Completa aleatoriedad espacial

La aleatoriedad espacial completa ( CSR ) describe un proceso puntual mediante el cual eventos puntuales ocurren dentro de un área de estudio determinada de forma completamente aleatoria. Es sinónimo de proceso de Poisson espacial homogéneo . ^[1] Un proceso de este tipo se modela utilizando un solo parámetro , es decir, la densidad de puntos dentro del área definida. El término aleatoriedad espacial completa se usa comúnmente en Estadística Aplicada en el contexto de examinar ciertos patrones de puntos, mientras que en la mayoría de los otros contextos estadísticos se hace referencia al concepto de proceso de Poisson espacial. ^[1] ${\displaystyle \rho }$

Modelo

Los datos en forma de un conjunto de puntos, distribuidos irregularmente dentro de una región del espacio, surgen en muchos contextos diferentes; los ejemplos incluyen la ubicación de árboles en un bosque, de nidos de pájaros, de núcleos en tejidos, de personas enfermas en una población en riesgo. A cualquier conjunto de datos de este tipo lo llamamos patrón de puntos espaciales y nos referimos a las ubicaciones como eventos, para distinguirlos de puntos arbitrarios de la región en cuestión. La hipótesis de aleatoriedad espacial completa para un patrón de puntos espaciales afirma que el número de eventos en cualquier región sigue una distribución de Poisson con un recuento medio determinado por subdivisión uniforme. Los acontecimientos de un patrón se distribuyen de forma independiente y uniforme en el espacio; en otras palabras, es igualmente probable que los eventos ocurran en cualquier lugar y no interactúen entre sí.

"Uniforme" se utiliza en el sentido de seguir una distribución de probabilidad uniforme en toda la región de estudio, no en el sentido de estar "uniformemente" dispersos en toda la región de estudio. ^[2] No hay interacciones entre los eventos y la intensidad de los eventos no varía en el plano. Por ejemplo, el supuesto de independencia se violaría si la existencia de un evento alentara o inhibiera la ocurrencia de otros eventos en el vecindario.

Distribución

Por lo tanto , la probabilidad de encontrar exactamente puntos dentro del área con densidad de eventos es: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle P(k,\rho ,V)={\frac {(V\rho )^{k}e^{-(V\rho )}}{k!}}.\,\!}$

El primer momento del cual, el número medio de puntos en el área, es simplemente . Este valor es intuitivo ya que es el parámetro de tasa de Poisson. ${\displaystyle \rho V}$

La probabilidad de localizar al vecino de cualquier punto dado, a alguna distancia radial es: ${\displaystyle N^{\mathrm {th} }}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle P_{N}(r)={\frac {D}{(N-1)!}}{\lambda }^{N}r^{DN-1}e^{-\lambda r^{D}},}$

donde es el número de dimensiones, es un parámetro dependiente de la densidad dado por y es la función gamma , que cuando su argumento es un número entero, es simplemente la función factorial , es decir, para integral . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {\rho \pi ^{\frac {D}{2}}}{\Gamma ({\frac {D}{2}}+1)}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ ${\displaystyle n}$

El valor esperado de se puede derivar mediante el uso de la función gamma utilizando momentos estadísticos. El primer momento es la distancia media entre partículas distribuidas aleatoriamente en dimensiones. ${\displaystyle P_{N}(r)}$ ${\displaystyle D}$

Aplicaciones

El estudio de la RSE es esencial para la comparación de datos puntuales medidos de fuentes experimentales. Como método de prueba estadística, la prueba de RSE tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales y en exámenes astronómicos. ^[3] La RSE es a menudo el estándar con el que se prueban los conjuntos de datos. Un enfoque descrito a grandes rasgos para probar la hipótesis de la RSE es el siguiente: ^[4]

1. Utilice estadísticas que sean función de la distancia desde cada evento hasta el siguiente evento más cercano.
2. En primer lugar, céntrese en un evento específico y formule un método para probar si el evento y el siguiente evento más cercano están significativamente cerca (o distantes).
3. Luego considere todos los eventos y formule un método para probar si la distancia promedio desde cada evento hasta el siguiente evento más cercano es significativamente corta (o larga).

En los casos en los que calcular analíticamente las estadísticas de las pruebas es difícil, se emplean métodos numéricos, como el método de simulación de Monte Carlo , simulando un proceso estocástico un gran número de veces. ^[4]

Referencias

1. O. Maimon, L. Rokach, Manual de descubrimiento de conocimientos y minería de datos , segunda edición, Springer 2010, páginas 851-852
2. LA Waller, CA Gotway , Estadísticas espaciales aplicadas para datos de salud pública , volumen 1 Wiley Chichester, 2004, páginas 119–121, 123–127, 137, 139–141, 146–148, 150–151, 157, 203.
3. "Estadísticas sobre Venus: cráteres y catástrofes".
4. A. Okabe, K. Sugihara, "Análisis espacial a lo largo de redes: métodos estadísticos y computacionales", volumen 1 Wiley Chichester, 2012, páginas 135-136

Otras lecturas

• Diggle, PJ (2003). Análisis estadístico de patrones de puntos espaciales (2ª ed.). Nueva York: Academic Press. ISBN 0340740701.

enlaces externos

• Mejora de las pruebas de aleatoriedad de distancia entre eventos en procesos de puntos espaciales