Congruo

Espaciado entre números cuadrados igualmente espaciados

Los dos triángulos rectángulos con cateto e hipotenusa (7,13) y (13,17) tienen lados terceros iguales de longitud . El cuadrado de este lado, 120, es un congruo: es la diferencia entre valores consecutivos en la progresión aritmética de los cuadrados 7 ² , 13 ² , 17 ² . Equivalentemente, los dos anillos entre los tres círculos amarillos tienen áreas iguales, π por el congruo. ${\displaystyle {\sqrt {120}}}$

En teoría de números , un congruo (plural: congrua ) es la diferencia entre números cuadrados sucesivos en una progresión aritmética de tres cuadrados. Es decir, si , , y (para los números enteros , , y ) son tres números cuadrados que están igualmente espaciados entre sí, entonces el espaciamiento entre ellos, , se llama congruo. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}}$

El problema del congruo es el problema de encontrar cuadrados en una progresión aritmética y sus congruos asociados. ^[1] Se puede formalizar como una ecuación diofántica : encontrar números enteros , , y tales que Cuando se satisface esta ecuación, ambos lados de la ecuación son iguales al congruo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}.}$$

Fibonacci resolvió el problema de los congruos encontrando una fórmula parametrizada para generar todos los congruos, junto con sus progresiones aritméticas asociadas. Según esta fórmula, cada congruo es cuatro veces el área de un triángulo pitagórico . Los congruos también están estrechamente relacionados con los números congruentes : cada congruo es un número congruente, y cada número congruente es un congruo multiplicado por el cuadrado de un número racional.

Ejemplos

A modo de ejemplo, el número 96 es un congruo porque es la diferencia entre cuadrados adyacentes en la secuencia 4, 100 y 196 (los cuadrados de 2, 10 y 14 respectivamente).

Las primeras congruas son:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720… (secuencia A256418 en la OEIS ).

Historia

El problema del congruo fue planteado originalmente en 1225, como parte de un torneo matemático organizado por Federico II, emperador del Sacro Imperio Romano Germánico , y respondido correctamente en ese momento por Fibonacci , quien registró su trabajo sobre este problema en su Libro de los Cuadrados . ^[2]

Fibonacci ya sabía que es imposible que un congruo sea en sí mismo un cuadrado, pero no dio una prueba satisfactoria de este hecho. ^{[3] Geométricamente, esto significa que no es posible que el par de catetos de un triángulo pitagórico sea el cateto y la hipotenusa de otro triángulo pitagórico.} Pierre de Fermat dio finalmente una prueba , y el resultado ahora se conoce como el teorema del triángulo rectángulo de Fermat . Fermat también conjeturó, y Leonhard Euler demostró, que no existe una secuencia de cuatro cuadrados en progresión aritmética. ^{[4] [5]}

Solución parametrizada

El problema del congruo puede resolverse eligiendo dos enteros positivos distintos y (con ); entonces el número es un congruo. El cuadrado medio de la progresión aritmética de cuadrados asociada es , y los otros dos cuadrados pueden hallarse sumando o restando el congruo. Además, multiplicar un congruo por un número cuadrado produce otro congruo, cuya progresión de cuadrados se multiplica por el mismo factor. Todas las soluciones surgen de una de estas dos formas. ^[1] Por ejemplo, el congruo 96 puede construirse mediante estas fórmulas con y , mientras que el congruo 216 se obtiene multiplicando el congruo más pequeño 24 por el número cuadrado 9. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle 4mn(m^{2}-n^{2})}$ ${\displaystyle (m^{2}+n^{2})^{2}}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle n=1}$

Una formulación equivalente de esta solución, dada por Bernard Frénicle de Bessy , es que para los tres cuadrados en progresión aritmética , , y , el número del medio es la hipotenusa de un triángulo pitagórico y los otros dos números y son la diferencia y la suma respectivamente de los dos catetos del triángulo. ^[6] El congruo en sí es cuatro veces el área del mismo triángulo pitagórico. El ejemplo de una progresión aritmética con el congruo 96 se puede obtener de esta manera a partir de un triángulo rectángulo con longitudes de lado e hipotenusa 6, 8 y 10. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

Relación con números congruentes

Un número congruente se define como el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. Debido a que cada congruo puede obtenerse (usando la solución parametrizada) como el área de un triángulo pitagórico, se deduce que cada congruo es congruente. A la inversa, cada número congruente es un congruo multiplicado por el cuadrado de un número racional. ^[7] Sin embargo, probar si un número es un congruo es mucho más fácil que probar si un número es congruente. Para el problema del congruo, la solución parametrizada reduce este problema de prueba a verificar un conjunto finito de valores de parámetros. En contraste, para el problema del número congruente, un procedimiento de prueba finito se conoce solo conjeturalmente, a través del teorema de Tunnell , bajo el supuesto de que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es verdadera. ^[8]

Véase también

• Triángulo automediano , un triángulo en el que los cuadrados de los tres lados forman una progresión aritmética.
• Espiral de Teodoro , formada por triángulos rectángulos cuyos lados (no enteros), al ser elevados al cuadrado, forman una progresión aritmética infinita.

Referencias

1. Darling, David (2004), El libro universal de las matemáticas: desde Abracadabra hasta las paradojas de Zenón, John Wiley & Sons, pág. 77, ISBN 978-0-471-66700-1.
2. Bradley, Michael John (2006), El nacimiento de las matemáticas: desde la antigüedad hasta 1300, Infobase Publishing, pág. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7.
3. Ore, Øystein (2012), Teoría de números y su historia, Courier Dover Corporation, págs. 202-203, ISBN 978-0-486-13643-1.
4. Erickson, Martin J. (2011), Matemáticas hermosas, MAA Spectrum, Asociación Matemática de América, págs. 94-95, ISBN 978-0-88385-576-8.
5. La prueba de Euler no está escrita con claridad. Se ofrece una prueba elemental en Brown, Kevin, "No Four Squares In Arithmetic Progression", MathPages , consultado el 6 de diciembre de 2014.
6. Beiler, Albert H. (1964), Recreaciones en la teoría de los números: La reina de las matemáticas entretiene, Courier Corporation, pág. 153, ISBN 978-0-486-21096-4.
7. Conrad, Keith (otoño de 2008), "El problema de los números congruentes" (PDF) , Harvard College Mathematical Review , 2 (2): 58–73, archivado desde el original (PDF) el 20 de enero de 2013.
8. Koblitz, Neal (1984), Introducción a las curvas elípticas y formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas, n.º 97, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97966-2

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Problema de congruo", MathWorld