Principio de acción estacionaria

Principio variacional en física.

El principio de acción estacionaria , también conocido como principio de acción mínima , es un principio variacional que, cuando se aplica a la acción de un sistema mecánico , produce las ecuaciones de movimiento para ese sistema. El principio establece que las trayectorias (es decir, las soluciones de las ecuaciones de movimiento) son puntos estacionarios de acción del sistema funcional . ^[1]

Los físicos suelen utilizar el término "acción mínima" ^{[1] a pesar de que el principio} no tiene un requisito de minimidad general . ^[2] Históricamente, el principio se conocía como "acción mínima" y Feynman adoptó este nombre sobre el "principio de Hamilton" cuando lo adaptó a la mecánica cuántica. ^[3]

El principio se puede utilizar para derivar ecuaciones de movimiento newtonianas , lagrangianas y hamiltonianas , e incluso la relatividad general , así como la electrodinámica clásica y la teoría cuántica de campos . En estos casos se debe minimizar o maximizar una acción diferente. Para la relatividad, es la acción de Einstein-Hilbert . Para la teoría cuántica de campos, implica la formulación de integral de trayectoria .

La mecánica clásica y las expresiones electromagnéticas son consecuencia de la mecánica cuántica. El método de acción estacionaria contribuyó al desarrollo de la mecánica cuántica. ^[4]

El principio sigue siendo central en la física y las matemáticas modernas , y se aplica en la termodinámica , ^{[5] [6] [7]} la mecánica de fluidos , ^[8] la teoría de la relatividad , la mecánica cuántica , ^[9] la física de partículas y la teoría de cuerdas ^[10] y es un foco de investigación matemática moderna en la teoría Morse . El principio de Maupertuis y el principio de Hamilton ejemplifican el principio de acción estacionaria.

Los académicos a menudo le dan crédito a Pierre Louis Maupertuis por formular el principio de acción mínima porque escribió sobre él en 1744 ^[11] y 1746. ^[12]

Declaración general

A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (sólo se muestran algunas). El camino tomado por el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria ( δS = 0) ante pequeños cambios en la configuración del sistema ( δ q ). ^[13]

La acción , denotada , de un sistema físico se define como la integral del Lagrangiano L entre dos instantes de tiempo t ₁ y t ₂ – técnicamente una funcional de las N coordenadas generalizadas q = ( q ₁ , q ₂ , ... , q _N ) que son funciones del tiempo y definen la configuración del sistema: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

$${\displaystyle \mathbf {q} :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{N}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ,t_{1},t_{2}]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t)dt}$$

derivada del tiempot

Matemáticamente el principio es ^{[14] [15]}

$${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0,}$$

δ ( deltapequeño^[13]

El camino tomado por el sistema entre los tiempos t ₁ y t ₂ y las configuraciones q ₁ y q ₂ es aquel para el cual la acción es estacionaria (es decir, no cambia) de primer orden .

La acción estacionaria no siempre es un mínimo, a pesar del nombre histórico de acción mínima. ^{[16] [1] : 19–6} Es un principio mínimo para segmentos finitos y suficientemente cortos en la trayectoria de un sistema de dimensión finita. ^[2]

En las aplicaciones, la declaración y la definición de acción se toman juntas en el " principio de Hamilton ", escrito en forma moderna como: ^[17]

$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0.}$$

Tanto la acción como el lagrangiano contienen la dinámica del sistema en todos los tiempos. El término "trayectoria" simplemente se refiere a una curva trazada por el sistema en términos de las coordenadas en el espacio de configuración , es decir, la curva q ( t ) , parametrizada por el tiempo (ver también ecuación paramétrica para este concepto).

Historia

El principio de acción está precedido por ideas anteriores en óptica . En la antigua Grecia , Euclides escribió en su Catoptrica que, para el camino de la luz reflejada en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión . ^[18] Héroe de Alejandría demostró más tarde que este camino era el más corto y el de menor duración. ^[19]

Sobre la base de los primeros trabajos de Pierre Louis Maupertuis , Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange que definen versiones del principio de acción mínima , ^{[20] : 580} William Rowan Hamilton y, en conjunto, Carl Gustav Jacobi desarrollaron una forma variacional para la mecánica clásica conocida como Hamilton. –Ecuación de Jacobi . ^{[21] : 201}

En 1915, David Hilbert aplicó el principio variacional para derivar las ecuaciones de la relatividad general de Albert Einstein . ^[22]

En 1933, el físico Paul Dirac demostró cómo se puede utilizar este principio en cálculos cuánticos al discernir el fundamento mecánico cuántico del principio en la interferencia cuántica de amplitudes. ^[23] Posteriormente, Julian Schwinger y Richard Feynman aplicaron independientemente este principio en electrodinámica cuántica. ^{[24] [25]}

Disputas sobre posibles aspectos teleológicos

La equivalencia matemática de las ecuaciones diferenciales de movimiento y su contraparte integral tiene importantes implicaciones filosóficas. Las ecuaciones diferenciales son enunciados sobre cantidades localizadas en un solo punto en el espacio o en un solo momento del tiempo. Por ejemplo, la segunda ley de Newton.

