En física matemática , los axiomas de Wightman (también llamados axiomas de Gårding-Wightman ), [1] [2] llamados así en honor a Arthur Wightman , [3] son un intento de una formulación matemáticamente rigurosa de la teoría cuántica de campos . Arthur Wightman formuló los axiomas a principios de la década de 1950, [4] pero no se publicaron por primera vez hasta 1964 [5] después de que la teoría de dispersión de Haag-Ruelle [6] [7] afirmara su importancia.
Los axiomas existen en el contexto de la teoría constructiva de campos cuánticos y están destinados a proporcionar una base para un tratamiento riguroso de los campos cuánticos y una base estricta para los métodos perturbativos utilizados. Uno de los Problemas del Milenio es realizar los axiomas de Wightman en el caso de los campos de Yang-Mills .
Una idea básica de los axiomas de Wightman es que existe un espacio de Hilbert , sobre el cual el grupo de Poincaré actúa unitariamente . De esta forma se implementan los conceptos de energía, momento, momento angular y centro de masa (correspondientes a impulsos).
También existe una suposición de estabilidad, que restringe el espectro de los cuatro momentos al cono de luz positivo (y su límite). Sin embargo, esto no es suficiente para implementar la localidad . Para eso, los axiomas de Wightman tienen operadores dependientes de la posición llamados campos cuánticos, que forman representaciones covariantes del grupo de Poincaré .
Dado que la teoría cuántica de campos sufre problemas ultravioleta , el valor de un campo en un punto no está bien definido. Para solucionar esto, los axiomas de Wightman introducen la idea de untar una función de prueba para controlar las divergencias UV, que surgen incluso en una teoría de campo libre . Debido a que los axiomas tratan con operadores ilimitados , es necesario especificar los dominios de los operadores.
Los axiomas de Wightman restringen la estructura causal de la teoría al imponer conmutatividad o anticonmutatividad entre campos separados en forma espacial.
También postulan la existencia de un estado invariante de Poincaré llamado vacío y exigen que sea único. Además, los axiomas suponen que el vacío es "cíclico", es decir, que el conjunto de todos los vectores que se pueden obtener evaluando los elementos del estado de vacío del álgebra polinómica generada por los operadores de campo difuminado es un subconjunto denso de todo el espacio de Hilbert.
Por último, está la restricción de causalidad primitiva, que establece que cualquier polinomio en los campos difusos puede aproximarse con precisión arbitraria (es decir, es el límite de operadores en la topología débil ) mediante polinomios en campos difusos sobre funciones de prueba con soporte en un conjunto abierto en Espacio de Minkowski cuyo cierre causal es todo el espacio de Minkowski.
La mecánica cuántica se describe según von Neumann ; en particular, los estados puros están dados por los rayos, es decir, los subespacios unidimensionales, de algún espacio de Hilbert complejo separable . A continuación, el producto escalar de los vectores espaciales de Hilbert Ψ y Φ se denota por , y la norma de Ψ se denota por . La probabilidad de transición entre dos estados puros [Ψ] y [Φ] se puede definir en términos de representantes de vectores distintos de cero Ψ y Φ como
y es independiente de qué vectores representativos Ψ y Φ se eligen.
La teoría de la simetría se describe según Wigner. Esto es para aprovechar la exitosa descripción de las partículas relativistas realizada por EP Wigner en su famoso artículo de 1939; véase la clasificación de Wigner . Wigner postuló que la probabilidad de transición entre estados era la misma para todos los observadores relacionados por una transformación de la relatividad especial . De manera más general, consideró que la afirmación de que una teoría sea invariante bajo un grupo G debía expresarse en términos de la invariancia de la probabilidad de transición entre dos rayos cualesquiera. El enunciado postula que el grupo actúa sobre el conjunto de rayos, es decir, sobre el espacio proyectivo. Sea ( a , L ) un elemento del grupo de Poincaré (el grupo no homogéneo de Lorentz). Por lo tanto, a es un cuatro vector de Lorentz real que representa el cambio de origen del espacio-tiempo x ↦ x − a , donde x está en el espacio de Minkowski M 4 , y L es una transformación de Lorentz , que puede definirse como una transformación lineal de cuatro-vectores. espacio-tiempo dimensional preservando la distancia de Lorentz c 2 t 2 − x ⋅ x de cada vector ( ct , x ). Entonces la teoría es invariante bajo el grupo de Poincaré si para cada rayo Ψ del espacio de Hilbert y cada elemento del grupo ( a , L ) se le da un rayo transformado Ψ ( a , L ) y la probabilidad de transición no cambia por la transformación:
El teorema de Wigner dice que, en estas condiciones, las transformaciones en el espacio de Hilbert son operadores lineales o antilineales (si además conservan la norma, entonces son operadores unitarios o antiunitarios); el operador de simetría en el espacio proyectivo de rayos se puede elevar al espacio de Hilbert subyacente. Haciendo esto para cada elemento del grupo ( a , L ), obtenemos una familia de operadores unitarios o antiunitarios U ( a , L ) en nuestro espacio de Hilbert, tal que el rayo Ψ transformado por ( a , L ) es el mismo que el rayo que contiene U ( a , L )ψ. Si restringimos la atención a elementos del grupo conectados a la identidad, entonces el caso antiunitario no ocurre.
