Rotación de mecha

En física , la rotación de Wick , llamada así en honor al físico italiano Gian Carlo Wick , es un método para encontrar una solución a un problema matemático en el espacio de Minkowski a partir de una solución a un problema relacionado en el espacio euclidiano mediante una transformación que sustituye una variable de número imaginario. para una variable de número real.

Las rotaciones de mecha pueden verse como un truco útil que funciona debido a la similitud entre las ecuaciones de dos campos de la física aparentemente distintos. Esto se puede ver por la similitud entre dos objetos centrales en la mecánica cuántica y la mecánica estadística , donde H es el hamiltoniano relacionado con la energía conservada: la transformación $exp(- iHt /ℏ)$ derivada de la ecuación de Schrödinger y la medida de Gibbs $exp(H / k B T)$ que surge al considerar sistemas en un entorno (donde t es el tiempo, ℏ es la constante de Planck , T es la temperatura y k _B es la constante de Boltzmann ). ^[1]

La rotación de mecha se llama rotación porque cuando representamos números complejos como un plano , la multiplicación de un número complejo por la unidad imaginaria $i = \sqrt -1$ equivale a rotar en sentido antihorario el vector que representa ese número en un ángulo de magnitud $π / 2$ sobre el origen. ^[2]

Descripción general

La rotación de mecha está motivada por la observación de que la métrica de Minkowski en unidades naturales (con convención de firma métrica $(-1, +1, +1, +1) )$

ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

y la métrica euclidiana de cuatro dimensiones

ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

son equivalentes si se permite que la coordenada $t$ tome valores imaginarios . La métrica de Minkowski se vuelve euclidiana cuando $t$ se restringe al eje imaginario y viceversa. Tomando un problema expresado en el espacio de Minkowski con coordenadas $x, y, z, t$ y sustituyendo $t = - iτ$ a veces se obtiene un problema en coordenadas euclidianas reales $x, y, z, τ$ que es más fácil de resolver. Esta solución puede entonces, bajo sustitución inversa, dar una solución al problema original.

Mecánica estadística y cuántica.

La rotación de mecha conecta la mecánica estadística con la mecánica cuántica al reemplazar la temperatura inversa con el tiempo imaginario . Considere una gran colección de osciladores armónicos a temperatura $T.$ La probabilidad relativa de encontrar cualquier oscilador con energía $E$ es , donde $k$ $B$ es la constante de Boltzmann . El valor promedio de un $Q$ observable es, hasta una constante de normalización, $1/(k_{\text{B}}T)$ $it/\hbar$ $\exp(-E/k_{\text{B}}T)$

\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}},

donde $j$ recorre todos los estados, es el valor de $Q$ en el $j$ -ésimo estado y es la energía del $j$ -ésimo estado. Consideremos ahora un único oscilador armónico cuántico en una superposición de estados básicos, que evoluciona durante un tiempo $t$ bajo un hamiltoniano $H.$ El cambio de fase relativo del estado base con energía $E$ es donde está la constante de Planck reducida . La amplitud de probabilidad de que una superposición uniforme (igualmente ponderada) de estados $Q_{j}$ $E_{j}$ $\exp(-Eit/\hbar ),$ $\hbar$

|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle

evoluciona hacia una superposición arbitraria

|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle

es, hasta una constante de normalización,

\left\langle Q\left|e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}\right|\psi \right\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}.

Estática y dinámica

La rotación de Wick relaciona problemas estáticos en $n$ dimensiones con problemas dinámicos en $n - 1$ dimensiones, intercambiando una dimensión de espacio por una dimensión de tiempo. Un ejemplo simple donde $n = 2$ es un resorte colgante con puntos finales fijos en un campo gravitacional. La forma del resorte es una curva $y (x)$ . El resorte está en equilibrio cuando la energía asociada a esta curva está en un punto crítico (un extremo); Este punto crítico suele ser un mínimo, por lo que esta idea suele denominarse "el principio de mínima energía". Para calcular la energía, integramos la densidad espacial de energía sobre el espacio:

E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V{\big (}y(x){\big )}\right]dx,

donde $k$ es la constante del resorte y $V (y (x))$ es el potencial gravitacional.

