proceso de puntos

Teoría de probabilidad

En estadística y teoría de la probabilidad , un proceso puntual o campo puntual es una colección de puntos matemáticos ubicados aleatoriamente en un espacio matemático como la línea real o el espacio euclidiano . ^{[1] [2]} Los procesos puntuales se pueden utilizar para el análisis de datos espaciales , ^{[3] [4],} lo cual es de interés en disciplinas tan diversas como silvicultura, ecología vegetal, epidemiología, geografía, sismología, ciencia de materiales, astronomía, telecomunicaciones, computación neurociencia, ^[5] economía ^[6] y otros.

Existen diferentes interpretaciones matemáticas de un proceso puntual, como una medida de conteo aleatoria o un conjunto aleatorio. ^{[7] [8]} Algunos autores consideran un proceso puntual y un proceso estocástico como dos objetos diferentes, de modo que un proceso puntual es un objeto aleatorio que surge de un proceso estocástico o está asociado con él, ^{[9] [10]} aunque se ha comentado que la diferencia entre procesos puntuales y procesos estocásticos no está clara. ^[10] Otros consideran un proceso puntual como un proceso estocástico, donde el proceso está indexado por conjuntos del espacio subyacente ^[a] en el que se define, como la línea real o el espacio euclidiano de dimensiones. ^{[13] [14]} Otros procesos estocásticos, como los procesos de renovación y conteo, se estudian en la teoría de los procesos puntuales. ^{[15] [10]} A veces no se prefiere el término "proceso puntual", ya que históricamente la palabra "proceso" denota una evolución de algún sistema en el tiempo, por lo que el proceso puntual también se denomina campo puntual aleatorio. ^[dieciséis] ${\displaystyle n}$

Los procesos puntuales en la línea real constituyen un caso especial importante que es particularmente susceptible de estudio, ^[17] porque los puntos están ordenados de forma natural y todo el proceso puntual puede describirse completamente mediante los intervalos (aleatorios) entre los puntos. Estos procesos puntuales se utilizan frecuentemente como modelos para eventos aleatorios en el tiempo, como la llegada de clientes a una cola ( teoría de las colas ), de impulsos en una neurona ( neurociencia computacional ), partículas en un contador Geiger , ubicación de estaciones de radio en un red de telecomunicaciones ^[18] o de búsquedas en la red mundial .

Teoría general del proceso puntual.

En matemáticas, un proceso puntual es un elemento aleatorio cuyos valores son "patrones de puntos" en un conjunto S. Mientras que en la definición matemática exacta un patrón de puntos se especifica como una medida de conteo localmente finita , es suficiente para propósitos más aplicados pensar en un patrón de puntos como un subconjunto contable de S que no tiene puntos límite . ^{[ se necesita aclaración ]}

Definición

Para definir procesos puntuales generales, comenzamos con un espacio de probabilidad y un espacio medible donde es un segundo espacio de Hausdorff contable localmente compacto y es su álgebra σ de Borel . Consideremos ahora un núcleo localmente finito con valor entero from into , es decir, un mapeo tal que: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$

1. Para cada , es una medida localmente finita de . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$ ${\displaystyle S}$
2. Para cada , hay una variable aleatoria sobre . ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \mapsto \mathbb {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$

Este núcleo define una medida aleatoria de la siguiente manera. Nos gustaría pensar en definir un mapeo que se mapea a una medida (es decir, ), donde está el conjunto de todas las medidas localmente finitas en . Ahora, para que este mapeo sea mensurable, necesitamos definir un campo sobre . Este campo se construye como álgebra mínima para que todos los mapas de evaluación de la forma , donde es relativamente compacto , sean medibles. Equipado con este campo, entonces hay un elemento aleatorio, donde para cada , hay una medida localmente finita sobre . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \xi _{\omega }}$ ${\displaystyle S}$

Ahora, por proceso puntual simplemente nos referimos a una medida aleatoria con valores enteros (o equivalentemente, un núcleo con valores enteros) construida como se indicó anteriormente. El ejemplo más común para el espacio de estados S es el espacio euclidiano R ⁿ o un subconjunto del mismo, donde un caso especial particularmente interesante viene dado por la media línea real [0,∞). Sin embargo, los procesos puntuales no se limitan a estos ejemplos y, entre otras cosas, también pueden usarse si los puntos son en sí mismos subconjuntos compactos de R ⁿ , en cuyo caso ξ generalmente se denomina proceso de partículas . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \xi }$

A pesar del nombre proceso de puntos, ya que S podría no ser un subconjunto de la recta real, ya que podría sugerir que ξ es un proceso estocástico .

