Teorema del elemento primitivo

En teoría de campos , el teorema del elemento primitivo establece que toda extensión de campo finito separable es simple , es decir, generada por un único elemento. Este teorema implica en particular que todos los campos de números algebraicos sobre los números racionales, y todas las extensiones en las que ambos campos son finitos, son simples.

Terminología

Sea una extensión de campo . Un elemento es un elemento primitivo para si , es decir, si cada elemento de puede escribirse como una función racional en con coeficientes en . Si existe tal elemento primitivo, entonces se denomina extensión simple . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E=F(\alpha ),}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$

Si la extensión del campo tiene un elemento primitivo y es de grado finito , entonces cada elemento puede escribirse en la forma ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n=[E:F]}$ ${\displaystyle \gamma \in E}$

${\displaystyle \gamma =a_{0}+a_{1}{\alpha }+\cdots +a_{n-1}{\alpha }^{n-1},}$

para coeficientes únicos . Es decir, el conjunto ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}\in F}$

${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,{\alpha }^{n-1}\}}$

es una base para E como un espacio vectorial sobre F . El grado n es igual al grado del polinomio irreducible de α sobre F , el único mónico de grado mínimo con α como raíz (una dependencia lineal de ). ${\displaystyle f(X)\in F[X]}$ ${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,\alpha ^{n-1},\alpha ^{n}\}}$

Si L es un cuerpo desdoblable de que contiene sus n raíces distintas , entonces hay n incrustaciones de cuerpo definidas por y para , y estas se extienden a automorfismos de L en el grupo de Galois , . De hecho, para un cuerpo de extensión con , un elemento es un elemento primitivo si y solo si tiene n conjugados distintos en algún cuerpo desdoblable . ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}:F(\alpha )\hookrightarrow L}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \sigma (a)=a}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\in \mathrm {Gal} (L/F)}$ ${\displaystyle [E:F]=n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{1}(\alpha ),\ldots ,\sigma _{n}(\alpha )}$ ${\displaystyle L\supseteq E}$

Ejemplo

Si se añaden a los números racionales los dos números irracionales y se obtiene el campo de extensión de grado 4, se puede demostrar que esta extensión es simple, es decir, para un solo . Tomando , las potencias 1, α , α ² , α ³ se pueden desarrollar como combinaciones lineales de 1, , , con coeficientes enteros. Se puede resolver este sistema de ecuaciones lineales para y sobre , para obtener y . Esto demuestra que α es, en efecto, un elemento primitivo: ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-9\alpha )}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-11\alpha )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}).}$

También se puede utilizar el siguiente argumento más general. ^[1] El campo tiene claramente cuatro automorfismos de campo definidos por y para cada elección de signos. El polinomio mínimo de debe tener , por lo que debe tener al menos cuatro raíces distintas . Por lo tanto, tiene grado al menos cuatro, y , pero este es el grado de todo el campo, , por lo que . ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}:E\to E}$ ${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {2}})=\pm {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {3}})=\pm {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}$ ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle f(\sigma _{i}(\alpha ))=\sigma _{i}(f(\alpha ))=0}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\pm {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]\geq 4}$ ${\displaystyle [E:\mathbb {Q} ]=4}$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$

Enunciado del teorema

El teorema del elemento primitivo establece:

Toda extensión de campo separable de grado finito es simple.

Este teorema se aplica a cuerpos de números algebraicos , es decir, extensiones finitas de los números racionales Q , ya que Q tiene característica 0 y, por lo tanto, toda extensión finita sobre Q es separable.

Utilizando el teorema fundamental de la teoría de Galois , el teorema anterior se deduce inmediatamente del teorema de Steinitz .

Característicapag

Para una extensión no separable de característica p , hay sin embargo un elemento primitivo siempre que el grado [ E  :  F ] sea p: de hecho, no puede haber subcuerpos intermedios no triviales ya que sus grados serían factores del primo p . ${\displaystyle E/F}$

Cuando [ E  :  F ] = p ² , puede que no haya un elemento primitivo (en cuyo caso hay infinitos cuerpos intermedios por el teorema de Steinitz ). El ejemplo más simple es , el cuerpo de funciones racionales en dos indeterminadas T y U sobre el cuerpo finito con p elementos, y . De hecho, para cualquier en , el endomorfismo de Frobenius muestra que el elemento se encuentra en F , por lo que α es una raíz de , y α no puede ser un elemento primitivo (de grado p ² sobre F ), sino que F ( α ) es un cuerpo intermedio no trivial. ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(T,U)}$ ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}(T^{p},U^{p})}$ ${\displaystyle \alpha =g(T,U)}$ ${\displaystyle E\setminus F}$ ${\displaystyle \alpha ^{p}}$ ${\displaystyle f(X)=X^{p}-\alpha ^{p}\in F[X]}$

