El enigma de la prima de las acciones se refiere a la incapacidad de una clase importante de modelos económicos para explicar la prima de riesgo promedio de las acciones ( ERP ) proporcionada por una cartera diversificada de acciones sobre la de los bonos gubernamentales , que se ha observado durante más de 100 años. Existe una disparidad significativa entre los rendimientos producidos por las acciones en comparación con los rendimientos producidos por las letras del Tesoro del gobierno. [1] El enigma de la prima de capital aborda la dificultad de comprender y explicar esta disparidad. [1] Esta disparidad se calcula utilizando la prima de riesgo de las acciones :
La prima de riesgo de las acciones es igual a la diferencia entre los rendimientos de las acciones y los rendimientos de los bonos gubernamentales. Equivale a alrededor del 5% al 8% en los Estados Unidos. [2]
La prima de riesgo representa la compensación otorgada al accionista por asumir un mayor riesgo al invertir en acciones en lugar de bonos gubernamentales. [1] Sin embargo, la prima del 5% al 8% se considera una diferencia inverosímilmente alta y el enigma de la prima de acciones se refiere a las razones inexplicables que impulsan esta disparidad. [3]
El término fue acuñado por Rajnish Mehra y Edward C. Prescott en un estudio publicado en 1985 titulado "The Equity Premium: A Puzzle". [4] Una versión anterior del artículo se publicó en 1982 con el título "Una prueba del modelo intertemporal de fijación de precios de activos". Los autores encontraron que un modelo de equilibrio general estándar, calibrado para mostrar las fluctuaciones clave del ciclo económico estadounidense, generaba una prima de capital de menos del 1% para niveles razonables de aversión al riesgo. Este resultado contrasta fuertemente con la prima accionaria promedio del 6% observada durante el período histórico.
En 1982, Robert J. Shiller publicó el primer cálculo que mostraba que se necesitaba un gran coeficiente de aversión al riesgo o una gran variabilidad del consumo contrafactual para explicar las medias y las variaciones de los rendimientos de los activos. [5] Azeredo (2014) muestra, sin embargo, que aumentar el nivel de aversión al riesgo puede producir una prima de capital negativa en una economía Arrow-Debreu construida para imitar la persistencia en el crecimiento del consumo estadounidense observada en los datos desde 1929. [6]
La noción intuitiva de que las acciones son mucho más riesgosas que los bonos no es una explicación suficiente de la observación de que la magnitud de la disparidad entre los dos rendimientos, la prima de riesgo de las acciones (ERP), es tan grande que implica un nivel inverosímilmente alto de riesgo para los inversores. aversión que es fundamentalmente incompatible con otras ramas de la economía, particularmente la macroeconomía y la economía financiera .
El proceso de cálculo de la prima de riesgo de las acciones y la selección de los datos utilizados es muy subjetivo para el estudio en cuestión, pero generalmente se acepta que está en el rango del 3% al 7% a largo plazo . Dimson y cols. calculó una prima de "alrededor del 3% al 3,5% sobre una base de media geométrica" para los mercados de valores mundiales durante 1900-2005 (2006). [7] Sin embargo, a lo largo de cualquier década, la prima muestra una gran variabilidad: desde más del 19% en la década de 1950 hasta el 0,3% en la década de 1970.
En 1997, Siegel descubrió que la desviación estándar real de la tasa de rendimiento a 20 años era sólo del 2,76%. Esto significa que para los inversores a largo plazo, el riesgo de mantener acciones por un importe inferior al esperado sólo puede derivarse observando la desviación estándar de las ganancias anuales. Para los inversores a largo plazo, los riesgos reales de los títulos de renta fija son mayores. Mediante una serie de razonamientos, la prima de capital debería ser negativa. [8]
Para cuantificar el nivel de aversión al riesgo que implicaría si estas cifras representaran el rendimiento superior esperado de las acciones sobre los bonos, los inversores preferirían una recompensa determinada de 51.300 dólares a una apuesta 50/50 que pagara 50.000 o 100.000 dólares. [9]
El enigma ha dado lugar a un extenso esfuerzo de investigación tanto en macroeconomía como en finanzas. Hasta ahora se ha presentado una serie de herramientas teóricas útiles y explicaciones numéricamente plausibles, pero los economistas no aceptan en general ninguna solución.
