Acción del toro

En geometría algebraica, una acción de un toro sobre una variedad algebraica es una acción de grupo de un toro algebraico sobre la variedad. Una variedad dotada de una acción de un toro T se denomina T -variedad . En geometría diferencial, se considera una acción de un toro real o complejo sobre una variedad (o un orbifold ).

Una variedad algebraica normal con un toro que actúa sobre ella de tal manera que existe una órbita densa se denomina variedad tórica (por ejemplo, los cierres de órbitas que son normales son variedades tóricas).

Acción lineal de un toro

Una acción lineal de un toro se puede diagonalizar simultáneamente, después de extender el campo base si es necesario: si un toro T está actuando sobre un espacio vectorial de dimensión finita V , entonces hay una descomposición de suma directa:

${\displaystyle V=\bigoplus _{\chi }V_{\chi }}$

dónde

• ${\displaystyle \chi :T\to \mathbb {G} _{m}}$es un homomorfismo de grupo, un carácter de T .
• ${\displaystyle V_{\chi }=\{v\in V|t\cdot v=\chi (t)v\}}$, subespacio T -invariante llamado subespacio de peso . ${\displaystyle \chi }$

La descomposición existe porque la acción lineal determina (y es determinada por) una representación lineal y luego consiste en conmutar transformaciones lineales diagonalizables , al extender el campo base. ${\displaystyle \pi :T\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \pi (T)}$

Si V no tiene dimensión finita, la existencia de dicha descomposición es complicada, pero un caso fácil en el que la descomposición es posible es cuando V es una unión de representaciones de dimensión finita ( se llama racional ; vea un ejemplo a continuación). Alternativamente, se utiliza el análisis funcional ; por ejemplo, se utiliza una suma directa del espacio de Hilbert. ${\displaystyle \pi }$

Ejemplo : Sea un anillo de polinomios sobre un cuerpo infinito k . Actúe sobre él como automorfismos algebraicos por: para ${\displaystyle S=k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle T=\mathbb {G} _{m}^{r}}$ ${\displaystyle t=(t_{1},\dots ,t_{r})\in T}$

${\displaystyle t\cdot x_{i}=\chi _{i}(t)x_{i}}$

dónde

${\displaystyle \chi _{i}(t)=t_{1}^{\alpha _{i,1}}\dots t_{r}^{\alpha _{i,r}},}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$= números enteros.

Entonces cada uno es un vector de peso T y, por lo tanto, un monomio es un vector de peso T de peso . Por lo tanto, ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{0}^{m_{0}}\dots x_{r}^{m_{r}}}$ ${\displaystyle \sum m_{i}\chi _{i}}$

${\displaystyle S=\bigoplus _{m_{0},\dots m_{n}\geq 0}S_{m_{0}\chi _{0}+\dots +m_{n}\chi _{n}}.}$

Nótese que para todo i , entonces esta es la descomposición usual del anillo polinomial en componentes homogéneos. ${\displaystyle \chi _{i}(t)=t}$

Descomposición de Bialynicki-Birula

La descomposición de Białynicki-Birula dice que una T -variedad algebraica proyectiva suave admite una T - descomposición celular estable .

A menudo se describe como teoría algebraica de Morse . ^[1]

Véase también

• Teorema de Sumihiro
• Variedad GKM
• Cohomología equivariante
• ideal monomio

Referencias

1. "Konrad Voelkel » Białynicki-Birula y descomposiciones motívicas «".

• Altmann, Klaus; Ilten, Nathan Owen; Petersen, Lars; Süß, Hendrik; Vollmert, Robert (15 de agosto de 2012). La geometría de las variedades T. arXiv : 1102.5760 . doi :10.4171/114. ISBN 978-3-03719-114-9.
• A. Bialynicki-Birula, "Algunos teoremas sobre acciones de grupos algebraicos", Anales de Matemáticas, Segunda serie, vol. 98, núm. 3 (noviembre de 1973), págs. 480-497
• M. Brion, C. Procesi, Action d'un tore dans une variété proyectivo, en Álgebras de operadores, representaciones unitarias y teoría invariante (París 1989), Prog. en Matemáticas. 92 (1990), 509–539.