Arbitrariamente grande

En matemáticas , las frases arbitrariamente grande , arbitrariamente pequeño y arbitrariamente largo se utilizan en enunciados para dejar claro el hecho de que un objeto es grande, pequeño o largo con pocas limitaciones o restricciones, respectivamente. El uso de "arbitrariamente" se da a menudo en el contexto de los números reales (y sus subconjuntos ), aunque su significado puede diferir del de "suficientemente" e "infinitamente".

Ejemplos

La declaración

" no es negativo para un valor arbitrariamente grande ". ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Es una abreviatura de:

"Para cada número real , no es negativo para algún valor mayor que ." ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

En el lenguaje común, el término "arbitrariamente largo" se utiliza a menudo en el contexto de una secuencia de números. Por ejemplo, decir que hay " progresiones aritméticas arbitrariamente largas de números primos " no significa que exista ninguna progresión aritmética infinitamente larga de números primos (no la hay), ni que exista ninguna progresión aritmética particular de números primos que sea en algún sentido "arbitrariamente larga". Más bien, la frase se utiliza para referirse al hecho de que, sin importar cuán grande sea un número, existe alguna progresión aritmética de números primos de longitud al menos . ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

De manera similar a arbitrariamente grande, también se puede definir la frase " se cumple para números reales arbitrariamente pequeños", de la siguiente manera: ^[2] ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+},\,\exists x\in \mathbb {R} :|x|<\epsilon \land P(x)}$

En otras palabras:

Por pequeño que sea un número, siempre habrá un número menor que él que se cumpla. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$

Arbitrariamente grande vs. suficientemente grande vs. infinitamente grande

Aunque son similares, "arbitrariamente grande" no es equivalente a " suficientemente grande ". Por ejemplo, si bien es cierto que los números primos pueden ser arbitrariamente grandes (ya que hay una cantidad infinita de ellos debido al teorema de Euclides ), no es cierto que todos los números suficientemente grandes sean primos.

Como otro ejemplo, la afirmación " no es negativa para un valor arbitrariamente grande ." podría reescribirse como: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {R} {\mbox{, }}\exists x\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}x>n\land f(x)\geq 0}$

Sin embargo, al utilizar " suficientemente grande ", la misma frase se convierte en:

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}\forall x\in \mathbb {R} {\mbox{, }}x>n\Rightarrow f(x)\geq 0}$

Además, "arbitrariamente grande" tampoco significa " infinitamente grande ". Por ejemplo, aunque los números primos pueden ser arbitrariamente grandes, no existe un número primo infinitamente grande, ya que todos los números primos (así como todos los demás números enteros) son finitos.

En algunos casos, frases como "la proposición es verdadera para números arbitrariamente grandes " se usan principalmente para enfatizar, como en " es verdadera para todos , sin importar cuán grande sea". En estos casos, la frase "arbitrariamente grande" no tiene el significado indicado anteriormente (es decir, "por grande que sea un número, habrá algún número mayor para el cual todavía se cumple". ^[3] ). En cambio, el uso en este caso es de hecho lógicamente sinónimo de "todos". ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$

Véase también

• Suficientemente grande
• Jerga matemática

Referencias

1. 4 Datos arbitrariamente grandes. Archivado el 22 de febrero de 2012 en Wayback Machine . Consultado el 21 de febrero de 2012.
2. "Definición:Arbitrariamente pequeño - ProofWiki". proofwiki.org . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
3. "Definición:Arbitrariamente grande - ProofWiki". proofwiki.org . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .