Acción de esquema grupal

En geometría algebraica , una acción de un esquema de grupo es una generalización de una acción de grupo a un esquema de grupo . Precisamente, dado un S -esquema de grupo G , una acción izquierda de G sobre un S -esquema X es un S -morfismo.

${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$

de tal manera que

• (asociatividad) , donde es la ley del grupo, ${\displaystyle \sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})}$ ${\displaystyle m:G\times _{S}G\to G}$
• (unitalidad) , donde es la sección identidad de G. ${\displaystyle \sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}}$ ${\displaystyle e:S\to G}$

Una acción derecha de G sobre X se define de forma análoga. Un esquema dotado de una acción izquierda o derecha de un esquema de grupo G se denomina esquema G. Un morfismo equivariante entre esquemas G es un morfismo de esquemas que entrelaza las respectivas acciones G.

De manera más general, también se puede considerar (al menos algún caso especial de) una acción de un funtor de grupo : al considerar a G como un funtor, una acción se da como una transformación natural que satisface las condiciones análogas a las anteriores. ^[1] Alternativamente, algunos autores estudian la acción de grupo en el lenguaje de un grupoide ; una acción de esquema de grupo es entonces un ejemplo de un esquema de grupoide .

Construcciones

Las construcciones habituales para una acción de grupo, como las órbitas, se generalizan a una acción de esquema de grupo. Sea una acción de esquema de grupo dada como la anterior. ${\displaystyle \sigma }$

• Dado un punto con valor T , el mapa de órbita se da como . ${\displaystyle x:T\to X}$ ${\displaystyle \sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T}$ ${\displaystyle (\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})}$
• La órbita de x es la imagen del mapa de órbitas . ${\displaystyle \sigma _{x}}$
• El estabilizador de x es la fibra sobre el mapa. ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle (x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.}$

Problema de construcción de un cociente

A diferencia de una acción grupal de teoría de conjuntos, no existe una manera sencilla de construir un cociente para una acción de esquema grupal. Una excepción es el caso en que la acción es libre, el caso de un fibrado principal .

Hay varios enfoques para superar esta dificultad:

• Estructura de niveles : Quizás el más antiguo, el enfoque reemplaza un objeto a clasificar por un objeto junto con una estructura de niveles.
• Teoría de invariantes geométricos : descartar las órbitas malas y luego tomar un cociente. El inconveniente es que no hay una forma canónica de introducir la noción de "órbitas malas"; la noción depende de una elección de linealización . Véase también: cociente categórico , cociente GIT .
• Construcción de Borel : este es un enfoque esencialmente de topología algebraica; este enfoque requiere trabajar con un espacio de dimensión infinita .
• Enfoque analítico, la teoría del espacio de Teichmüller
• Apilamiento de cocientes : en cierto sentido, esta es la respuesta definitiva al problema. En términos generales, un "apilamiento de cocientes" es la categoría de órbitas y se apila (es decir, se introduce la noción de un torsor) para obtener un apilamiento de cocientes.

Dependiendo de las aplicaciones, otro enfoque sería desplazar el foco desde un espacio hacia cosas que se encuentran en un espacio; por ejemplo, topos . De modo que el problema pasa de la clasificación de órbitas a la de objetos equivariantes.

Véase también

• esquema de grupoide
• Teorema de Sumihiro
• gavilla equivariante
• Teorema del punto fijo de Borel

Referencias

1. En detalle, dada una acción de esquema de grupo , para cada morfismo , determina una acción de grupo ; es decir, el grupo actúa sobre el conjunto de puntos T. A la inversa, si para cada , hay una acción de grupo y si esas acciones son compatibles; es decir, forman una transformación natural , entonces, por el lema de Yoneda , determinan una acción de esquema de grupo . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G(T)\times X(T)\to X(T)}$ ${\displaystyle G(T)}$ ${\displaystyle X(T)}$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)}$ ${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$

• Mumford, David ; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994). Teoría de las invariantes geométricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)]. vol. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3.Señor 1304906  .