La economía tiene un único hogar representativo cuyas preferencias sobre las trayectorias de consumo estocásticas están dadas por:
donde es el factor de descuento subjetivo, es el consumo per cápita en el momento , U() es una función de utilidad cóncava y creciente. En la economía de Mehra y Prescott (1985), la función de utilidad pertenece a la clase de aversión relativa al riesgo constante:
donde es el parámetro de aversión relativa al riesgo constante. Cuando , la función de utilidad es la función logarítmica natural. Weil (1989) reemplazó la función de utilidad de aversión relativa al riesgo constante por las preferencias de utilidad no esperadas de Kreps-Porteus.
La función de utilidad de Kreps-Porteus tiene una elasticidad de sustitución intertemporal constante y un coeficiente constante de aversión relativa al riesgo que no es necesario que estén inversamente relacionados, una restricción impuesta por la función de utilidad de aversión relativa al riesgo constante. Las economías de Mehra y Prescott (1985) y Weil (1989) son variaciones de la economía de intercambio pura de Lucas (1978). En sus economías, la tasa de crecimiento del proceso de dotación sigue un proceso ergódico de Markov.
dónde . Este supuesto es la diferencia clave entre la economía de Mehra y Prescott y la economía de Lucas, donde el nivel del proceso de dotación sigue un proceso de Markov.
Hay una sola empresa que produce el bien de consumo perecedero. En cualquier momento dado , la producción de la empresa debe ser menor o igual a lo que es estocástico y sigue . Sólo hay una acción accionaria en poder del hogar representativo.
Resolvemos el problema de la elección intertemporal. Esto lleva a:
como ecuación fundamental.
Para calcular la rentabilidad de las acciones
dónde
da el resultado. [10]
La derivada del Lagrangiano con respecto al porcentaje de acciones poseídas debe ser igual a cero para satisfacer las condiciones necesarias para la optimización bajo los supuestos de no arbitraje y la ley del precio único .
Existen muchos datos que dicen que las acciones tienen mayores rendimientos. Por ejemplo, Jeremy Siegel dice que las acciones en Estados Unidos han tenido un rendimiento del 6,8% anual durante un período de 130 años.
Los defensores del modelo de fijación de precios de activos de capital dicen que esto se debe a la beta más alta de las acciones, y que las acciones con una beta más alta deberían rendir aún más.
Otros han criticado que el período utilizado en los datos de Siegel no es típico, o que el país no es típico.
Se han propuesto una gran cantidad de explicaciones para el enigma. Éstas incluyen:
Kocherlakota (1996), Mehra y Prescott (2003) presentan un análisis detallado de estas explicaciones en los mercados financieros y concluyen que el enigma es real y sigue sin explicación. [11] [12] Revisiones posteriores de la literatura tampoco han encontrado una solución acordada.
El misterio de las primas de las acciones ocupa un lugar especial en las teorías financieras y económicas, y se necesitan más avances para comprender la distribución de las acciones sobre los bonos. Con el tiempo, así como para determinar los factores que impulsan la prima de acciones en varios países/regiones, es posible que todavía haya una agenda de investigación activa. [13]
Azeredo (2014) demostró que las medidas de consumo tradicionales anteriores a 1930 subestiman el alcance de la correlación serial en la tasa de crecimiento real anual de Estados Unidos del consumo per cápita de bienes no duraderos y servicios ("crecimiento del consumo"). [6] Según las medidas alternativas propuestas en el estudio, la correlación serial del crecimiento del consumo resulta ser positiva. Esta nueva evidencia implica que una subclase importante de modelos dinámicos de equilibrio general estudiados por Mehra y Prescott (1985) genera primas de capital negativas para niveles razonables de aversión al riesgo, exacerbando así aún más el enigma de las primas de capital.
