Anillo Stanley-Reisner

En matemáticas, un anillo de Stanley-Reisner , o anillo de caras , es un cociente de un álgebra polinómica sobre un cuerpo por un ideal monomial libre de cuadrados . Tales ideales se describen de manera más geométrica en términos de complejos simpliciales finitos . La construcción del anillo de Stanley-Reisner es una herramienta básica dentro de la combinatoria algebraica y el álgebra conmutativa combinatoria . ^[1] Sus propiedades fueron investigadas por Richard Stanley , Melvin Hochster y Gerald Reisner a principios de la década de 1970.

Definición y propiedades

Dado un complejo simplicial abstracto Δ en el conjunto de vértices { x ₁ ,..., x _n } y un cuerpo k , el anillo de Stanley-Reisner correspondiente , o anillo de caras , denotado k [Δ], se obtiene a partir del anillo de polinomios k [ x ₁ ,..., x _n ] mediante el cociente del ideal I _Δ generado por los monomios libres de cuadrados correspondientes a las no caras de Δ:

${\displaystyle I_{\Delta }=(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{r}}:\{i_{1},\ldots ,i_{r}\}\notin \Delta ),\quad k[\Delta ]=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{\Delta }.}$

El ideal I _Δ se llama ideal de Stanley-Reisner o ideal de cara de Δ. ^[2]

Propiedades

• El anillo de Stanley-Reisner k [Δ] es multigraduado por Z ⁿ , donde el grado de la variable x _i es el i ésimo vector base estándar e _i de  Z ⁿ .
• Como espacio vectorial sobre k , el anillo de Stanley-Reisner de Δ admite una descomposición de suma directa

${\displaystyle k[\Delta ]=\bigoplus _{\sigma \in \Delta }k[\Delta ]_{\sigma },}$

cuyos sumandos k [Δ] _σ tienen una base de los monomios (no necesariamente libres de cuadrados) apoyada en las caras σ de Δ.

• La dimensión de Krull de k [Δ] es uno más grande que la dimensión del complejo simplicial Δ.
• La serie de Hilbert multigraduada, o fina , de k [Δ] viene dada por la fórmula

${\displaystyle H(k[\Delta ];x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in \Delta }\prod _{i\in \sigma }{\frac {x_{i}}{1-x_{i}}}.}$

• La serie de Hilbert ordinaria, o gruesa , de k [Δ] se obtiene a partir de su serie de Hilbert multigrado estableciendo el grado de cada variable x _i igual a 1:

${\displaystyle H(k[\Delta ];t,\ldots ,t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\sum _{i=0}^{d}f_{i-1}t^{i}(1-t)^{n-i},}$

donde d = dim(Δ) + 1 es la dimensión de Krull de k [Δ] y f _i es el número de i -caras de Δ. Si se escribe en la forma

${\displaystyle H(k[\Delta ];t,\ldots ,t)={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}}$

entonces los coeficientes ( h ₀ , ..., h _d ) del numerador forman el h -vector del complejo simplicial Δ.

Ejemplos

Es común suponer que cada vértice { x _i } es un símplex en Δ. Por lo tanto, ninguna de las variables pertenece al ideal de Stanley-Reisner  I _Δ .

• Δ es un simplex { x ₁ ,..., x _n }. Entonces I _Δ es el ideal cero y

${\displaystyle k[\Delta ]=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

es el álgebra polinomial en n variables sobre  k .

• El complejo simplicial Δ consta de n vértices aislados { x ₁ }, ..., { x _n }. Entonces

${\displaystyle I_{\Delta }=\{x_{i}x_{j}:1\leq i<j\leq n\}}$

y el anillo de Stanley-Reisner es el siguiente truncamiento del anillo polinomial en n variables sobre k :

${\displaystyle k[\Delta ]=k\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq n}x_{i}k[x_{i}].}$

• Generalizando los dos ejemplos anteriores, sea Δ el d -esqueleto del símplex { x ₁ ,..., x _n }, por lo que consta de todos los subconjuntos de ( d  + 1) elementos de { x ₁ ,..., x _n }. Entonces, el anillo de Stanley-Reisner sigue el truncamiento del anillo polinomial en n variables sobre k :

${\displaystyle k[\Delta ]=k\oplus \bigoplus _{0\leq r\leq d}\bigoplus _{i_{0}<\ldots <i_{r}}x_{i_{0}}\ldots x_{i_{r}}k[x_{i_{0}},\ldots ,x_{i_{r}}].}$

