Ideal monomio

En álgebra abstracta , un ideal monomial es un ideal generado por monomios en un anillo polinomial multivariado sobre un campo .

Un ideal tórico es un ideal generado por diferencias de monomios (siempre que el ideal sea primo ). Una variedad algebraica afín o proyectiva definida por un ideal tórico o un ideal tórico homogéneo es una variedad tórica afín o proyectiva , posiblemente no normal .

Definiciones y propiedades

Sea un campo y sea el anillo polinomial sobre con n indeterminados . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle R=\mathbb {K} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x=x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}}$

Un monomio en es un producto de una n -tupla de números enteros no negativos . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$

Las tres condiciones siguientes son equivalentes para un ideal : ${\displaystyle I\subseteq R}$

1. ${\displaystyle I}$se genera por monomios,
2. Si , entonces , siempre que sea distinto de cero. ${\textstyle f=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }x^{\alpha }\in I}$ ${\displaystyle x^{\alpha }\in I}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$
3. ${\displaystyle I}$es toro fijo , es decir, dado , entonces es fijo bajo la acción para todo . ${\displaystyle (c_{1},c_{2},\dotsc ,c_{n})\in (\mathbb {K} ^{*})^{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f(x_{i})=c_{i}x_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Decimos que es un ideal monomial si satisface alguna de estas condiciones equivalentes. ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {K} [x]}$

Dado un ideal monomial , es en si y sólo si cada término ideal monomial de es un múltiplo de uno de . ^[1] ${\displaystyle I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m_{j}}$

Demostración: Supongamos que y que está en . Entonces , para algún . ${\displaystyle I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f=f_{1}m_{1}+f_{2}m_{2}+\dotsm +f_{k}m_{k}}$ ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$

Para todos los , podemos expresar cada uno como la suma de monomios, de modo que se puede escribir como una suma de múltiplos de los . Por lo tanto, será una suma de múltiplos de términos monomiales para al menos uno de los . ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant k}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Por el contrario , sea y sea cada término monomial en un múltiplo de uno de los en . Entonces cada término monomial en puede factorizarse a partir de cada monomial en . Por lo tanto, tiene la forma para algunos , como resultado . ${\displaystyle I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=c_{1}m_{1}+c_{2}m_{2}+\dotsm +c_{k}m_{k}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle f\in I}$

A continuación se ilustra un ejemplo de ideales monomiales y polinomiales.

Sea entonces el polinomio en I , ya que cada término es múltiplo de un elemento en J , es decir, pueden reescribirse como y ambos en I . Sin embargo, si , entonces este polinomio no está en J , ya que sus términos no son múltiplos de elementos en J . ${\displaystyle I=(xyz,y^{2})}$ ${\displaystyle x^{2}yz+3xy^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}yz=x(xyz)}$ ${\displaystyle 3xy^{2}=3x(y^{2}),}$ ${\displaystyle J=(xz^{2},y^{2})}$ ${\displaystyle x^{2}yz+3xy^{2}}$

Ideales monomiales y diagramas de Young

Los ideales monomiales bivariados pueden interpretarse como diagramas de Young .

Sea un ideal monomial en donde es un cuerpo . El ideal tiene un conjunto generador mínimo único de de la forma , donde y . Los monomios en son aquellos monomios tales que existe tal y ^[2] Si un monomio está representado por el punto en el plano, la figura formada por los monomios en a menudo se llama escalera de debido a su forma. En esta figura, los generadores mínimos forman las esquinas internas de un diagrama de Young. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subset k[x,y],}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{x^{a_{1}}y^{b_{1}},x^{a_{2}}y^{b_{2}},\ldots ,x^{a_{k}}y^{b_{k}}\}}$ ${\displaystyle a_{1}>a_{2}>\dotsm >a_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle b_{k}>\dotsm >b_{2}>b_{1}\geq 0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x^{a}y^{b}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}\leq a}$ ${\displaystyle b_{i}\leq b.}$ ${\displaystyle x^{a}y^{b}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I,}$

Los monomios que no están en se encuentran debajo de la escalera y forman una base de espacio vectorial del anillo de cocientes . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle k[x,y]/I}$

Por ejemplo, considere el ideal monomial El conjunto de puntos de la cuadrícula corresponde a los generadores monomiales mínimos Entonces, como muestra la figura, el diagrama de Young rosa consta de los monomios que no están en . Los puntos en las esquinas internas del diagrama de Young nos permiten identificar los monomios mínimos en como se ve en los cuadros verdes. Por lo tanto, . ${\displaystyle I=(x^{3},x^{2}y,y^{3})\subset k[x,y].}$ ${\displaystyle S={\{(3,0),(2,1),(0,3)}\}}$ ${\displaystyle x^{3}y^{0},x^{2}y^{1},x^{0}y^{3}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x^{0}y^{3},x^{2}y^{1},x^{3}y^{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=(y^{3},x^{2}y,x^{3})}$

Un diagrama de Young y su conexión con su ideal monomial.