Una posible solución al enigma de las primas de acciones considerado por Julliard y Ghosh (2008) es si puede explicarse mediante la hipótesis de los eventos raros, fundada por Rietz (1988). [14] Plantearon la hipótesis de que acontecimientos económicos extremos como la Gran Depresión, las Guerras Mundiales y la Gran Crisis Financiera dieron lugar a que los accionistas exigieran elevadas primas de capital para tener en cuenta la posibilidad de pérdidas significativas que podrían sufrir si estos acontecimientos se materializaran. [15] Como tal, cuando estos eventos económicos extremos no ocurren, los accionistas son recompensados con mayores rendimientos. [16] Sin embargo, Julliard y Ghosh concluyeron que es poco probable que eventos raros expliquen el enigma de la prima de capital porque sus datos rechazaron el modelo de fijación de precios de activos de capital de consumo y se requerían niveles de aversión al riesgo mucho mayores para explicar el enigma de la prima de capital. [16] Además, los acontecimientos económicos extremos afectan a todos los activos (tanto acciones como bonos) y todos producen bajos rendimientos. Por ejemplo, la prima de las acciones persistió durante la Gran Depresión, y esto sugiere que se requiere un evento económico catastrófico aún mayor, y debe ser uno que solo afecte a las acciones, no a los bonos. [dieciséis]
Benartzi y Thaler (1995) sostienen que el enigma de las primas de acciones puede explicarse por una aversión miope a las pérdidas y su explicación se basa en la teoría de las perspectivas de Kahneman y Tversky. [17] Se basan en dos supuestos sobre la toma de decisiones para respaldar la teoría; Aversión a las pérdidas y contabilidad mental. [17] La aversión a las pérdidas se refiere al supuesto de que los inversores son más sensibles a las pérdidas que a las ganancias y, de hecho, las investigaciones calculan que la utilidad de las pérdidas que sienten los inversores es el doble que la utilidad de una ganancia. [17] El segundo supuesto es que los inversores frecuentemente evalúan sus acciones incluso cuando el propósito de la inversión es financiar la jubilación u otros objetivos a largo plazo. [17] Esto hace que los inversores sean más reacios al riesgo en comparación con si evaluaran sus acciones con menos frecuencia. [17] Su estudio encontró que la diferencia entre los rendimientos obtenidos de las acciones y los rendimientos obtenidos de los bonos disminuye cuando las acciones se evalúan con menos frecuencia. [17] Los dos combinados crean una aversión miope a las pérdidas y Benartzi & Thaler concluyeron que el rompecabezas de la prima de capital puede explicarse mediante esta teoría. [17]
Algunas explicaciones se basan en suposiciones sobre el comportamiento y las preferencias individuales diferentes de las formuladas por Mehra y Prescott. Los ejemplos incluyen el modelo de teoría prospectiva de Benartzi y Thaler (1995) basado en la aversión a las pérdidas . [18] Un problema para este modelo es la falta de un modelo general de elección de cartera y valoración de activos para la teoría de perspectivas .
Una segunda clase de explicaciones se basa en la relajación de los supuestos de optimización del modelo estándar. El modelo estándar representa a los consumidores como maximizadores de utilidad esperada dinámicamente consistentes y que optimizan continuamente. Estos supuestos proporcionan un vínculo estrecho entre las actitudes hacia el riesgo y las actitudes hacia las variaciones en el consumo intertemporal , lo cual es crucial para deducir el rompecabezas de las primas de acciones. Las soluciones de este tipo funcionan debilitando el supuesto de optimización continua, por ejemplo, suponiendo que los consumidores adoptan reglas satisfactorias en lugar de optimizar. Un ejemplo es la teoría de la decisión de la brecha de información , [19] basada en un tratamiento no probabilístico de la incertidumbre, que conduce a la adopción de un enfoque robusto y satisfactorio para la asignación de activos.
Otra explicación del enigma de la prima de capital se centra en las características de las acciones que no pueden ser capturadas por los modelos típicos pero que aún son consistentes con la optimización por parte de los inversionistas.
La característica más importante que normalmente no se considera es el requisito de que los accionistas supervisen su actividad y cuenten con un administrador que los ayude. Por lo tanto, la relación principal-agente prevalece entre los administradores de las corporaciones y los accionistas. Si un inversor decidiera no tener un administrador, probablemente le resulte costoso monitorear la actividad de las corporaciones en las que invierte y, a menudo, depende en gran medida de los auditores o recurre a la hipótesis del mercado en la que la información sobre los valores de los activos en el Los mercados de valores están expuestos. Esta hipótesis se basa en la teoría de que un inversor sin experiencia y desinformado puede contar con el hecho de que obtendrá rendimientos medios del mercado en una cartera de mercado identificable, lo que es cuestionable en cuanto a si esto puede ser hecho o no por un inversor desinformado. Aunque, según las características del capital para explicar la prima, sólo es necesario plantear la hipótesis de que las personas que buscan invertir no creen que puedan alcanzar el mismo nivel de desempeño del mercado. [20]
Otra explicación relacionada con las características de la equidad fue explorada por una variedad de estudios, incluidos Holmstrom y Tirole (1998), [21] Bansal y Coleman (1996) [22] y Palomino (1996), y estaba en relación con la liquidez. [23] Palomino describió el modelo de comerciante de ruido que era delgado y tenía competencia imperfecta en el mercado de acciones y cuanto más bajo cayera su precio de equilibrio, mayor aumentaría la prima sobre los bonos libres de riesgo. [23] Holmstrom y Tirole en sus estudios desarrollaron otro papel para la liquidez en el mercado de valores que involucraba a empresas dispuestas a pagar una prima por los bonos sobre los derechos privados cuando enfrentarían incertidumbre sobre las necesidades de liquidez. [21]
McGrattan y Prescott (2001) [24] argumentaron que otra explicación relacionada con la creciente prima de capital observada era el resultado de variaciones en el tiempo de los impuestos y, en particular, de su efecto sobre los ingresos por intereses y dividendos. Sin embargo, es difícil dar credibilidad a este análisis debido a las dificultades en la calibración utilizada, así como a la ambigüedad en torno a la existencia de cualquier prima de acciones notable antes de 1945. [25] Aun así, es evidente que la observación de que los cambios en las primas de acciones que surgen La distorsión de los impuestos en el tiempo debería tenerse en cuenta y dar más validez a la propia prima de capital.
