Operación de proceso puntual

En probabilidad y estadística , una operación de proceso puntual o transformación de proceso puntual es un tipo de operación matemática realizada sobre un objeto aleatorio conocida como proceso puntual , que a menudo se utilizan como modelos matemáticos de fenómenos que pueden representarse como puntos ubicados aleatoriamente en el espacio. Estas operaciones pueden ser puramente aleatorias, deterministas o ambas, y se utilizan para construir nuevos procesos puntuales, que luego también pueden usarse como modelos matemáticos. Las operaciones pueden incluir eliminar o adelgazar puntos de un proceso puntual, combinar o superponer múltiples procesos puntuales en un proceso puntual o transformar el espacio subyacente del proceso puntual en otro espacio. Las operaciones de procesos puntuales y los procesos puntuales resultantes se utilizan en la teoría de procesos puntuales y campos relacionados, como la geometría estocástica y la estadística espacial . ^[1]

Un proceso puntual que proporciona resultados particularmente convenientes bajo operaciones de proceso puntual aleatorio es el proceso puntual de Poisson . ^[2] El proceso puntual de Poisson a menudo exhibe un tipo de cierre matemático tal que cuando una operación de proceso puntual se aplica a algún proceso puntual de Poisson, entonces se proporciona Si se cumplen algunas condiciones en la operación del proceso puntual, el proceso resultante será a menudo otra operación del proceso puntual de Poisson, por lo que a menudo se utiliza como modelo matemático. ^{[2] [1]}

Las operaciones de procesos puntuales se han estudiado en el límite matemático a medida que el número de operaciones de procesos puntuales aleatorios aplicadas se acerca al infinito. Esto había llevado a teoremas de convergencia de operaciones de procesos puntuales, que tienen su origen en el trabajo pionero de Conny Palm en los años 1940 y más tarde de Aleksandr Khinchin en los años 1950 y 1960, quienes estudiaron procesos puntuales en la recta real, en el contexto del estudio de la llegada. de llamadas telefónicas y teoría de colas en general. ^[3] Siempre que el proceso puntual original y la operación del proceso puntual cumplan ciertas condiciones matemáticas, a medida que las operaciones del proceso puntual se apliquen al proceso, a menudo el proceso puntual resultante se comportará estocásticamente más como un proceso puntual de Poisson si no tiene un -medida media aleatoria , que da el número promedio de puntos del proceso de puntos ubicados en alguna región. En otras palabras, en el límite a medida que el número de operaciones aplicadas se acerca al infinito, el proceso puntual convergerá en distribución (o débilmente) a un proceso puntual de Poisson o, si su medida es una medida aleatoria, a un proceso puntual de Cox . ^[4] Los resultados de convergencia, como el teorema de Palm-Khinchin para los procesos de renovación, también se utilizan para justificar el uso del proceso del punto de Poisson como una matemática de diversos fenómenos.

Notación de proceso de puntos

Los procesos puntuales son objetos matemáticos que pueden usarse para representar colecciones de puntos dispersos aleatoriamente en algún espacio matemático subyacente . Tienen varias interpretaciones, lo que se refleja en los distintos tipos de notación de proceso de puntos . ^{[1] [5]} Por ejemplo, si un punto pertenece o es miembro de un proceso de puntos, denotado por , entonces esto se puede escribir como: ^[1] ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

y representa el proceso puntual como un conjunto aleatorio . Alternativamente, el número de puntos ubicados en algún conjunto de Borel a menudo se escribe como: ^{[1] [6] [7]} ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

lo que refleja una interpretación de medidas aleatorias para procesos puntuales.

Es necesario definir un proceso puntual en un espacio matemático subyacente. A menudo este espacio es un espacio euclidiano d -dimensional denotado aquí por , aunque los procesos puntuales se pueden definir en espacios matemáticos más abstractos . ^[4] ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

Ejemplos de operaciones

Para desarrollar modelos adecuados con procesos puntuales en geometría estocástica, estadística espacial y campos relacionados, existen varias transformaciones útiles que se pueden realizar en procesos puntuales, entre ellas: adelgazamiento, superposición, mapeo (o transformación del espacio), agrupamiento y desplazamiento aleatorio. ^{[2] [1] [7] [8]}

adelgazamiento

La operación de adelgazamiento implica el uso de alguna regla predefinida para eliminar puntos de un proceso de puntos y formar un nuevo proceso de puntos . Estas reglas de adelgazamiento pueden ser deterministas, es decir, no aleatorias, como es el caso de una de las reglas más simples conocidas como -adelgazamiento: ^[1] cada punto de se elimina (o mantiene) de forma independiente con cierta probabilidad (o ). Esta regla se puede generalizar introduciendo una función no negativa para definir el adelgazamiento dependiente de la ubicación donde ahora la probabilidad de que se elimine un punto depende de dónde se encuentra el punto en el espacio subyacente. Una generalización adicional es hacer que la probabilidad de adelgazamiento sea aleatoria. ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle 1-p}$ ${\displaystyle \textstyle p(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle p}$

Estas tres operaciones son todos tipos de adelgazamiento independiente, lo que significa que la interacción entre puntos no tiene ningún efecto sobre el lugar donde se elimina (o mantiene) un punto. Otra generalización implica el adelgazamiento dependiente donde los puntos del proceso puntual se eliminan (o mantienen) dependiendo de su ubicación en relación con otros puntos del proceso puntual. El adelgazamiento se puede utilizar para crear nuevos procesos de puntos, como procesos de núcleo duro donde los puntos no existen (debido al adelgazamiento) dentro de un cierto radio de cada punto en el proceso de puntos adelgazados. ^[1]

Superposición

La operación de superposición se utiliza para combinar dos o más procesos puntuales en un espacio matemático o espacio de estados subyacente. Si hay un conjunto contable o colección de procesos puntuales con medidas medias , entonces su superposición ${\displaystyle \textstyle {N}_{1},{N}_{2}\dots }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$

${\displaystyle {N}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{N}_{i},}$

también forma un proceso puntual. En esta expresión, la operación de superposición se denota por una unión de conjuntos ), lo que implica la interpretación de conjuntos aleatorios de procesos puntuales; consulte Notación de proceso de puntos para obtener más información.

