunto de todos los puntos del plano. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Implementación más común (teoría de conjuntos)

Una definición formal del producto cartesiano a partir de principios de teoría de conjuntos se desprende de una definición de par ordenado . La definición más común de pares ordenados, la definición de Kuratowski , es . Según esta definición, es un elemento de , y es un subconjunto de ese conjunto, donde representa el operador de conjunto potencia . Por lo tanto, la existencia del producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera en ZFC se desprende de los axiomas de emparejamiento , unión , conjunto potencia y especificación . Dado que las funciones suelen definirse como un caso especial de relaciones , y las relaciones suelen definirse como subconjuntos del producto cartesiano, la definición del producto cartesiano de dos conjuntos es necesariamente anterior a la mayoría de las demás definiciones. ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

No conmutatividad y no asociatividad

Sean A , B , C y D conjuntos.

El producto cartesiano A × B no es conmutativo , ^[4] porque los pares ordenados se invierten a menos que se cumpla al menos una de las siguientes condiciones: ^[8] $${\displaystyle A\times B\neq B\times A,}$$

• A es igual a B , o
• A o B es el conjunto vacío .

Por ejemplo:

A = {1,2} ; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

Estrictamente hablando, el producto cartesiano no es asociativo (a menos que uno de los conjuntos involucrados esté vacío). Si, por ejemplo, A = {1} , entonces ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) . $${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$$

Intersecciones, uniones y subconjuntos

El producto cartesiano satisface la siguiente propiedad con respecto a las intersecciones (ver imagen del medio). $${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$$

En la mayoría de los casos, la afirmación anterior no es verdadera si reemplazamos la intersección con la unión (ver la imagen de la derecha). $${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$$

De hecho, tenemos que: $${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}$$

Para la diferencia de conjuntos, también tenemos la siguiente identidad: $${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$$

Aquí hay algunas reglas que demuestran la distributividad con otros operadores (ver imagen más a la izquierda): ^[8] donde denota el complemento absoluto de A . $${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right)\!,}$$ ${\displaystyle A^{\complement }}$

Otras propiedades relacionadas con los subconjuntos son:

$${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq B{\text{, then }}A\times C\subseteq B\times C;}$$

$${\displaystyle {\text{if both }}A,B\neq \emptyset {\text{, then }}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq D.}$$^[9]

Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Por ejemplo, definiendo dos conjuntos: A = {a, b} y B = {5, 6} . Tanto el conjunto A como el conjunto B constan de dos elementos cada uno. Su producto cartesiano, escrito como A × B , da como resultado un nuevo conjunto que tiene los siguientes elementos:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)} .

donde cada elemento de A se empareja con cada elemento de B , y donde cada par constituye un elemento del conjunto de salida. El número de valores en cada elemento del conjunto resultante es igual al número de conjuntos cuyo producto cartesiano se está tomando; 2 en este caso. La cardinalidad del conjunto de salida es igual al producto de las cardinalidades de todos los conjuntos de entrada. Es decir,

| A × B | = | A | · | B | . ^[4]

En este caso, | A × B | = 4

Similarmente,

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

etcétera.

El conjunto A × B es infinito si A o B es infinito y el otro conjunto no es el conjunto vacío. ^[10]

Productos cartesianos de varios conjuntos

norte-ario producto cartesiano

El producto cartesiano se puede generalizar al producto cartesiano n -ario sobre n conjuntos X ₁ , ..., X _n como el conjunto $${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$$

de n -tuplas . Si las tuplas se definen como pares ordenados anidados , se pueden identificar con ( X ₁ × ... × X _{n −1} ) × X _n . Si una tupla se define como una función en {1, 2, ..., n } que toma su valor en i como el i -ésimo elemento de la tupla, entonces el producto cartesiano X ₁ × ... × X _n es el conjunto de funciones $${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

norte-aria potencia cartesiana

El cuadrado cartesiano de un conjunto X es el producto cartesiano X ² = X × X . Un ejemplo es el plano bidimensional R ² = R × R donde R es el conjunto de números reales : ^[1] R ² es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) donde x e y son números reales (véase el sistema de coordenadas cartesianas ).

La potencia cartesiana n -aria de un conjunto X , denotada , se puede definir como ${\displaystyle X^{n}}$ $${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

Un ejemplo de esto es R ³ = R × R × R , con R nuevamente el conjunto de números reales, ^[1] y más generalmente R ⁿ .

La potencia cartesiana n -aria de un conjunto X es isomorfa al espacio de funciones de un conjunto de n -elementos a X. Como caso especial, la potencia cartesiana 0-aria de X puede tomarse como un conjunto singleton , correspondiente a la función vacía con codominio X.