Los datos relacionados se mencionan en el Manual de la prima de riesgo de acciones. A partir de 1919, captó la recuperación posterior a la Primera Guerra Mundial, al tiempo que omitió las pérdidas durante la guerra y los bajos retornos previos a la guerra. Después de sumar estos años anteriores, el promedio aritmético de la prima de las acciones británicas para todo el siglo XX es del 6,6%, aproximadamente un 21/4% menos que los datos incorrectos inferidos del período 1919-1999. [26]
Graham y Harvey han estimado que, para Estados Unidos, la prima promedio esperada durante el período de junio de 2000 a noviembre de 2006 osciló entre 4,65 y 2,50. [27] Encontraron una correlación modesta de 0,62 entre la prima de acciones a 10 años y una medida de volatilidad implícita (en este caso VIX , el Índice de Volatilidad de la Bolsa de Opciones de la Junta de Chicago ).
Dennis, Mayhew y Stivers (2006) [28] encuentran que los cambios en la volatilidad implícita tienen un efecto asimétrico sobre los rendimientos de las acciones. Descubrieron que los cambios negativos en la volatilidad implícita tienen un impacto más fuerte en los rendimientos de las acciones que los cambios positivos en la volatilidad implícita. Los autores sostienen que ese efecto de volatilidad asimétrica puede explicarse por el hecho de que los inversores están más preocupados por el riesgo de caída que por el potencial de subida. Es decir, es más probable que los inversores reaccionen ante noticias negativas y esperen que los cambios negativos en la volatilidad implícita tengan un impacto más fuerte en los rendimientos de las acciones. Los autores también encuentran que los cambios en la volatilidad implícita pueden predecir los rendimientos futuros de las acciones. Las acciones que experimentan cambios negativos en la volatilidad implícita tienen rendimientos esperados más altos en el futuro. Los autores afirman que esta relación es causada por la asociación entre cambios negativos en la volatilidad implícita y caídas del mercado.
Yan (2011) [29] presenta una explicación del enigma de la prima de acciones utilizando la pendiente de la sonrisa de volatilidad implícita. La sonrisa de la volatilidad implícita se refiere al patrón de volatilidades implícitas de los contratos de opciones con la misma fecha de vencimiento pero diferentes precios de ejercicio. La pendiente de la sonrisa de volatilidad implícita refleja las expectativas del mercado sobre cambios futuros en el precio de las acciones, y una pendiente más pronunciada indica una mayor volatilidad esperada. El autor muestra que la pendiente de la sonrisa de volatilidad implícita es un predictor significativo de los rendimientos de las acciones, incluso después de controlar los factores de riesgo tradicionales. Específicamente, las acciones con volatilidad implícita más pronunciada (es decir, mayor riesgo de salto) tienen rendimientos esperados más altos, en consonancia con el enigma de las primas de acciones. El autor sostiene que esta relación entre la pendiente de la sonrisa de volatilidad implícita y los rendimientos de las acciones puede explicarse por la preferencia de los inversores por el riesgo de salto. El riesgo de salto se refiere al riesgo de movimientos grandes y repentinos en el precio de las acciones, que no son completamente capturados por las medidas tradicionales de volatilidad. Yan sostiene que los inversores están dispuestos a aceptar rendimientos promedio más bajos en acciones que tienen un mayor riesgo de salto, porque esperan ser compensados con rendimientos más altos en momentos de tensión en el mercado.