Representación

Cada instancia (o evento) de un proceso puntual ξ se puede representar como

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

donde denota la medida de Dirac , n es una variable aleatoria de valor entero y son elementos aleatorios de S. Si es casi seguro que son distintos (o equivalentemente, casi con seguridad para todos ), entonces el proceso puntual se conoce como simple . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Otra representación diferente pero útil de un evento (un evento en el espacio de eventos, es decir, una serie de puntos) es la notación de conteo, donde cada instancia se representa como una función, una función continua que toma valores enteros : ${\displaystyle N(t)}$ ${\displaystyle N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} _{0}^{+}}}$

${\displaystyle N(t_{1},t_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)\,dt}$

que es el número de eventos en el intervalo de observación . A veces se denota por y o significa . ${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$ ${\displaystyle N_{T}}$ ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle N_{0,T}}$

Medida de expectativa

La medida de expectativa Eξ (también conocida como medida media ) de un proceso puntual ξ es una medida en S que asigna a cada subconjunto de Borel B de S el número esperado de puntos de ξ en B. Eso es,

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{for every }}B\in {\mathcal {B}}.}$

Laplace funcional

El funcional de Laplace de un proceso puntual N es un mapa del conjunto de todas las funciones f con valores positivos en el espacio de estados de N , definido de la siguiente manera: ${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

Desempeñan un papel similar al de las funciones características de la variable aleatoria . Un teorema importante dice que: dos procesos puntuales tienen la misma ley si sus funcionales de Laplace son iguales.

Medida de momento

La enésima potencia de un proceso puntual se define en el espacio del producto de la siguiente manera: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \xi ^{n},}$ ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

Según el teorema de clase monótona , esto define de forma única la medida del producto en La expectativa se llama medida del momento enésimo . La medida del primer momento es la medida media. ${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$ ${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$ ${\displaystyle n}$

Dejar . Las intensidades conjuntas de un proceso puntual con la medida de Lebesgue son funciones tales que para cualquier subconjunto de Borel acotado y disjunto ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

Las intensidades conjuntas no siempre existen para procesos puntuales. Dado que los momentos de una variable aleatoria determinan la variable aleatoria en muchos casos, se espera un resultado similar para las intensidades conjuntas. De hecho, esto se ha demostrado en muchos casos. ^[2]

Estacionariedad

Se dice que un proceso puntual es estacionario si tiene la misma distribución que para todos. Para un proceso puntual estacionario, la medida media de alguna constante y donde representa la medida de Lebesgue. Esto se llama intensidad del proceso puntual. Es casi seguro que un proceso de puntos estacionarios tiene 0 o un número infinito de puntos en total. Para obtener más información sobre procesos puntuales estacionarios y medidas aleatorias, consulte el Capítulo 12 de Daley & Vere-Jones. ^[2] La estacionariedad ha sido definida y estudiada para procesos puntuales en espacios más generales que . ${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$ ${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Ejemplos de procesos puntuales.

Veremos algunos ejemplos de procesos puntuales en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

proceso de punto de veneno

El ejemplo más simple y ubicuo de un proceso puntual es el proceso puntual de Poisson , que es una generalización espacial del proceso de Poisson . Un proceso de Poisson (conteo) en la recta se puede caracterizar por dos propiedades: el número de puntos (o eventos) en intervalos disjuntos son independientes y tienen una distribución de Poisson . También se puede definir un proceso de punto de Poisson utilizando estas dos propiedades. Es decir, decimos que un proceso puntual es un proceso puntual de Poisson si se cumplen las dos condiciones siguientes ${\displaystyle \xi }$

1) son independientes para subconjuntos disjuntos ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) Para cualquier subconjunto acotado , tiene una distribución de Poisson con parámetro donde denota la medida de Lebesgue . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \xi (B)}$ ${\displaystyle \lambda \|B\|,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Las dos condiciones se pueden combinar y escribir de la siguiente manera: Para cualquier subconjunto acotado disjunto y entero no negativo tenemos que ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

