En geometría de ocho dimensiones , un politopo de ocho dimensiones o 8-politopo es un politopo contenido en facetas de 7 politopos. Cada cresta de 6 politopos es compartida por exactamente dos facetas de 7 politopos .
Un 8-politopo uniforme es uno que es transitivo por vértice y está construido a partir de facetas de 7-politopo uniforme .
Los 8-politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s,t,u,v}, con v {p,q,r,s,t,u} facetas de 7-politopos alrededor de cada pico .
Hay exactamente tres de estos 8-politopos convexos regulares :
No existen 8-politopos regulares no convexos.
La topología de cualquier 8-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar poliedros no se puede generalizar de forma útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 8-politopos, cualquiera sea su topología subyacente. Esta inadecuación de la característica de Euler para distinguir de forma fiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti, más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión. [1]
Se pueden generar 8-politopos uniformes con simetría reflexiva mediante estos cuatro grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin :
Los 8-politopos regulares y uniformes seleccionados de cada familia incluyen:
; también como h{4,3 6 }
.
,Existen muchas familias prismáticas uniformes , entre ellas:
La familia A8 tiene simetría de orden 362880 ( factorial 9 ).
Existen 135 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos (128+8-1 casos). Todas ellas se enumeran a continuación. Los acrónimos de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.
Consulte también una lista de politopos 8-símplex para obtener gráficos simétricos del plano de Coxeter de estos politopos.
La familia B 8 tiene simetría de orden 10321920 (8 factorial x 2 8 ). Hay 255 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos.
Consulte también una lista de politopos B8 para obtener gráficos simétricos del plano de Coxeter de estos politopos.
La familia D 8 tiene simetría de orden 5.160.960 (8 factorial x 2 7 ).
Esta familia tiene 191 politopos uniformes Wythoffianos, de 3x64-1 permutaciones del diagrama de Coxeter-Dynkin D 8 con uno o más anillos. 127 (2x64-1) se repiten de la familia B 8 y 64 son exclusivos de esta familia, todos enumerados a continuación.
Consulte la lista de politopos D8 para ver los gráficos del plano de Coxeter de estos politopos.
La familia E 8 tiene orden de simetría 696.729.600.
Existen 255 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. A continuación se muestran ocho formas, 4 de un solo anillo, 3 truncamientos (2 anillos) y el omnitruncamiento final. Se proporcionan acrónimos de estilo Bowers para referencias cruzadas.
Véase también la lista de politopos E8 para los gráficos del plano de Coxeter de esta familia.
Hay cinco grupos de Coxeter afines fundamentales que generan teselaciones regulares y uniformes en el espacio 7:
Las teselaciones regulares y uniformes incluyen:
=
=
,,,,,,,,,
No existen grupos hiperbólicos compactos de Coxeter de rango 8, grupos que puedan generar panales con todas las facetas finitas y una figura de vértice finita . Sin embargo, existen 4 grupos hiperbólicos paracompactos de Coxeter de rango 8, cada uno de los cuales genera panales uniformes en el espacio 7 como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.