La interpretación científica más simple del rompecabezas sugiere que la optimización del consumo no es responsable de la prima de capital. Más precisamente, la serie temporal del consumo agregado no es un factor explicativo importante de la prima de las acciones. [30]
El cerebro humano participa (simultáneamente) en muchas estrategias. Cada una de estas estrategias tiene un objetivo. Si bien son individualmente racionales, las estrategias están en constante competencia por recursos limitados. Incluso dentro de una sola persona, esta competencia produce un comportamiento sumamente complejo que no se ajusta a ningún modelo simple. [31]
Sin embargo, las estrategias individuales pueden entenderse. En finanzas esto equivale a entender los diferentes productos financieros como derivados de información, es decir, como productos que se derivan de toda la información relevante disponible para el cliente. Si se desconocen los valores numéricos de la prima de capital, el examen racional del producto de capital habría predicho con precisión los valores aproximados observados. [30] [31]
Desde el punto de vista de los derivados de la información, la optimización del consumo es sólo un objetivo posible (que nunca aparece en la práctica en su forma puramente académica). Para un economista con formación clásica, esto puede parecer una pérdida de un principio fundamental. Pero también puede ser una conexión muy necesaria con la realidad (captar el comportamiento real de los inversores reales). Ver las acciones como un producto independiente (derivado de información) no las aísla del panorama económico más amplio. Las inversiones en acciones sobreviven en competencia con otras estrategias. La popularidad de las acciones como estrategia de inversión exige una explicación. En términos de datos, esto significa que el enfoque de los derivados de información debe explicar no sólo el desempeño obtenido de las acciones sino también las primas de las acciones esperadas por los inversionistas. Los datos sugieren que las inversiones en acciones a largo plazo han cumplido muy bien las expectativas teóricas. [30] Esto explica la viabilidad de la estrategia además de su rendimiento (es decir, además de la prima de capital). [30] [31]
Se han considerado dos clases amplias de fallas del mercado como explicaciones de la prima de acciones.
Primero, los problemas de selección adversa y riesgo moral pueden resultar de la ausencia de mercados en los que los individuos puedan asegurarse contra el riesgo sistemático en el ingreso laboral y las ganancias no corporativas.
En segundo lugar, los costos de transacción o las restricciones de liquidez pueden impedir que las personas moderen el consumo con el tiempo . En relación con los costos de transacción, existen costos significativamente mayores asociados con la negociación de acciones que con la negociación de bonos. [32] Estos incluyen los costos de adquisición de información, los honorarios de los corredores, los impuestos, los honorarios de carga y el diferencial entre oferta y demanda. [33] Como tal, cuando los accionistas intentan capitalizar la prima de capital ajustando su asignación de activos y comprando más acciones, incurren en costos comerciales significativos que eliminan las ganancias de la prima de capital. [33] Sin embargo, Kocherlakota (1996) sostiene que no hay pruebas suficientes para respaldar esta proposición y que es necesario recopilar más datos sobre el tamaño y las fuentes de los costos comerciales antes de que esta proposición pueda ser validada. [33]
Una última explicación posible es que no hay ningún enigma que explicar: que no hay prima de capital. [ cita necesaria ] Esto se puede argumentar de varias maneras, todas ellas formas diferentes del argumento de que no tenemos suficiente poder estadístico para distinguir la prima de capital de cero:
Una crítica relacionada es que la aparente prima de las acciones es un artefacto de la observación de burbujas en el mercado de valores en curso.
Sin embargo, cabe señalar que la mayoría de los economistas convencionales coinciden en que la evidencia muestra un poder estadístico sustancial. Benartzi & Thaler analizaron los rendimientos de las acciones durante un período de 200 años, entre 1802 y 1990, y descubrieron que, si bien los rendimientos de las acciones se mantuvieron estables entre el 5,5% y el 6,5%, el rendimiento de los bonos gubernamentales cayó significativamente de alrededor del 5% al 0,5%. [36] Además, el análisis de cómo los miembros del profesorado financiaron su jubilación mostró que las personas que habían invertido en acciones recibieron rendimientos mucho más altos que las personas que habían invertido en bonos gubernamentales. [17]
Implicaciones para el inversor individual
Para el inversor individual, la prima de capital puede representar una recompensa razonable por asumir el riesgo de comprar acciones de modo que basen sus decisiones de asignar activos a acciones o bonos en función de su tolerancia o aversión al riesgo. [34] Por otro lado, si el inversor cree que la prima de capital surge de errores y temores, capitalizaría ese miedo y error e invertiría porciones considerables de sus activos en acciones. Aquí es prudente señalar que los economistas suelen asignar porciones importantes de sus activos a acciones. [34]
Actualmente, la prima de capital se estima en 3%. Aunque es más bajo que las tasas históricas, sigue siendo significativamente más ventajoso que los bonos para los inversores que invierten en sus fondos de jubilación y otros fondos a largo plazo. [34]
La magnitud de la prima de las acciones tiene implicaciones sustanciales para las políticas, el bienestar y también la asignación de recursos.