Caso del proceso del punto de Poisson

En el caso de que cada uno sea un proceso de puntos de Poisson, entonces el proceso resultante también es un proceso de puntos de Poisson con intensidad media ${\displaystyle \textstyle {N}_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \Lambda =\sum \limits _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.}$

Agrupación

La operación de puntos conocida como agrupación implica reemplazar cada punto en un proceso de puntos determinado con un grupo de puntos . Cada grupo es también un proceso puntual, pero con un número finito de puntos. La unión de todos los clusters forma un proceso de puntos de cluster. ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle N^{x}}$

${\displaystyle {N}_{c}=\bigcup _{x\in {N}}N^{x}.}$

A menudo se supone que los grupos son todos conjuntos de puntos finitos, siendo cada conjunto independiente e idénticamente distribuido . Además, si el proceso puntual original tiene una intensidad constante , entonces la intensidad del proceso puntual agrupado será ${\displaystyle \textstyle N^{x}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$

${\displaystyle \lambda _{c}=c\lambda ,}$

donde la constante es la media del número de puntos en cada uno . ${\displaystyle \textstyle c}$ ${\displaystyle \textstyle N^{x}}$

Desplazamiento aleatorio y traducción.

Un modelo matemático puede requerir mover aleatoriamente puntos de un proceso puntual desde algunas ubicaciones a otras ubicaciones en el espacio matemático subyacente . ^[2] Esta operación de proceso puntual se conoce como desplazamiento aleatorio ^[2] o traslación . ^[4] Si cada punto del proceso se desplaza o traslada de forma independiente a todos los demás puntos del proceso, entonces la operación forma un desplazamiento o traslación independiente . ^[4] Generalmente se supone que todas las traducciones aleatorias tienen una distribución de probabilidad común ; por tanto, los desplazamientos forman un conjunto de vectores aleatorios independientes e idénticamente distribuidos en el espacio matemático subyacente.

La aplicación de desplazamientos o traslaciones aleatorias a procesos puntuales se puede utilizar como modelos matemáticos para la movilidad de objetos en, por ejemplo, ecología ^[2] o redes inalámbricas. ^[5]

Teorema de desplazamiento

El resultado conocido como teorema de desplazamiento ^[2] dice efectivamente que el desplazamiento aleatorio independiente de puntos de un proceso puntual de Poisson (en el mismo espacio subyacente) forma otro proceso puntual de Poisson.

Transformación del espacio

Otra propiedad que se considera útil es la capacidad de mapear un proceso puntual desde un espacio subyacente a otro espacio. Por ejemplo, un proceso puntual definido en el plano R ² se puede transformar de coordenadas cartesianas a coordenadas polares . ^[2]

Teorema de mapeo

Siempre que el mapeo (o transformación) cumpla con algunas condiciones, entonces un resultado conocido a veces como teorema de mapeo ^[2] dice que si el proceso original es un proceso de punto de Poisson con alguna medida de intensidad, entonces la colección mapeada (o transformada) resultante de puntos también forma un proceso de puntos de Poisson con otra medida de intensidad.

Convergencia de operaciones de procesos puntuales.

Una operación puntual realizada una vez en algún proceso puntual puede, en general, realizarse una y otra vez. En la teoría de procesos puntuales, se han obtenido resultados para estudiar el comportamiento del proceso puntual resultante, a través de resultados de convergencia , en el límite cuando el número de operaciones realizadas se acerca al infinito. ^[4] Por ejemplo, si cada punto en un proceso puntual general se desplaza repetidamente de una cierta manera aleatoria e independiente, entonces el nuevo proceso puntual, informalmente hablando, se parecerá cada vez más a un proceso puntual de Poisson. Se han desarrollado resultados de convergencia similares para las operaciones de adelgazamiento y superposición (con un reescalado adecuado del espacio subyacente). ^[4]

Referencias

1. D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke y L. Ruschendorf. Geometría estocástica y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley Chichester, 1995.
2. JFC Kingman. Procesos de Poisson , volumen 3. Oxford University Press, 1992.
3. O. Kallenberg. Medidas aleatorias . Páginas 173-175, Academic Pr, 1983.
4. DJ Daley y D. Vere-Jones. Una introducción a la teoría de los procesos puntuales. vol. {II }. Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2008.
5. F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, Volumen II - Aplicaciones , volumen 4, No 1-2 de Fundamentos y tendencias en redes . Editores ahora, 2009.
6. Moller, J.; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Inferencia estadística y simulación de procesos puntuales espaciales . Monografías de C&H/CRC sobre estadística y probabilidad aplicada. vol. 100. CiteSeerX  10.1.1.124.1275 . doi :10.1201/9780203496930. ISBN 978-1-58488-265-7.
7. F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, Volumen I - Teoría , volumen 3, números 3–4 de Fundamentos y tendencias en redes . Editores ahora, 2009.
8. A. Baddeley, I. Bárány y R. Schneider. Procesos de puntos espaciales y sus aplicaciones. Geometría estocástica: conferencias impartidas en la escuela de verano del CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004 , páginas 1 a 75, 2007.