El problema de dinámica correspondiente es el de una piedra lanzada hacia arriba. El camino que sigue la roca es el que extrema la acción ; Como antes, este extremo suele ser un mínimo, por lo que se denomina " principio de acción mínima ". La acción es la integral de tiempo del lagrangiano :

S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V{\big (}y(t){\big )}\right]dt.

La solución al problema de dinámica (hasta un factor de $i$ ) la obtenemos del problema de estática mediante rotación de Wick, reemplazando $y (x)$ por $y (it)$ y la constante elástica $k$ por la masa de la roca $m$ :

iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dt}}\right)^{2}+V{\big (}y(it){\big )}\right]dt=i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dit}}\right)^{2}-V{\big (}y(it){\big )}\right]d(it).

Tanto térmico/cuántico como estático/dinámico

En conjunto, los dos ejemplos anteriores muestran cómo la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica se relaciona con la mecánica estadística. Desde la mecánica estadística, la forma de cada resorte en una colección a temperatura $T$ se desviará de la forma de menor energía debido a fluctuaciones térmicas; la probabilidad de encontrar un resorte con una forma determinada disminuye exponencialmente con la diferencia de energía con respecto a la forma de menor energía. De manera similar, una partícula cuántica que se mueve en un potencial puede describirse mediante una superposición de trayectorias, cada una con una fase $exp(iS)$ : las variaciones térmicas en la forma a lo largo del conjunto se han convertido en incertidumbre cuántica en la trayectoria de la partícula cuántica.

Más detalles

La ecuación de Schrödinger y la ecuación del calor también están relacionadas por la rotación de Wick. Sin embargo, hay una ligera diferencia. Las funciones estadístico-mecánicas $de n$ puntos satisfacen la positividad, mientras que las teorías de campos cuánticos rotados por Wick satisfacen la positividad de la reflexión . ^{[ Se necesita más explicación ]}

La rotación de mecha también relaciona una teoría cuántica de campos a una temperatura inversa finita $β$ con un modelo estadístico-mecánico sobre el "tubo" $R 3 \times S 1$ con la coordenada de tiempo imaginaria $τ$ periódica con período $β$ .

Sin embargo, tenga en cuenta que la rotación de Wick no puede verse como una rotación en un espacio vectorial complejo que está equipado con la norma y métrica convencionales inducidas por el producto interno , ya que en este caso la rotación se cancelaría y no tendría ningún efecto.

Prueba rigurosa

Dirk Schlingemann demostró que se puede construir un vínculo más riguroso entre la teoría de campos euclidiana y cuántica utilizando el teorema de Osterwalder-Schrader . ^[3]

Ver también

Referencias

^ Zee, Antonio (2010). Teoría cuántica de campos en pocas palabras (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 289.ISBN 978-1-4008-3532-4.
^ Lancaster, Tom; Blundell, Stephen J. (17 de abril de 2014), "Teoría estadística de campos", Teoría cuántica de campos para aficionados superdotados , Oxford University Press, págs. 228-229 , consultado el 12 de noviembre de 2023
^ Schlingemann, Dirk (1999). "De la teoría de campos euclidianos a la teoría de campos cuánticos". Reseñas en Física Matemática . 11 (9): 1151–78. arXiv : hep-th/9802035 . Código Bib : 1999RvMaP..11.1151S. doi :10.1142/S0129055X99000362. ISSN 0129-055X. S2CID 9851483.

Mecha, GC (1954). "Propiedades de las funciones de onda de Bethe-Salpeter". Revisión física . 96 (4): 1124-1134. Código bibliográfico : 1954PhRv...96.1124W. doi : 10.1103/PhysRev.96.1124.

enlaces externos

Wikiquote tiene citas relacionadas con la rotación de Wick .

Un resorte en tiempo imaginario: una hoja de trabajo de mecánica lagrangiana que ilustra cómo reemplazar la longitud por tiempo imaginario convierte la parábola de un resorte colgante en la parábola invertida de una partícula lanzada.
Euclidean Gravity: una breve nota de Ray Streater sobre el programa "Euclidean Gravity".