Productos cartesianos infinitos

Es posible definir el producto cartesiano de una familia arbitraria (posiblemente infinita ) de conjuntos indexados. Si I es cualquier conjunto índice , y es una familia de conjuntos indexados por I , entonces el producto cartesiano de los conjuntos en se define como es decir, el conjunto de todas las funciones definidas en el conjunto índice I tales que el valor de la función en un índice particular i es un elemento de X _i . Incluso si cada uno de los X _i no está vacío, el producto cartesiano puede estar vacío si no se supone el axioma de elección , que es equivalente a la afirmación de que cada uno de esos productos no está vacío. también puede denotarse como . ^[11] ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ \forall i\in I.\ f(i)\in X_{i}\right\},}$$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle {\mathsf {X}}}$ ${\displaystyle {}_{i\in I}X_{i}}$

Para cada j en I , la función definida por se llama j -ésimo mapa de proyección . $${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$$ ${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)}$

La potencia cartesiana es un producto cartesiano donde todos los factores X _i son el mismo conjunto X . En este caso, es el conjunto de todas las funciones de I a X , y se denota frecuentemente X ^I . Este caso es importante en el estudio de la exponenciación cardinal . Un caso especial importante es cuando el conjunto índice es , los números naturales : este producto cartesiano es el conjunto de todas las secuencias infinitas con el término i -ésimo en su conjunto correspondiente X _i . Por ejemplo, cada elemento de se puede visualizar como un vector con componentes de números reales infinitos numerables. Este conjunto se denota frecuentemente como , o . $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Otras formas

Forma abreviada

Si se multiplican varios conjuntos entre sí (por ejemplo, X ₁ , X ₂ , X ₃ , ... ), algunos autores ^[12] optan por abreviar el producto cartesiano simplemente como × X _i .

Producto cartesiano de funciones

Si f es una función de X a A y g es una función de Y a B , entonces su producto cartesiano f × g es una función de X × Y a A × B con $${\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$$

Esto se puede extender a tuplas y colecciones infinitas de funciones. Esto es diferente del producto cartesiano estándar de funciones consideradas como conjuntos.

Cilindro

Sea un conjunto y . Entonces el cilindro de con respecto a es el producto cartesiano de y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\times A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Normalmente, se considera que es el universo del contexto y se deja de lado. Por ejemplo, si es un subconjunto de los números naturales , entonces el cilindro de es . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\times \mathbb {N} }$

Definiciones fuera de la teoría de conjuntos

Teoría de categorías

Aunque el producto cartesiano se aplica tradicionalmente a conjuntos, la teoría de categorías proporciona una interpretación más general del producto de estructuras matemáticas. Esto es distinto, aunque relacionado con, el concepto de cuadrado cartesiano en la teoría de categorías, que es una generalización del producto de fibras .

La exponenciación es el adjunto derecho del producto cartesiano; por lo tanto, cualquier categoría con un producto cartesiano (y un objeto final ) es una categoría cartesiana cerrada .

Teoría de grafos

En teoría de grafos , el producto cartesiano de dos grafos G y H es el grafo denotado por G × H , cuyo conjunto de vértices es el producto cartesiano (ordinario) V ( G ) × V ( H ) y tal que dos vértices ( u , v ) y ( u ′, v ′) son adyacentes en G × H , si y solo si u = u ′ y v es adyacente a v ′ en H , o v = v ′ y u es adyacente a u ′ en G . El producto cartesiano de grafos no es un producto en el sentido de la teoría de categorías. En cambio, el producto categórico se conoce como el producto tensorial de grafos .

Véase también

• Axioma del conjunto potencia (para demostrar la existencia del producto cartesiano)
• Producto directo
• Producto vacío
• Relación finita
• Unión (SQL) § Unión cruzada
• Órdenes sobre el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados
• Producto exterior
• Producto (teoría de categorías)
• Topología del producto
• Tipo de producto

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Producto cartesiano". MathWorld . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
2. Warner, S. (1990). Álgebra moderna . Dover Publications . pág. 6.
3. Nykamp, ​​Duane. "Definición de producto cartesiano". Math Insight . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
4. «Producto cartesiano». web.mnstate.edu . Archivado desde el original el 18 de julio de 2020 . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
5. "Cartesiano". Merriam-Webster.com . 2009 . Consultado el 1 de diciembre de 2009 .
6. Corry, S. "Un bosquejo de los rudimentos de la teoría de conjuntos" (PDF) . Consultado el 5 de mayo de 2023 .
7. Goldberg, Samuel (1986). Probabilidad: una introducción. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. pág. 41. ISBN 9780486652528.
8. Singh, S. (27 de agosto de 2009). Producto cartesiano . Recuperado del sitio web de Connexions: http://cnx.org/content/m15207/1.5/
9. Producto cartesiano de subconjuntos. (15 de febrero de 2011). ProofWiki . Consultado el 1 de agosto de 2011 a las 05:06 en https://proofwiki.org/w/index.php?title=Producto_cartesiano_de_subconjuntos&oldid=45868
10. Peter S. (1998). Un curso intensivo sobre las matemáticas de conjuntos infinitos. St. John's Review, 44 (2), 35–59. Recuperado el 1 de agosto de 2011 de http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm
11. FR Drake, Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardinales , pág. 24. Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, vol. 76 (1978). ISBN 0-7204-2200-0.
12. Osborne, M., y Rubinstein, A., 1994. Un curso de teoría de juegos . MIT Press.

Enlaces externos

• Producto cartesiano en ProvenMath
• "Producto directo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cómo encontrar el producto cartesiano, Portal Educativo de la Academia