La constante se llama intensidad del proceso del punto de Poisson. Tenga en cuenta que el proceso de puntos de Poisson se caracteriza por un único parámetro. Es un proceso de puntos simple y estacionario. Para ser más específicos, al proceso puntual anterior se le llama proceso homogéneo de puntos de Poisson. Un proceso de Poisson no homogéneo se define como arriba pero reemplazando con donde hay una función no negativa en ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda \|B\|}$ ${\displaystyle \int _{B}\lambda (x)\,dx}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

proceso de punto de cox

Un proceso de Cox (llamado así en honor a Sir David Cox ) es una generalización del proceso de puntos de Poisson, en el sentido de que utilizamos medidas aleatorias en lugar de . Más formalmente, sea una medida aleatoria . Un proceso de puntos de Cox impulsado por la medida aleatoria es el proceso de puntos con las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle \lambda \|B\|}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \xi }$

1. Dado , ¿está distribuida Poisson con parámetro para cualquier subconjunto acotado? ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \xi (B)}$ ${\displaystyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle B.}$
2. Para cualquier colección finita de subconjuntos disjuntos y condicionados tenemos que son independientes. ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$ ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$

Es fácil ver que los procesos de puntos de Poisson (homogéneos y no homogéneos) siguen casos especiales de procesos de puntos de Cox. La medida media de un proceso de puntos de Cox es y, por tanto, en el caso especial de un proceso de puntos de Poisson, es ${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

Para un proceso de puntos de Cox, se llama medida de intensidad . Además, si tiene una densidad (aleatoria) ( derivado de radón-Nikodym ) , es decir, ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

${\displaystyle \Lambda (B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\,\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

entonces se llama campo de intensidad del proceso del punto de Cox. La estacionariedad de las medidas de intensidad o campos de intensidad implica la estacionariedad de los correspondientes procesos de puntos de Cox. ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

Ha habido muchas clases específicas de procesos de puntos de Cox que se han estudiado en detalle, como por ejemplo:

• Procesos de puntos de Cox log-gaussianos: ^[19] para un campo aleatorio gaussiano ${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$ ${\displaystyle X(\cdot )}$
• Ruido de disparo Procesos de puntos de Cox: ^[20] para un proceso de puntos de Poisson y un núcleo ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Ruido de disparo generalizado Procesos puntuales de Cox: ^[21] para un proceso puntual y kernel ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Procesos de puntos Cox basados ​​en Lévy: ^[22] para una base de Lévy y un núcleo , y ${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$ ${\displaystyle L(\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Procesos permanentes de puntos de Cox: ^[23] para k campos aleatorios gaussianos independientes ${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$ ${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$
• Procesos de puntos de Cox gaussianos sigmoidales: ^[24] para un campo aleatorio gaussiano y ${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$ ${\displaystyle X(\cdot )}$ ${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

Mediante la desigualdad de Jensen, se puede verificar que los procesos puntuales de Cox satisfacen la siguiente desigualdad: para todos los subconjuntos acotados de Borel , ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

donde representa un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad. Por lo tanto, los puntos se distribuyen con mayor variabilidad en un proceso de puntos de Cox en comparación con un proceso de puntos de Poisson. A esto a veces se le llama agrupación o propiedad atractiva del proceso de puntos de Cox. ${\displaystyle \xi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$

Procesos de punto determinante

Una clase importante de procesos puntuales, con aplicaciones a la física , la teoría de matrices aleatorias y la combinatoria , es la de los procesos puntuales determinantes . ^[25]

Procesos de Hawkes (autoexcitantes)

Un proceso de Hawkes , también conocido como proceso de conteo autoexcitante, es un proceso puntual simple cuya intensidad condicional se puede expresar como ${\displaystyle N_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{aligned}}}$

donde es una función central que expresa la influencia positiva de eventos pasados ​​sobre el valor actual del proceso de intensidad , es una función posiblemente no estacionaria que representa la parte esperada, predecible o determinista de la intensidad, y es el momento de ocurrencia del i -ésimo evento del proceso. ^[26] ${\displaystyle \nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle \lambda (t)}$ ${\displaystyle \mu (t)}$ ${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$

Procesos geométricos

Dada una secuencia de variables aleatorias no negativas , si son independientes y la CDF de está dada por for , donde es una constante positiva, entonces se llama proceso geométrico (GP). ^[27] ${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$

El proceso geométrico tiene varias extensiones, incluido el proceso de la serie α ^[28] y el proceso doblemente geométrico . ^[29]

Procesos puntuales en la media línea real.