Prueba

Supongamos primero que es infinito. Por inducción, basta con probar que cualquier extensión finita es simple. Para , supongamos que no es un elemento primitivo, . Entonces , ya que de lo contrario . Considérense los polinomios mínimos de sobre , respectivamente , y tomemos un cuerpo de descomposición que contenga todas las raíces de y de . Como , hay otra raíz , y un automorfismo de cuerpo que fija y toma . Entonces tenemos , y: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E=F(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle c\in F}$ ${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$ ${\displaystyle F(\alpha )\subsetneq F(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$ ${\displaystyle \beta =\alpha -c\gamma \in F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \beta ,\gamma }$ ${\displaystyle F(\alpha )}$ ${\displaystyle f(X),g(X)\in F(\alpha )[X]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta ,\beta ',\ldots }$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \gamma ,\gamma ',\ldots }$ ${\displaystyle g(X)}$ ${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$ ${\displaystyle \gamma '\neq \gamma }$ ${\displaystyle \sigma :L\to L}$ ${\displaystyle F(\alpha )}$ ${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$ ${\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha }$

${\displaystyle \beta +c\gamma =\sigma (\beta +c\gamma )=\sigma (\beta )+c\,\sigma (\gamma )}$, y por lo tanto . ${\displaystyle c={\frac {\sigma (\beta )-\beta }{\gamma -\sigma (\gamma )}}}$

Dado que solo hay un número finito de posibilidades para y , solo un número finito de ellas no logra dar un elemento primitivo . Todos los demás valores dan . ${\displaystyle \sigma (\beta )=\beta '}$ ${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$ ${\displaystyle c\in F}$ ${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$ ${\displaystyle F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$

Para el caso donde es finito, simplemente tomamos como una raíz primitiva del campo de extensión finito . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E}$

Historia

En su Primera Memoria de 1831, publicada en 1846, ^[2] Évariste Galois esbozó una prueba del teorema clásico del elemento primitivo en el caso de un cuerpo descomponible de un polinomio sobre los números racionales. Los huecos en su esbozo podrían llenarse fácilmente ^[3] (como señaló el árbitro Poisson ) explotando un teorema ^{[4] [5]} de Lagrange de 1771, que Galois ciertamente conocía. Es probable que Lagrange ya estuviera al tanto del teorema del elemento primitivo para cuerpos descompuestos. ^[5] Galois luego usó este teorema en gran medida en su desarrollo del grupo de Galois . Desde entonces se ha utilizado en el desarrollo de la teoría de Galois y el teorema fundamental de la teoría de Galois .

El teorema de los elementos primitivos fue demostrado en su forma moderna por Ernst Steinitz, en un influyente artículo sobre teoría de campos en 1910, que también contiene el teorema de Steinitz ; ^[6] Steinitz llamó al resultado "clásico" Teorema de los elementos primitivos y a su versión moderna Teorema de los campos intermedios .

Emil Artin reformuló la teoría de Galois en la década de 1930 sin depender de elementos primitivos. ^{[7] [8]}

Referencias

1. Lang, Serge (2002). Álgebra. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 211. Nueva York, NY: Springer New York. p. 243. doi :10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1.
2. Neumann, Peter M. (2011). Los escritos matemáticos de Évariste Galois. Zúrich: Sociedad Matemática Europea. ISBN 978-3-03719-104-0.OCLC 757486602  .
3. Tignol, Jean-Pierre (febrero de 2016). Teoría de ecuaciones algebraicas de Galois (2.ª ed.). WORLD SCIENTIFIC. pág. 231. doi :10.1142/9719. ISBN 978-981-4704-69-4.OCLC 1020698655  .
4. Tignol, Jean-Pierre (febrero de 2016). Teoría de ecuaciones algebraicas de Galois (2.ª ed.). WORLD SCIENTIFIC. pág. 135. doi :10.1142/9719. ISBN 978-981-4704-69-4.OCLC 1020698655  .
5. Cox, David A. (2012). Teoría de Galois (2ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons. pag. 322.ISBN​ 978-1-118-21845-7.OCLC 784952441  .
6. Steinitz, Ernst (1910). "Teoría algebraica del Körper". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 1910 (137): 167–309. doi :10.1515/crll.1910.137.167. ISSN  1435-5345. S2CID  120807300.
7. Kleiner, Israel (2007). "§4.1 Teoría de Galois". Una historia del álgebra abstracta . Springer. pág. 64. ISBN 978-0-8176-4685-1.
8. Artin, Emil (1998). Teoría de Galois. Arthur N. Milgram (Republicación de la edición revisada de 1944 de la primera publicación de 1942 por The University Notre Dame Press ed.). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4.OCLC 38144376  .

Enlaces externos

• Notas del curso de J. Milne sobre campos y teoría de Galois
• El teorema del elemento primitivo en mathreference.com
• El teorema del elemento primitivo en planetmath.org
• El teorema del elemento primitivo en el sitio web de Ken Brown (archivo pdf)