Sean ( a , L ) y ( b , M ) dos transformaciones de Poincaré, y denotemos su producto grupal por ( a , L )⋅( b , M ) ; de la interpretación física vemos que el rayo que contiene U ( a , L )[ U ( b , M )ψ] debe (para cualquier ψ) ser el rayo que contiene U (( a , L )⋅( b , M ))ψ (asociatividad de la operación grupal). Volviendo de los rayos al espacio de Hilbert, estos dos vectores pueden diferir en una fase (y no en norma, porque elegimos operadores unitarios), que puede depender de los dos elementos del grupo ( a , L ) y ( b , M ) , es decir no tenemos una representación de un grupo sino más bien una representación proyectiva . Estas fases no siempre pueden cancelarse redefiniendo cada U ( a ), ejemplo para partículas de espín 1/2. Wigner demostró que lo mejor que se puede conseguir para el grupo Poincaré es
es decir, la fase es múltiplo de . Para partículas de espín entero (piones, fotones, gravitones, ...) se puede eliminar el signo ± mediante cambios de fase adicionales, pero para representaciones de espín medio impar, no podemos, y el signo cambia discontinuamente a medida que giramos alrededor de cualquier eje en un ángulo de 2π. Sin embargo, podemos construir una representación del grupo de cobertura del grupo de Poincaré , llamado SL(2, C ) no homogéneo ; esto tiene elementos ( a , A ), donde como antes, a es un vector de cuatro, pero ahora A es una matriz compleja de 2 × 2 con determinante unitario. Denotamos los operadores unitarios que obtenemos por U ( a , A ), y estos nos dan una representación continua, unitaria y verdadera en el sentido de que el conjunto de U ( a , A ) obedece la ley de grupo de los no homogéneos SL(2, C ) .
Debido al cambio de signo bajo rotaciones de 2π, los operadores hermitianos que se transforman como espín 1/2, 3/2, etc., no pueden ser observables . Esto se manifiesta como la regla de superselección de univalencia : las fases entre los estados de espín 0, 1, 2, etc. y los de espín 1/2, 3/2, etc., no son observables. Esta regla se suma a la no observabilidad de la fase general de un vector de estado. Respecto a los observables y estados | v ⟩, obtenemos una representación U ( a , L ) del grupo de Poincaré en subespacios de espín entero, y U ( a , A ) del SL(2, C ) no homogéneo en subespacios semienteros impares, que actúa de acuerdo con la siguiente interpretación:
Un conjunto correspondiente a U ( a , L )| v ⟩ debe interpretarse con respecto a las coordenadas exactamente de la misma manera que un conjunto correspondiente a | v ⟩ se interpreta con respecto a las coordenadas x ; y de manera similar para los subespacios impares.
El grupo de traslaciones espacio-temporales es conmutativo , por lo que los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. Los generadores de estos grupos nos dan cuatro operadores autoadjuntos que se transforman bajo el grupo homogéneo como un cuatro vectores, llamado cuatro vectores de energía-momento .
La segunda parte del axioma cero de Wightman es que la representación U ( a , A ) cumple la condición espectral: que el espectro simultáneo de energía-momento esté contenido en el cono delantero:
La tercera parte del axioma es que existe un estado único, representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré. Se llama vacío.
Para cada función de prueba f , es decir, para una función con un soporte compacto y derivadas continuas de cualquier orden, [8] existe un conjunto de operadores que, junto con sus adjuntos, se definen en un subconjunto denso del espacio de estados de Hilbert, que contiene el vacío. Los campos A son distribuciones templadas valoradas por el operador . El espacio de estados de Hilbert está abarcado por los polinomios de campo que actúan sobre el vacío (condición de ciclicidad).
Los campos son covariantes bajo la acción del grupo de Poincaré y se transforman según alguna representación S del grupo de Lorentz , o SL(2, C ) si el espín no es entero:
Si los soportes de dos campos están separados como un espacio , entonces los campos conmutan o anticonmutan.
La ciclicidad del vacío y la unicidad del vacío a veces se consideran por separado. Además, existe la propiedad de completitud asintótica: que el espacio de estados de Hilbert está abarcado por los espacios asintóticos y , que aparecen en la matriz S de colisión . La otra propiedad importante de la teoría de campos es la brecha de masa , que los axiomas no exigen: que el espectro de energía-momento tiene una brecha entre cero y algún número positivo.
