En teoría de números , los primos en progresión aritmética son cualquier secuencia de al menos tres números primos que sean términos consecutivos en una progresión aritmética . Un ejemplo es la secuencia de primos (3, 7, 11), que viene dada por para .
Según el teorema de Green-Tao , existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas en la secuencia de primos. A veces, la frase también puede usarse para primos que pertenecen a una progresión aritmética que también contiene números compuestos. Por ejemplo, puede usarse para primos en una progresión aritmética de la forma , donde a y b son coprimos que, según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, contiene infinitos primos, junto con infinitos números compuestos.
Para un entero k ≥ 3, un AP- k (también llamado PAP- k ) es cualquier secuencia de k primos en progresión aritmética. Un AP- k se puede escribir como k primos de la forma a · n + b , para enteros fijos a (llamado la diferencia común) y b , y k valores enteros consecutivos de n . Un AP- k se expresa generalmente con n = 0 a k − 1. Esto siempre se puede lograr definiendo b como el primer primo en la progresión aritmética.
Toda progresión aritmética de números primos tiene una longitud finita. En 2004, Ben J. Green y Terence Tao resolvieron una vieja conjetura al demostrar el teorema de Green-Tao : los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas . [1] De ello se deduce inmediatamente que hay infinitos AP- k para cualquier k .
Si un AP- k no comienza con el primo k , entonces la diferencia común es un múltiplo del primo k # = 2·3·5·...· j , donde j es el primo más grande ≤ k .
Esto también demuestra que un AP con diferencia común a no puede contener más términos primos consecutivos que el valor del primo más pequeño que no divide a a .
Si k es primo, entonces un AP- k puede comenzar con k y tener una diferencia común que sea solo un múltiplo de ( k −1)# en lugar de k #. (De HJ Weber, ``Multipletes de números primos excepcionales y repetitivos menos regulares", arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Por ejemplo, el AP-3 con primos {3, 5, 7} y diferencia común 2# = 2, o el AP-5 con primos {5, 11, 17, 23, 29} y diferencia común 4# = 6. Se conjetura que tales ejemplos existen para todos los primos k . A partir de 2018 [actualizar], el primo más grande para el que esto se confirma es k = 19, para este AP-19 encontrado por Wojciech Iżykowski en 2013:
De conjeturas ampliamente aceptadas, como la conjetura de Dickson y algunas variantes de la conjetura de los k-tuples primos , se deduce que si p > 2 es el primo más pequeño que no divide a a , entonces hay infinitos AP-( p −1) con diferencia común a . Por ejemplo, 5 es el primo más pequeño que no divide a 6, por lo que se espera que haya infinitos AP-4 con diferencia común 6, lo que se llama un cuaternario primo sexy . Cuando a = 2, p = 3, es la conjetura de los primos gemelos , con un "AP-2" de 2 primos ( b , b + 2).
Minimizamos el último término. [3]
Para el primo q , q # denota el primorial 2·3·5·7·...· q .
A fecha de septiembre de 2019 [actualizar], el AP- k más largo conocido es un AP-27. Se conocen varios ejemplos de AP-26. El primero que se descubrió fue encontrado el 12 de abril de 2010 por Benoît Perichon en una PlayStation 3 con software de Jarosław Wróblewski y Geoff Reynolds, portado a la PlayStation 3 por Bryan Little, en un proyecto PrimeGrid distribuido: [2]
Cuando se encontró el primer AP-26, la búsqueda estaba dividida en 131.436.182 segmentos por PrimeGrid [4] y procesada por CPU de 32/64 bits, GPU Nvidia CUDA y microprocesadores Cell en todo el mundo.
Antes de eso, el récord era un AP-25 encontrado por Raanan Chermoni y Jarosław Wróblewski el 17 de mayo de 2008: [2]
La búsqueda del AP-25 se dividió en segmentos que tomaron alrededor de 3 minutos en el Athlon 64 y Wróblewski informó: "Creo que Raanan pasó por menos de 10.000.000 de esos segmentos" [5] (esto habría tomado alrededor de 57 años de CPU en el Athlon 64).
El registro anterior fue un AP-24 encontrado solo por Jarosław Wróblewski el 18 de enero de 2007:
Para ello, Wróblewski informó que utilizó un total de 75 computadoras: 15 Athlons de 64 bits, 15 Pentium D 805 de 64 bits de doble núcleo , 30 Athlons 2500 de 32 bits y 15 Durons 900. [6]
La siguiente tabla muestra el AP- k más grande conocido con el año de descubrimiento y el número de dígitos decimales en el primo final. Nótese que el AP- k más grande conocido puede ser el final de un AP-( k +1). Algunos creadores de registros eligen calcular primero un gran conjunto de primos de la forma c · p #+1 con p fijo , y luego buscan AP entre los valores de c que produjeron un primo. Esto se refleja en la expresión para algunos registros. La expresión se puede reescribir fácilmente como a · n + b .
Los números primos consecutivos en una progresión aritmética se refieren a al menos tres números primos consecutivos que son términos consecutivos en una progresión aritmética. Tenga en cuenta que, a diferencia de un AP- k , todos los demás números entre los términos de la progresión deben ser compuestos. Por ejemplo, el AP-3 {3, 7, 11} no califica, porque 5 también es un número primo.
Para un entero k ≥ 3, un CPAP- k es k primos consecutivos en progresión aritmética. Se supone que hay CPAP de longitud arbitraria. Esto implicaría una cantidad infinita de CPAP- k para todos los k . El primo del medio en un CPAP-3 se denomina primo equilibrado . El más grande conocido hasta el año 2022 [actualizar]tiene 15004 dígitos.
El primer CPAP-10 conocido fue descubierto en 1998 por Manfred Toplic en el marco del proyecto de computación distribuida CP10, organizado por Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony y Paul Zimmermann. [7] Este CPAP-10 tiene la diferencia común más pequeña posible, 7# = 210. El único otro CPAP-10 conocido hasta 2018 fue descubierto por las mismas personas en 2008.
Si existe un CPAP-11, debe tener una diferencia común que sea un múltiplo de 11# = 2310. La diferencia entre el primero y el último de los 11 primos sería, por lo tanto, un múltiplo de 23100. El requisito de al menos 23090 números compuestos entre los 11 primos hace que parezca extremadamente difícil encontrar un CPAP-11. Dubner y Zimmermann estiman que sería al menos 10 12 veces más difícil que un CPAP-10. [8]
La primera aparición de un CPAP- k sólo se conoce para k ≤ 6 (secuencia A006560 en la OEIS ).
La tabla muestra el caso más grande conocido de k primos consecutivos en progresión aritmética, para k = 3 a 10.
x d es un número de d dígitos utilizado en uno de los registros anteriores para garantizar un factor pequeño en un número inusualmente grande de los compuestos requeridos entre los primos. x106 = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791 x153 = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x 253 % 379# x 253 = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727