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$$

instantánea Fmainstanteclásicos

Dado que la partícula comienza en la posición x ₁ en el momento t ₁ y termina en la posición x ₂ en el momento t ₂ , la trayectoria física que conecta estos dos puntos finales es un extremo de la integral de acción.

En particular, se ha interpretado que la fijación del estado final confiere al principio de acción un carácter teleológico que ha sido históricamente controvertido. Sin embargo, según Wolfgang Yourgrau  [de] y Stanley Mandelstam , el enfoque teleológico... presupone que los principios variacionales en sí mismos tienen características matemáticas que de facto no poseen ^[26] Además, algunos críticos sostienen que esta aparente teleología ocurre debido a la forma en que se formuló la pregunta. Al especificar algunos pero no todos los aspectos de las condiciones iniciales y finales (las posiciones pero no las velocidades), estamos haciendo algunas inferencias sobre las condiciones iniciales a partir de las condiciones finales, y es esta inferencia "hacia atrás" la que puede verse como una explicación teleológica.

Ver también

• Acción (física)
• Formulación integral de camino
• Principio de acción cuántica de Schwinger
• Camino de menor resistencia
• Mecánica analítica
• Cálculo de variaciones
• Mecánica hamiltoniana
• Mecánica lagrangiana
• La navaja de Occam
• Principio variacional

notas y referencias

1. Las conferencias Feynman sobre física vol. II Cap. 19: El principio de mínima acción
2. Stehle, Philip M. (1993). "Principio de mínima acción". En Parker, SP (ed.). Enciclopedia de Física McGraw-Hill (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 670.ISBN​ 0-07-051400-3.
3. Moore, Thomas A. (1 de abril de 2004). "Obtener la mayor acción con la menor acción: una propuesta". Revista Estadounidense de Física . 72 (4): 522–527. Código Bib : 2004AmJPh..72..522M. doi :10.1119/1.1646133. ISSN  0002-9505.
4. Richard Feynman , El carácter de la ley física .
5. García-Morales, Vladimir; Pellicer, Julio; Manzanares, José A. (2008). "Termodinámica basada en el principio de acción mínima abreviada: Producción de entropía en una red de osciladores acoplados". Anales de Física . 323 (8): 1844–58. arXiv : cond-mat/0602186 . Código Bib : 2008AnPhy.323.1844G. doi :10.1016/j.aop.2008.04.007. S2CID  118464686.
6. Gay-Balmaz, François; Yoshimura, Hiroaki (2018). "De la mecánica lagrangiana a la termodinámica de desequilibrio: una perspectiva variacional". Entropía . 21 (1): 8. arXiv : 1904.03738 . Código Bib : 2018Entrp..21....8G. doi : 10.3390/e21010008 . ISSN  1099-4300. PMC 7514189 . PMID  33266724. 
7. Biot, Maurice Antonio (1975). "Un principio de disipación virtual y ecuaciones lagrangianas en termodinámica irreversible no lineal". Boletín de la Clase de Ciencias . 61 (1): 6–30. doi : 10.3406/barb.1975.57878. ISSN  0001-4141.
8. Gris, Chris (2009). "Principio de mínima acción". Scholarpedia . 4 (12): 8291. Código bibliográfico : 2009SchpJ...4.8291G. doi : 10.4249/scholarpedia.8291 .
9. Feynman, Richard Phillips (1942), El principio de mínima acción en mecánica cuántica (tesis), Bibcode : 1942PhDT ......... 5F
10. "Principio de acción mínima - damtp" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 10 de octubre de 2015 . Consultado el 18 de julio de 2016 .
11. PLM de Maupertuis, Acuerdo de diferentes leyes de la naturaleza qui avaient jusqu'ici paru incompatibles. (1744) Mém. Como. Carolina del Sur. París pág. 417. (traducción al inglés)
12. PLM de Maupertuis, Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de métaphysique. (1746) Mém. C.A. Berlín, pág. 267.(traducción al inglés)
13. R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. pag. 474.ISBN​ 978-0-679-77631-4.
14. Enciclopedia de física (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
15. Mecánica analítica, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0 
16. Goodman, Bernard (1993). "Acción". En Parker, SP (ed.). Enciclopedia de Física McGraw-Hill (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 22.ISBN​ 0-07-051400-3.
17. Mecánica clásica, TWB Kibble, Serie europea de física, McGraw-Hill (Reino Unido), 1973, ISBN 0-07-084018-0 
18. Helzberger, Max (1966). "Óptica de Euclides a Huygens". Óptica Aplicada . 5 (9): 1383–93. Código Bib : 1966ApOpt...5.1383H. doi :10.1364/AO.5.001383. PMID  20057555. En Catoptrics se establece la ley de la reflexión, es decir, que los rayos entrantes y salientes forman el mismo ángulo con la normal a la superficie.
19. Kline, Morris (1972). Pensamiento Matemático desde la Antigüedad hasta la Modernidad . Nueva York: Oxford University Press. págs. 167–68. ISBN 0-19-501496-0.
20. Kline, Morris (1972). Pensamiento Matemático desde la Antigüedad hasta la Modernidad . Nueva York: Oxford University Press. págs. 167-168. ISBN 0-19-501496-0.
21. Nakane, Michiyo y Craig G. Fraser. "La historia temprana de la dinámica Hamilton-Jacobi 1834-1837". Centauro 44.3‐4 (2002): 161-227.
22. Mehra, Jagdish (1987). "Einstein, Hilbert y la teoría de la gravitación". En Mehra, Jagdish (ed.). La concepción de la naturaleza por parte del físico (Reimpresión ed.). Dordrecht: Reidel. ISBN 978-90-277-2536-3.
23. Dirac, Paul AM (1933). "El Lagrangiano en Mecánica Cuántica" (PDF) . Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 3 (1): 64–72.
24. R. Feynman, Mecánica cuántica e integrales de trayectoria, McGraw-Hill (1965), ISBN 0-07-020650-3 
25. JS Schwinger, Cinemática y dinámica cuántica, WA Benjamin (1970), ISBN 0-7382-0303-3 
26. Stöltzner, Michael (1994). "Principios de acción y teleología". En H. Atmanspacher; GJ Dalenoort (eds.). Interior versus exterior . Serie Springer en Sinergética. vol. 63. Berlín: Springer. págs. 33–62. doi :10.1007/978-3-642-48647-0_3. ISBN 978-3-642-48649-4.