De estos axiomas se derivan ciertos teoremas generales:
Arthur Wightman demostró que las distribuciones de valores esperados del vacío , que satisfacen cierto conjunto de propiedades que se derivan de los axiomas, son suficientes para reconstruir la teoría de campos (teorema de reconstrucción de Wightman, incluida la existencia de un estado de vacío ); no encontró la condición en los valores esperados del vacío que garantizaran la unicidad del vacío; Esta condición, la propiedad del cúmulo , fue descubierta más tarde por Res Jost , Klaus Hepp , David Ruelle y Othmar Steinmann.
Si la teoría tiene una brecha de masa , es decir, no hay masas entre 0 y alguna constante mayor que cero, entonces las distribuciones esperadas del vacío son asintóticamente independientes en regiones distantes.
El teorema de Haag dice que no puede haber una imagen de interacción (que no podemos utilizar el espacio de Fock de partículas que no interactúan como un espacio de Hilbert) en el sentido de que identificaríamos los espacios de Hilbert mediante polinomios de campo que actúan sobre el vacío en un momento determinado.
El marco de Wightman no cubre estados de energía infinita como los estados de temperatura finita.
A diferencia de la teoría cuántica de campos local , los axiomas de Wightman restringen explícitamente la estructura causal de la teoría al imponer conmutatividad o anticonmutatividad entre campos separados en forma de espacio, en lugar de derivar la estructura causal como un teorema. Si se considera una generalización de los axiomas de Wightman a dimensiones distintas de 4, este postulado (anti)conmutatividad descarta cualquier estadística trenzada en dimensiones inferiores.
El postulado de Wightman de un estado de vacío único no necesariamente hace que los axiomas de Wightman sean inapropiados para el caso de ruptura espontánea de simetría porque siempre podemos restringirnos a un sector de superselección .
La ciclicidad del vacío exigida por los axiomas de Wightman significa que describen sólo el sector de superselección del vacío; Nuevamente, esto no es una gran pérdida de generalidad. Sin embargo, esta suposición deja fuera los estados de energía finita como los solitones, que no pueden generarse mediante un polinomio de campos manchados por funciones de prueba porque un solitón, al menos desde una perspectiva de la teoría de campos, es una estructura global que involucra condiciones de frontera topológicas en el infinito. .
El marco de Wightman no cubre teorías de campo efectivas porque no hay límite en cuanto a cuán pequeño puede ser el soporte de una función de prueba. Es decir, no existe una escala de corte .
El marco de Wightman tampoco cubre las teorías de calibre . Incluso en las teorías de calibre abelianas, los enfoques convencionales comienzan con un "espacio de Hilbert" con una norma indefinida (por lo tanto, no es verdaderamente un espacio de Hilbert, que requiere una norma definida positiva, pero los físicos lo llaman de todos modos un espacio de Hilbert), y los estados físicos y Los operadores físicos pertenecen a una cohomología . Obviamente, esto no está cubierto en ninguna parte del marco de Wightman. (Sin embargo, como lo muestran Schwinger, Christ y Lee, Gribov, Zwanziger, Van Baal, etc., la cuantificación canónica de las teorías de calibre en calibre de Coulomb es posible con un espacio de Hilbert ordinario, y esta podría ser la manera de hacerlas caer bajo el aplicabilidad de la sistemática del axioma.)
Los axiomas de Wightman se pueden reformular en términos de un estado llamado funcional de Wightman en un álgebra de Borchers igual al álgebra tensorial de un espacio de funciones de prueba.
Se pueden generalizar los axiomas de Wightman a dimensiones distintas a la 4. En las dimensiones 2 y 3, se han construido teorías interactivas (es decir, no libres) que satisfacen los axiomas.
Actualmente, no hay pruebas de que los axiomas de Wightman puedan cumplirse para teorías interactivas en la dimensión 4. En particular, el modelo estándar de física de partículas no tiene fundamentos matemáticamente rigurosos. Existe un premio de un millón de dólares por demostrar que los axiomas de Wightman pueden satisfacerse en teorías de calibre , con el requisito adicional de una brecha de masa.
Bajo ciertos supuestos técnicos, se ha demostrado que una QFT euclidiana se puede rotar con Wick en una QFT de Wightman, consulte el teorema de Osterwalder-Schrader . Este teorema es la herramienta clave para la construcción de teorías interactivas en las dimensiones 2 y 3 que satisfacen los axiomas de Wightman.
![{\displaystyle P{\big (}[\Psi ],[\Phi ]{\big )}={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \ rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41bba3a028458b17cd7ca1495269d09599edebb)