Implicaciones para las políticas y el bienestar
Campbell y Cochrane (1995) encontraron en un estudio de un modelo que simula el valor de las primas de acciones consistentes con los precios de los activos, que los costos de bienestar son similares en magnitud a los beneficios de bienestar. [37] Por lo tanto, esencialmente, una prima de riesgo grande en una sociedad donde los precios de los activos son un reflejo de las preferencias de los consumidores, implica que el costo del bienestar también es grande. También significa que en las recesiones los costos de bienestar son excesivos independientemente del consumo agregado. A medida que aumenta la prima de las acciones, los valores marginales del ingreso de los estados en recesión aumentan constantemente y, por lo tanto, aumentan aún más los costos de bienestar de las recesiones. Esto también plantea interrogantes sobre la necesidad de políticas microeconómicas que operen a través de una mayor productividad en el largo plazo compensando el dolor a corto plazo en forma de costos de ajuste. Dado el impacto sobre el bienestar causado por las recesiones y la gran prima de las acciones, es evidente que estas compensaciones a corto plazo como resultado de la política económica probablemente no sean ideales y sería preferible que tuvieran lugar en tiempos de actividad económica normal. [20]
Asignación de recursos
Cuando hay una gran prima de riesgo asociada con el capital, hay un alto costo de riesgo sistemático en los rendimientos. Una de ellas son sus posibles implicaciones en las decisiones de cartera individuales. Algunas investigaciones han argumentado que las altas tasas de rendimiento son sólo señales de una aversión al riesgo injustificada en la que los inversores pueden obtener altos rendimientos con poco riesgo al cambiar de acciones a otros activos como los bonos. [20] Por el contrario, las investigaciones indican que un gran porcentaje del público en general cree que el mercado de valores es mejor para los inversores que están en él a largo plazo [38] y también puede vincularse a otra implicación que son las tendencias en la prima de las acciones. Se han hecho algunas afirmaciones de que la prima de las acciones ha disminuido con el tiempo en los últimos años [39] y pueden estar respaldadas por otros estudios que afirman que las disminuciones de impuestos también pueden seguir reduciendo la prima [40] y el hecho de que los costos de transacción en valores los mercados caen, esto es consistente con una prima decreciente. [20] La implicación de la tendencia también está respaldada por modelos como los 'comerciantes de ruido' que crean una prima cíclica debido a que los comerciantes de ruido son excesivamente optimistas, lo que reduce la prima, y viceversa, cuando el optimismo se reemplaza por pesimismo, esto explicaría la constante Disminución de la prima de las acciones como una burbuja en el precio de las acciones. [20]
![{\displaystyle E_{0}\left[\sum _ {t=0}^{\infty }\beta ^{t}U(c_{t})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d212425747e0730cdb90df87bea04a1e2b18af2c)
![{\displaystyle U_{t}=\left[c_{t}^{1-\rho }+\beta (E_{t}U_{t+1}^{1-\alpha })^{(1-\ rho )/(1-\alpha )}\right]^{1/(1-\rho )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9b2f77a631a24d07681ce69905ef982817e98b)
![{\displaystyle P\left[x_{t+1}=\lambda _{j}|x_{t}=\lambda _{i}\right]=\phi _{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09798eb461345a7a5fd54d3cca2505b7ea8be0aa)
![{\displaystyle p_{t}U'(c_{t})=\beta E_{t}[(p_{t+1}+y_{t+1})U'(c_{t+1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31563e3fe484c22541a2ed2dec064d6f46561dd)
![{\displaystyle 1=\beta E_{t}\left[{\frac {U'(c_{t+1})}{U'(c_{t})}}R_{e,t+1}\right ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f735c975cfd5a35716ab16238697c61205e1e7)
