Problema de Thomson

Configuración de distancia máxima para N puntos en una esfera

El objetivo del problema de Thomson es determinar la configuración de energía potencial electrostática mínima de N electrones constreñidos a la superficie de una esfera unitaria que se repelen entre sí con una fuerza dada por la ley de Coulomb . El físico JJ Thomson planteó el problema en 1904 ^[1] después de proponer un modelo atómico , posteriormente llamado modelo del pudín de pasas , basado en su conocimiento de la existencia de electrones con carga negativa dentro de átomos con carga neutra.

Los problemas relacionados incluyen el estudio de la geometría de la configuración de energía mínima y el estudio del comportamiento N grande de la energía mínima.

Enunciado matemático

La energía de interacción electrostática que ocurre entre cada par de electrones de cargas iguales ( , con la carga elemental de un electrón) viene dada por la ley de Coulomb , ${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={e_{i}e_{j} \over 4\pi \epsilon _{0}r_{ij}},}$

donde es la constante eléctrica y es la distancia entre cada par de electrones ubicados en puntos de la esfera definidos por los vectores y , respectivamente. ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$

Se utilizan unidades simplificadas de y (la constante de Coulomb ) sin pérdida de generalidad. Entonces, ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle k_{e}=1/4\pi \epsilon _{0}=1}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

La energía potencial electrostática total de cada configuración electrónica N puede entonces expresarse como la suma de todas las energías de interacción por pares.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

La minimización global de todas las configuraciones posibles de N puntos distintos se encuentra típicamente mediante algoritmos de minimización numérica. ${\displaystyle U(N)}$

El problema de Thomson está relacionado con el séptimo de los dieciocho problemas matemáticos sin resolver propuestos por el matemático Steve Smale : "Distribución de puntos en la 2-esfera". ^[2] La principal diferencia es que en el problema de Smale la función a minimizar no es el potencial electrostático sino un potencial logarítmico dado por Una segunda diferencia es que la pregunta de Smale es sobre el comportamiento asintótico del potencial total cuando el número N de puntos tiende a infinito, no para valores concretos de N . ${\displaystyle 1 \over r_{ij}}$ ${\displaystyle -\log r_{ij}.}$

Ejemplo

La solución del problema de Thomson para dos electrones se obtiene cuando ambos electrones están lo más alejados posible en lados opuestos del origen, o ${\displaystyle r_{ij}=2r=2}$

${\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}$

Soluciones exactas conocidas

Soluciones geométricas esquemáticas del problema matemático de Thomson para hasta N  = 5 electrones.

Sólo en unos pocos casos se han identificado rigurosamente configuraciones de energía mínima matemáticamente exactas.

• Para N  = 1, la solución es trivial. El electrón individual puede residir en cualquier punto de la superficie de la esfera unitaria. La energía total de la configuración se define como cero porque la carga del electrón no está sujeta a ningún campo eléctrico debido a otras fuentes de carga.

• Para N  = 2, la configuración óptima consiste en electrones en puntos antípodas . Esto representa la primera solución unidimensional.

• Para N  = 3, los electrones residen en los vértices de un triángulo equilátero alrededor de cualquier círculo máximo . ^[3] A menudo se considera que el círculo máximo define un ecuador alrededor de la esfera y los dos puntos perpendiculares al plano a menudo se consideran polos para ayudar en las discusiones sobre las configuraciones electrostáticas de soluciones de muchos N electrones. Además, esto representa la primera solución bidimensional.

• Para N  = 4, los electrones residen en los vértices de un tetraedro regular . Es interesante señalar que esto representa la primera solución tridimensional.

• Para N  = 5, en 2010 se informó una solución matemáticamente rigurosa asistida por computadora con electrones que residen en los vértices de una bipirámide triangular . ^[4] Es interesante señalar que es imposible que cualquier solución N con cinco o más electrones exhiba equidistancia global entre todos los pares de electrones.