Históricamente, los primeros procesos puntuales que se estudiaron tenían como espacio de estado la media línea real R ₊ = [0,∞), que en este contexto suele interpretarse como tiempo. Estos estudios fueron motivados por el deseo de modelar sistemas de telecomunicaciones ^[30] en los que los puntos representaran eventos en el tiempo, como llamadas a una central telefónica.

Los procesos puntuales en R ₊ se describen típicamente dando la secuencia de sus tiempos (aleatorios) entre eventos ( T ₁ ,  T ₂ , ...), a partir de los cuales la secuencia real ( X ₁ ,  X ₂ , ...) de Los tiempos de los eventos se pueden obtener como

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.}$

Si los tiempos entre eventos son independientes y están distribuidos idénticamente, el proceso de puntos obtenido se denomina proceso de renovación .

Intensidad de un proceso puntual.

La intensidad λ ( t  |  H _t ) de un proceso puntual en la media línea real con respecto a una filtración H _t se define como

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

H _t puede denotar la historia de los momentos de los eventos anteriores al tiempo t, pero también puede corresponder a otras filtraciones (por ejemplo, en el caso de un proceso de Cox).

En la notación -, esto se puede escribir de una forma más compacta: ${\displaystyle N(t)}$

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).}$

El compensador de un proceso puntual, también conocido como proyección dual predecible , es la función de intensidad condicional integrada definida por

${\displaystyle \Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t}$

Funciones relacionadas

Función de intensidad de Papangelou

La función de intensidad de Papangelou de un proceso puntual en el espacio euclidiano -dimensional se define como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

donde está la bola centrada en un radio y denota la información del proceso puntual exterior . ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$

función de probabilidad

La probabilidad logarítmica de un proceso puntual simple parametrizado condicionado a algunos datos observados se escribe como

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))\,ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)\,dN_{s}}$^[31]

Procesos puntuales en estadística espacial.

El análisis de datos de patrones de puntos en un subconjunto compacto S de R ⁿ es un importante objeto de estudio dentro de la estadística espacial . Estos datos aparecen en una amplia gama de disciplinas, ^[32] entre las que se encuentran

• silvicultura y ecología vegetal (posiciones de árboles o plantas en general)
• epidemiología (lugares de origen de los pacientes infectados)
• zoología (madrigueras o nidos de animales)
• geografía (posiciones de asentamientos humanos, pueblos o ciudades)
• sismología (epicentros de terremotos)
• ciencia de los materiales (posiciones de defectos en materiales industriales)
• astronomía (ubicación de estrellas o galaxias)
• Neurociencia computacional (picos de neuronas).

La necesidad de utilizar procesos puntuales para modelar este tipo de datos radica en su estructura espacial inherente. En consecuencia, una primera pregunta de interés es a menudo si los datos dados exhiben aleatoriedad espacial completa (es decir, son una realización de un proceso de Poisson espacial ) en lugar de exhibir agregación espacial o inhibición espacial.

Por el contrario, muchos conjuntos de datos considerados en la estadística multivariada clásica consisten en puntos de datos generados de forma independiente que pueden estar regidos por una o varias covariables (normalmente no espaciales).

Además de las aplicaciones en estadística espacial, los procesos puntuales son uno de los objetos fundamentales en la geometría estocástica . La investigación también se ha centrado ampliamente en varios modelos construidos sobre procesos puntuales, como teselaciones de Voronoi , gráficos geométricos aleatorios y modelos booleanos .

Ver también

• Medida empírica
• Medida aleatoria
• Notación de proceso de puntos
• Operación de proceso puntual
• proceso de veneno
• Teoría de la renovación
• Medida invariante
• Operador de transferencia
• operador koopman
• operador de turno

Notas

1. En el contexto de los procesos puntuales, el término "espacio de estados" puede significar el espacio en el que se define el proceso puntual, como la línea real, ^{[11] [12]} que corresponde al índice establecido en la terminología de procesos estocásticos.

Referencias

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