Otras lecturas

Para obtener una bibliografía comentada, consulte Edwin F. Taylor, quien enumera, entre otras cosas, los siguientes libros.

• Cornelius Lanczos , Los principios variacionales de la mecánica (Dover Publications, Nueva York, 1986). ISBN 0-486-65067-7 . La referencia más citada por todos aquellos que exploran este campo. 
• LD Landau y EM Lifshitz , Mecánica, Curso de Física Teórica (Butterworth-Heinenann, 1976), 3.ª ed., vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0 . Comienza con el principio de mínima acción. 
• Thomas A. Moore "Principio de mínima acción" en la Enciclopedia de Física Macmillan (Simon & Schuster Macmillan, 1996), Volumen 2, ISBN 0-02-897359-3 , OCLC  35269891, páginas 840–842. 
• Gerald Jay Sussman y Jack Wisdom , Estructura e interpretación de la mecánica clásica (MIT Press, 2001). Comienza con el principio de acción mínima, utiliza notación matemática moderna y verifica la claridad y coherencia de los procedimientos programándolos en lenguaje informático.
• Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0 , un "esquema" completo de 350 páginas sobre el tema. 
• Robert Weinstock, Cálculo de variaciones, con aplicaciones a la física y la ingeniería (Publicaciones de Dover, 1974). ISBN 0-486-63069-2 . Un viejo pero bueno, con el formalismo cuidadosamente definido antes de su uso en física e ingeniería. 
• Wolfgang Yourgrau y Stanley Mandelstam , Principios variacionales en dinámica y teoría cuántica (Publicaciones de Dover, 1979). Un tratamiento simpático que no evita las implicaciones filosóficas de la teoría y alaba el tratamiento de Feynman de la mecánica cuántica que la reduce al principio de mínima acción en el límite de la gran masa.

enlaces externos

• Página de Edwin F. Taylor
• Explicación interactiva del principio de mínima acción.
• Subprograma interactivo para construir trayectorias utilizando el principio de mínima acción.
• Georgiev, Georgi Yordanov (2012). "Una medida cuantitativa, mecanismo y atractor de autoorganización en sistemas complejos en red". Sistemas autoorganizados . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 7166, págs. 90–5. doi :10.1007/978-3-642-28583-7_9. ISBN 978-3-642-28582-0. S2CID  377417.
• Georgiev, Georgi; Georgiev, Iskren (2002). "La mínima acción y la métrica de un sistema organizado". Sistemas abiertos y dinámica de la información . 9 (4): 371–380. arXiv : 1004.3518 . doi :10.1023/a:1021858318296. S2CID  43644348.
• Terekhovich, Vladislav (2018). "Metafísica del principio de mínima acción". Estudios de Historia y Filosofía de la Ciencia Parte B: Estudios de Historia y Filosofía de la Física Moderna . 62 : 189-201. arXiv : 1511.03429 . Código Bib : 2018SHPMP..62..189T. doi :10.1016/j.shpsb.2017.09.004. S2CID  85528641.
• Las conferencias Feynman sobre física vol. II Cap. 19: El principio de mínima acción