• Para N  = 6, los electrones residen en los vértices de un octaedro regular . ^[5] La configuración puede imaginarse como cuatro electrones que residen en las esquinas de un cuadrado alrededor del ecuador y los dos restantes que residen en los polos.

• Para N  = 12, los electrones residen en los vértices de un icosaedro regular . ^[6]

Las soluciones geométricas del problema de Thomson para N  = 4, 6 y 12 electrones son sólidos platónicos cuyas caras son todos triángulos equiláteros congruentes. Las soluciones numéricas para N  = 8 y 20 no son las configuraciones poliédricas convexas regulares de los dos sólidos platónicos restantes, el cubo y el dodecaedro respectivamente. ^[7]

Generalizaciones

También se pueden pedir estados fundamentales de partículas que interactúan con potenciales arbitrarios. Para ser matemáticamente precisos, sea f una función real decreciente y definamos la función de energía

$${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|).}$$

Tradicionalmente, se consideran también los llamados núcleos de Riesz. Para los núcleos de Riesz integrables, véase el trabajo de Landkof de 1972. ^[8] Para los núcleos de Riesz no integrables, se cumple el teorema del bagel de semillas de amapola ; véase el trabajo de Hardin y Saff de 2004. ^[9] Entre los casos notables se incluyen: ^[10] ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

• α  = ∞, el problema de Tammes (empaquetamiento);
• α  = 1, el problema de Thomson;
• α  = 0, para maximizar el producto de las distancias, más tarde conocido como el problema de Whyte;
• α  = −1: problema de distancia media máxima.

También se pueden considerar configuraciones de N puntos en una esfera de mayor dimensión . Véase diseño esférico .

Algoritmos de solución

Se han aplicado varios algoritmos a este problema. Desde el comienzo del milenio, el foco se ha puesto en los métodos de optimización local aplicados a la función de energía, aunque también han aparecido los recorridos aleatorios : ^[10]

• optimización global restringida (Altschuler et al. 1994),
• descenso más pronunciado (Claxton y Benson 1966, Erber y Hockney 1991),
• paseo aleatorio (Weinrach et al. 1990),
• algoritmo genético (Morris et al. 1996)

Si bien el objetivo es minimizar la energía potencial electrostática global de cada caso de N electrones, varios casos de inicio algorítmico son de interés.

Carga de capa esférica continua

El límite superior de energía extrema del problema de Thomson está dado por para una carga de capa continua seguida de N(N − 1)/2, la energía asociada con una distribución aleatoria de N electrones. La energía significativamente menor de una solución dada de N electrones del problema de Thomson con una carga en su origen se obtiene fácilmente por , donde son soluciones del problema de Thomson. ${\displaystyle N^{2}/2}$ ${\displaystyle U(N)+N}$ ${\displaystyle U(N)}$

La energía de una capa esférica continua de carga distribuida a lo largo de su superficie viene dada por

${\displaystyle U_{\text{shell}}(N)={\frac {N^{2}}{2}}}$

y es, en general, mayor que la energía de cada solución del problema de Thomson. Nota: Aquí N se utiliza como una variable continua que representa la carga infinitamente divisible, Q , distribuida a lo largo de la capa esférica. Por ejemplo, una capa esférica de representa la distribución uniforme de la carga de un solo electrón, , a lo largo de toda la capa. ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle -e}$

Cargas puntuales distribuidas aleatoriamente

La energía global esperada de un sistema de electrones distribuidos de manera puramente aleatoria a lo largo de la superficie de la esfera está dada por

${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)={\frac {N(N-1)}{2}}}$

y es, en general, mayor que la energía de cada solución del problema de Thomson.

