Teorema de Steinitz (teoría de campos)

En teoría de campos , el teorema de Steinitz establece que una extensión finita de campos es simple si y sólo si hay un número finito de campos intermedios entre y . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

Prueba

Supongamos primero que es simple, es decir para algunos . Sea cualquier campo intermedio entre y , y sea el polinomio mínimo de over . Sea la extensión de campo de generada por todos los coeficientes de . Entonces, por definición del polinomio mínimo, pero el grado de over es (como el de over ) simplemente el grado de . Por tanto, por multiplicatividad de grado, y por tanto . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L=K(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M'\subseteq M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [M:M']=1}$ ${\displaystyle M=M'}$

Pero si es el polinomio mínimo de sobre , entonces , y dado que sólo hay un número finito de divisores de , se sigue la primera dirección. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g|f}$ ${\displaystyle f}$

Por el contrario, si el número de campos intermedios entre y es finito, distinguimos dos casos: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

1. Si es finito, entonces también lo es , y cualquier raíz primitiva de generará la extensión del campo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$
2. Si es infinito, entonces cada campo intermedio entre y es un subespacio propio de y su unión no puede ser toda de . Así cualquier elemento fuera de esta unión generará . ^[1] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Historia

Este teorema fue encontrado y demostrado en 1910 por Ernst Steinitz . ^[2]

Referencias

1. Lema 9.19.1 (Elemento primitivo), El proyecto Stacks . Consultado en línea el 19 de julio de 2023.
2. Steinitz, Ernst (1910). "Teoría algebraica del Körper". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 1910 (137): 167–309. doi :10.1515/crll.1910.137.167. ISSN  1435-5345. S2CID  120807300.