En general, a cualquier conjunto de puntos de la cuadrícula, podemos asociar un diagrama de Young, de modo que el ideal monomial se construye determinando los vértices internos que forman el diagrama de escalera; de igual modo, dado un ideal monomial, podemos formar el diagrama de Young observando los y representándolos como los vértices internos del diagrama de Young. Las coordenadas de los vértices internos representarían las potencias de los monomios mínimos en . Así, los ideales monomiales pueden describirse mediante diagramas de Young de particiones. ${\displaystyle (a_{i},b_{j})}$ ${\displaystyle I}$

Además, la -acción sobre el conjunto de tal que como un espacio vectorial sobre tiene puntos fijos correspondientes únicamente a ideales monomiales, que corresponden a particiones enteras de tamaño n , que se identifican mediante diagramas de Young con n cajas. ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{2}}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [x,y]/I=n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ordenamientos monomiales y bases de Gröbner

Un ordenamiento monomial es un buen ordenamiento en el conjunto de monomios tal que si son monomios, entonces . ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle a,m_{1},m_{2}}$ ${\displaystyle am_{1}\geq am_{2}}$

Por el orden monomial , podemos enunciar las siguientes definiciones para un polinomio en . ${\displaystyle \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$

Definición ^[1]

1. Consideremos un ideal y un orden monomial fijo. El término principal de un polinomio distinto de cero , denotado por es el término monomial de orden máximo en y el término principal de es . ${\displaystyle I\subset \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle LT(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle 0}$
2. El ideal de los términos principales , denotado por , es el ideal generado por los términos principales de cada elemento del ideal, es decir, . ${\displaystyle LT(I)}$ ${\displaystyle LT(I)=(LT(f)\mid f\in I)}$
3. Una base de Gröbner para un ideal es un conjunto finito de generadores para cuyos términos principales generan el ideal de todos los términos principales en , es decir, y . ${\displaystyle I\subset \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\{g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s}}\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=(g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s})}$ ${\displaystyle LT(I)=(LT(g_{1}),LT(g_{2}),\dotsc ,LT(g_{s}))}$

Nótese que en general depende del orden utilizado; por ejemplo, si elegimos el orden lexicográfico sobre el tema x > y , entonces , pero si tomamos y > x entonces . ${\displaystyle LT(I)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$ ${\displaystyle LT(2x^{3}y+9xy^{5}+19)=2x^{3}y}$ ${\displaystyle LT(2x^{3}y+9xy^{5}+19)=9xy^{5}}$

Además, se presentan monomios en la base de Gröbner y se define el algoritmo de división para polinomios en varios indeterminados.

Nótese que para un ideal monomial , el conjunto finito de generadores es una base de Gröbner para . Para ver esto, note que cualquier polinomio puede expresarse como para . Entonces el término principal de es un múltiplo para algún . Como resultado, es generado por el igualmente. ${\displaystyle I=(g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s})\in \mathbb {F} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\{g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s}}\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f\in I}$ ${\displaystyle f=a_{1}g_{1}+a_{2}g_{2}+\dotsm +a_{s}g_{s}}$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {F} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle LT(I)}$ ${\displaystyle g_{i}}$

Véase también

• Anillo Stanley-Reisner
• Álgebra de Hodge

Notas al pie

1. Dummit y Foote 2004
2. Miller y Sturmfels 2005

Referencias

• Molinero, Esdras; Sturmfels, Bernd (2005), Álgebra conmutativa combinatoria , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 227, Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-22356-8
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (tercera edición), Nueva York : John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7

Lectura adicional

• Cox, David . "Conferencias sobre variedades tóricas" (PDF) . Conferencia 3. §4 y §5.
• Sturmfels, Bernd (1996). Bases de Gröbner y politopos convexos . Providence, RI: American Mathematical Society .
• Taylor, Diana Kahn (1966). Ideales generados por monomios en una secuencia R (tesis doctoral). Universidad de Chicago. MR  2611561. ProQuest  302227382.
• Teissier, Bernard (2004). Ideales monomiales, ideales binomiales, ideales polinomiales (PDF) .