• Supóngase que el complejo simplicial abstracto Δ es una unión simplicial de complejos simpliciales abstractos Δ ^′ en x ₁ ,..., x _m y Δ ^′′ en x _{m +1} ,..., x _n . Entonces el anillo de Stanley-Reisner de Δ es el producto tensorial sobre k de los anillos de Stanley-Reisner de Δ ^′ y Δ ^′′ :

${\displaystyle k[\Delta ]\simeq k[\Delta ']\otimes _{k}k[\Delta ''].}$

Condición de Cohen-Macaulay y conjetura del límite superior

El anillo de caras k [Δ] es un álgebra multigraduada sobre k, cuyos componentes con respecto a la gradación fina tienen dimensión como máximo 1. En consecuencia, su homología puede estudiarse mediante métodos combinatorios y geométricos. Un complejo simplicial abstracto Δ se llama Cohen-Macaulay sobre k si su anillo de caras es un anillo de Cohen-Macaulay . ^[3] En su tesis de 1974, Gerald Reisner dio una caracterización completa de tales complejos. Esto fue seguido pronto por resultados homológicos más precisos sobre anillos de caras debido a Melvin Hochster. Luego, Richard Stanley encontró una manera de probar la Conjetura del Límite Superior para esferas simpliciales , que estaba abierta en ese momento, utilizando la construcción del anillo de caras y el criterio de Reisner de Cohen-Macaulayness. La idea de Stanley de traducir conjeturas difíciles en combinatoria algebraica en enunciados del álgebra conmutativa y demostrarlas por medio de técnicas homológicas fue el origen del campo en rápido desarrollo del álgebra conmutativa combinatoria .

Criterio de Reisner

Un complejo simplicial Δ es Cohen-Macaulay sobre k si y solo si para todos los símplices σ ∈ Δ, todos los grupos de homología simplicial reducidos del enlace de σ en Δ con coeficientes en k son cero, excepto el de dimensión superior: ^[3]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(\operatorname {link} _{\Delta }(\sigma );k)=0\quad {\text{for all}}\quad i<\dim \operatorname {link} _{\Delta }(\sigma ).}$

Un resultado debido a Munkres muestra entonces que la Cohen–Macaulayness de Δ sobre k es una propiedad topológica: depende solamente de la clase de homeomorfismo del complejo simplicial Δ. Es decir, sea |Δ| la realización geométrica de Δ. Entonces la desaparición de los grupos de homología simplicial en el criterio de Reisner es equivalente a la siguiente afirmación acerca de los grupos de homología singulares reducidos y relativos de |Δ|:

${\displaystyle {\text{For all }}p\in |\Delta |{\text{ and for all }}i<\dim |\Delta |=d-1,\quad {\tilde {H}}_{i}(\operatorname {|} \Delta |;k)=H_{i}(\operatorname {|} \Delta |,\operatorname {|} \Delta |-p;k)=0.}$

En particular, si el complejo Δ es una esfera simplicial , es decir, |Δ| es homeomorfo a una esfera , entonces es Cohen-Macaulay sobre cualquier cuerpo. Este es un paso clave en la prueba de Stanley de la Conjetura del Límite Superior. Por el contrario, hay ejemplos de complejos simpliciales cuya Cohen-Macaulayidad depende de la característica del cuerpo  k .

Referencias

1. Miller y Sturmfels (2005) p.19
2. Miller y Sturmfels (2005) págs. 3–5
3. Miller y Sturmfels (2005) p.101

• Melvin Hochster , Anillos de Cohen-Macaulay, combinatoria y complejos simpliciales . Teoría de anillos, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), págs. 171-223. Apuntes de clase sobre matemáticas puras y aplicadas, vol. 26, Dekker, Nueva York, 1977
• Stanley, Richard (1996). Combinatoria y álgebra conmutativa . Progress in Mathematics. Vol. 41 (segunda edición). Boston, MA: Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3836-9.Zbl 0838.13008  .
• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993). Anillos de Cohen-Macaulay . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 39. Cambridge University Press . ISBN 0-521-41068-1.Zbl 0788.13005  .
• Molinero, Esdras; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 227. Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0.Zbl 1090.13001  .

Lectura adicional

• Panov, Taras E. (2008). "Cohomología de anillos de caras y acciones de toros". En Young, Nicholas; Choi, Yemon (eds.). Encuestas en matemáticas contemporáneas . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 347. Cambridge University Press . págs. 165–201. ISBN 978-0-521-70564-6.Zbl 1140.13018  .

Enlaces externos

• "Anillo de Stanley-Reisner", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]