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Poder simbólico de un ideal

En álgebra y geometría algebraica , dado un anillo noetheriano conmutativo y un ideal en él, la n -ésima potencia simbólica de es el ideal

donde es la localización de en , establecemos el mapa canónico de un anillo a su localización, y la intersección pasa por todos los primos asociados de .

Aunque esta definición no requiere ser primo , a menudo se trabaja con esta suposición porque en el caso de un ideal primo , la potencia simbólica se puede definir de manera equivalente como el componente primario de . De manera muy general, consiste en funciones con ceros de orden n a lo largo de la variedad definida por . Tenemos: y si es un ideal maximal , entonces .

Los poderes simbólicos inducen la siguiente cadena de ideales:

Usos

El estudio y uso de potencias simbólicas tiene una larga historia en el álgebra conmutativa . La famosa prueba de Krull de su teorema del ideal principal las utiliza de manera esencial. Surgieron por primera vez después de que se probaran las descomposiciones primarias para los anillos noetherianos . Zariski utilizó potencias simbólicas en su estudio de la normalidad analítica de las variedades algebraicas . El famoso lema de Chevalley que compara topologías establece que en un dominio local completo la topología de potencias simbólicas de cualquier primo es más fina que la topología m -ádica . Un paso crucial en el teorema de desaparición sobre cohomología local de Hartshorne y Lichtenbaum utiliza que para un primo que define una curva en un dominio local completo , las potencias de son cofinales con las potencias simbólicas de . Esta importante propiedad de ser cofinal fue desarrollada más a fondo por Schenzel en la década de 1970. [1]

En geometría algebraica

Aunque los generadores de potencias ordinarias de se entienden bien cuando se da en términos de sus generadores como , sigue siendo muy difícil en muchos casos determinar los generadores de potencias simbólicas de . Pero en el contexto geométrico , hay una interpretación geométrica clara en el caso cuando es un ideal radical sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero .

Si es una variedad irreducible cuyo ideal de anulación es , entonces la potencia diferencial de consiste en todas las funciones en que se anulan hasta el orden ≥ n en , es decir

O equivalentemente, si es el ideal máximo para un punto , .

Teorema (Nagata, Zariski) [2] Sea un ideal primo en un anillo de polinomios sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces

Este resultado se puede extender a cualquier ideal radical . [3] Esta formulación es muy útil porque, en característica cero , podemos calcular las potencias diferenciales en términos de generadores como:

Para otra formulación, podemos considerar el caso en el que el anillo base es un anillo polinomial sobre un cuerpo . En este caso, podemos interpretar la n -ésima potencia simbólica como el haz de todos los gérmenes de función sobre De hecho, si es una variedad suave sobre un cuerpo perfecto , entonces

[1]

Contenciones

Es natural considerar si los poderes simbólicos concuerdan o no con los poderes ordinarios, es decir, ¿se cumple? En general, este no es el caso. Un ejemplo de esto es el ideal primo . Aquí tenemos que . [1] Sin embargo, se cumple y la generalización de esta inclusión se entiende bien. De hecho, la contención se sigue de la definición. Además, se sabe que si y solo si . La prueba se sigue del lema de Nakayama . [4]

Se ha estudiado extensamente el otro tipo de contención, cuando los poderes simbólicos están contenidos en los poderes ordinarios de los ideales, conocido como el problema de la contención. Una vez más, este problema tiene una respuesta fácil de formular que se resume en el siguiente teorema. Fue desarrollado por Ein, Lazarfeld y Smith en la característica cero [5] y fue ampliado a la característica positiva por Hochster y Huneke [6] . Ambos artículos se basan en los resultados de Irena Swanson en Equivalencia lineal de topologías ideales (2000). [7]

Teorema (Ein, Lazarfeld, Smith; Hochster, Huneke) Sea un ideal homogéneo . Entonces la inclusión

válido para todos

Más tarde se verificó que el límite del teorema no se puede ajustar para ideales generales. [8] Sin embargo, a raíz de una pregunta planteada [8] por Bocci, Harbourne y Huneke, se descubrió que existe un límite mejor en algunos casos.

Teorema La inclusión para todos se cumple

  1. para ideales arbitrarios en la característica 2; [9]
  2. para ideales monomiales en característica arbitraria [4]
  3. para ideales de estrellas d [8]
  4. para ideales de puntos generales en [10] [11]

Referencias

De izquierda a derecha: Brian Harbourne, Sandra Di Rocco , Tomasz Szemberg  [pl] y Thomas Bauer en el minitaller de la MFO Serie lineal sobre variedades algebraicas , 2010
  1. ^ abc Dao, Hailong; De Stefani, Alessandro; Grifo, Eloísa; Huneke, Craig; Núñez-Betancourt, Luis (09-08-2017). "Poderes simbólicos de los ideales". arXiv : 1708.03010 [matemáticas.AC].
  2. ^ David Eisenbud. Álgebra conmutativa: con vistas a la geometría algebraica, volumen 150. Springer Science & Business Media, 2013.
  3. ^ Sidman, Jessica; Sullivant, Seth (2006). "Prolongaciones y álgebra computacional". arXiv : math/0611696 .
  4. ^ ab Bauer, Thomas; Di Rocco, Sandra ; Harbourne, Brian; Kapustka, Michał; Knutsen, Andreas; Syzdek, Wioletta; Szemberg, Tomasz (2009). "Introducción a las constantes de Seshadri". En Bates, Daniel J.; Besana, GianMario; Di Rocco, Sandra; Wampler, Charles W. (eds.). Interacciones de geometría algebraica numérica y clásica: artículos de la conferencia en honor a Andrew Sommese celebrada en la Universidad de Notre Dame, Notre Dame, IN, del 22 al 24 de mayo de 2008 . Matemáticas Contemporáneas. vol. 496. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 33–70. arXiv : 0810.0728 . doi :10.1090/conm/496/09718. Señor  2555949.
  5. ^ Lawrence Ein, Robert Lazarsfeld y Karen E Smith. Límites uniformes y potencias simbólicas en variedades suaves. Inventiones mathematicae, 144(2):241–252, 2001
  6. ^ Melvin Hochster y Craig Huneke. Comparación de los poderes simbólicos y ordinarios de los ideales. Inventiones mathematicae, 147(2):349–369, 2002.
  7. ^ Irena Swanson . Equivalencia lineal de topologías ideales. Mathematische Zeitschrift, 234(4):755–775, 2000
  8. ^ abc Bocci, Cristiano; Harbourne, Brian (2007). "Comparación de poderes y poderes simbólicos de ideales". arXiv : 0706.3707 [math.AG].
  9. ^ Tomasz Szemberg y Justyna Szpond. Sobre el problema de la contención. Rediconti del Circolo Matematico di Palermo Serie 2, páginas 1–13, 2016.
  10. ^ Marcin Dumnicki. Contenciones de poderes simbólicos de ideales de puntos genéricos en P 3 . Actas de la American Mathematical Society, 143(2):513–530, 2015.
  11. ^ Harbourne, Brian; Huneke, Craig (2011). "¿Son los poderes simbólicos altamente evolucionados?". arXiv : 1103.5809 [math.AC].

Enlaces externos