Aquí, N es una variable discreta que cuenta la cantidad de electrones en el sistema. Además, . ${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)<U_{\text{shell}}(N)}$

Distribución centrada en la carga

Para cada N -ésima solución del problema de Thomson existe una ésima configuración que incluye un electrón en el origen de la esfera cuya energía es simplemente la suma de N a la energía de la N -ésima solución. Es decir, ^[11] ${\displaystyle (N+1)}$

${\displaystyle U_{0}(N+1)=U_{\text{Thom}}(N)+N.}$

Por lo tanto, si se conoce con exactitud, entonces se conoce con exactitud. ${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N)}$ ${\displaystyle U_{0}(N+1)}$

En general, es mayor que , pero está notablemente más cerca de cada solución de Thomson que y . Por lo tanto, la distribución centrada en la carga representa una "brecha de energía" más pequeña que cruzar para llegar a una solución de cada problema de Thomson que los algoritmos que comienzan con las otras dos configuraciones de carga. ${\displaystyle U_{0}(N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N+1)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{shell}}(N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{rand}}(N+1)}$

Relaciones con otros problemas científicos

El problema de Thomson es una consecuencia natural del modelo de pudín de pasas de J. J. Thomson en ausencia de su carga de fondo positiva uniforme. ^[12]

"Ningún hecho descubierto sobre el átomo puede ser trivial, ni dejar de acelerar el progreso de la ciencia física, pues la mayor parte de la filosofía natural es el resultado de la estructura y el mecanismo del átomo".

—Sir J. J. Thomson ^[13]

Aunque la evidencia experimental llevó al abandono del modelo de pudín de pasas de Thomson como modelo atómico completo, se ha descubierto que las irregularidades observadas en las soluciones numéricas de energía del problema de Thomson se corresponden con el llenado de capas de electrones en átomos naturales a lo largo de la tabla periódica de elementos. ^[14]

El problema de Thomson también juega un papel en el estudio de otros modelos físicos, incluidas las burbujas multielectrónicas y el ordenamiento de la superficie de gotas de metal líquido confinadas en trampas de Paul .

El problema generalizado de Thomson surge, por ejemplo, al determinar las disposiciones de las subunidades proteínicas que componen las capas de virus esféricos . Las "partículas" en esta aplicación son grupos de subunidades proteínicas dispuestas en una capa. Otras realizaciones incluyen disposiciones regulares de partículas coloidales en coloidosomas , propuestas para la encapsulación de ingredientes activos como fármacos, nutrientes o células vivas, patrones de fulerenos de átomos de carbono y la teoría VSEPR . Un ejemplo con interacciones logarítmicas de largo alcance lo proporcionan los vórtices de Abrikosov que se forman a bajas temperaturas en una capa de metal superconductor con un gran monopolo en su centro.

Configuraciones de energía más pequeña conocida

En la siguiente tabla ^{[ cita requerida ]} es el número de puntos (cargas) en una configuración, es la energía, el tipo de simetría se da en notación de Schönflies (ver Grupos de puntos en tres dimensiones ), y son las posiciones de las cargas. La mayoría de los tipos de simetría requieren que la suma vectorial de las posiciones (y por lo tanto el momento dipolar eléctrico ) sea cero. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U_{\textrm {Thom}}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

También se suele considerar el poliedro formado por la envoltura convexa de los puntos. Así, es el número de vértices donde se encuentran el número dado de aristas, es el número total de aristas, es el número de caras triangulares, es el número de caras cuadriláteras y es el ángulo más pequeño subtendido por vectores asociados al par de cargas más cercano. Nótese que las longitudes de las aristas generalmente no son iguales. Así, excepto en los casos N  = 2, 3, 4, 6, 12 y los poliedros geodésicos , la envoltura convexa solo es topológicamente equivalente a la figura que aparece en la última columna. ^[15] ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle f_{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$

Según una conjetura, si es el poliedro formado por la envoltura convexa de la configuración de la solución al problema de Thomson para electrones y es el número de caras cuadriláteras de , entonces tiene aristas. ^{[16] [ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(m)=\delta _{0,m-2}+3(m-2)-q}$

Referencias

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Notas

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• Esta página web contiene muchas más configuraciones electrónicas con la energía más baja conocida: https://www.hars.us.