En teoría de la medida y probabilidad , el teorema de la clase monótona conecta clases monótonas y 𝜎-álgebras . El teorema dice que la clase monótona más pequeña que contiene un álgebra de conjuntos es precisamente la clase 𝜎-álgebra más pequeña que contiene. Se utiliza como un tipo de inducción transfinita para demostrar muchos otros teoremas, como el teorema de Fubini .
Auna clase monótona es unafamilia(es decir, una clase)de conjuntos que secierrabajo uniones monótonas contables y también bajo intersecciones monótonas contables. Explícitamente, este mediotiene las siguientes propiedades:
Teorema de clases monótonas para conjuntos : sea un álgebra de conjuntos y definamos como la clase monótona más pequeña que contiene Entonces, es precisamente el álgebra 𝜎 generada por ; eso es
Teorema de clase monótona para funciones : sea un sistema π que contenga y sea una colección de funciones desde a con las siguientes propiedades:
Luego contiene todas las funciones acotadas que son medibles con respecto a las cuales es el álgebra 𝜎 generada por
El siguiente argumento se origina en Probabilidad: teoría y ejemplos de Rick Durrett . [1]
Los supuestos (2) y (3) implican que es un sistema 𝜆. Por (1) y el teorema π −𝜆 , el enunciado (2) implica que contiene todas las funciones simples, y luego (3) implica que contiene todas las funciones acotadas medibles con respecto a
Como corolario, si es un anillo de conjuntos , entonces la clase monótona más pequeña que lo contiene coincide con el anillo 𝜎 de
Al invocar este teorema, se pueden usar clases monótonas para ayudar a verificar que una determinada colección de subconjuntos es un álgebra 𝜎 .
El teorema de clase monótona para funciones puede ser una herramienta poderosa que permite generalizar declaraciones sobre clases de funciones particularmente simples a funciones arbitrarias acotadas y medibles.