Polinomio recíproco

En álgebra , dado un polinomio

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

con coeficientes de un campo arbitrario , su polinomio recíproco o polinomio reflejado , ^[1]^[2] denotado por $p *$ o $p R$ , ^[2]^[1] es el polinomio ^[3]

p^{*}(x)=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1}).

Es decir, los coeficientes de $p *$ son los coeficientes de $p$ en orden inverso. Los polinomios recíprocos surgen de forma natural en el álgebra lineal como el polinomio característico de la inversa de una matriz .

En el caso especial donde el campo son los números complejos , cuando

p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n},

El polinomio recíproco conjugado , denotado $p †$ , se define por,

p^{\dagger }(z)={\overline {a_{n}}}+{\overline {a_{n-1}}}z+\cdots +{\overline {a_{0}}}z^{n}=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}},

donde denota el conjugado complejo de , y también se llama polinomio recíproco cuando no puede surgir ninguna confusión. ${\overline {a_{i}}}$ $a_{i}$

Un polinomio $p$ se denomina autorrecíproco o palindrómico si $p (x) = p * (x)$ . Los coeficientes de un polinomio autorrecíproco satisfacen $a i = a n - i$ para todo $i$ .

Propiedades

Los polinomios recíprocos tienen varias conexiones con sus polinomios originales, entre ellas:

$a_{0}$
$p (x) = x n p * (x -1)$ .^[2]
$α$ es una raíz de un polinomio $p$ si y sólo si $α -1$ es una raíz de $p *$ .^[4]
Si $p (x) \neq x$ entonces $p$ es irreducible si y sólo si $p *$ es irreducible. ^[5]
$p$ es primitivo si y sólo si $p *$ es primitivo.^[4]

Se pueden obtener otras propiedades de los polinomios recíprocos, por ejemplo:

Un polinomio autorrecíproco de grado impar es divisible por x+1, por lo tanto no es irreducible si su grado es > 1.

Polinomios palindrómicos y antipalindrómicos

Un polinomio autorrecíproco también se llama palindrómico porque sus coeficientes, cuando el polinomio se escribe en orden de potencias ascendentes o descendentes, forman un palíndromo . Es decir, si

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

es un polinomio de grado $n$ , entonces $P$ es palindrómico si $a i = a n - i$ para $i = 0, 1, ..., n$ .

De manera similar, un polinomio $P$ de grado $n$ se llama antipalindrómico si $a i = - a n - i$ para $i = 0, 1, ..., n$ . Es decir, un polinomio $P$ es antipalindrómico si $P (x) = - P * (x)$ .

Ejemplos

De las propiedades de los coeficientes binomiales , se deduce que los polinomios $P (x) = (x + 1) n$ son palindrómicos para todos los enteros positivos $n$ , mientras que los polinomios $Q (x) = (x - 1) n$ son palindrómicos cuando $n$ es par y antipalindrómicos cuando $n$ es impar .

Otros ejemplos de polinomios palindrómicos incluyen los polinomios ciclotómicos y los polinomios eulerianos .

Propiedades

Si $a$ es una raíz de un polinomio que es palindrómico o antipalindrómico, entonces1/ $a$ ⁠ también es una raíz y tiene la misma multiplicidad . ^[6]
La inversa es cierta: si para cada raíz $a$ de un polinomio, el valor1/ $a$ ⁠ también es una raíz de la misma multiplicidad, entonces el polinomio es palindrómico o antipalindrómico.
Para cualquier polinomio $q$ , el polinomio $q + q *$ es palindrómico y el polinomio $q - q *$ es antipalindrómico.
De ello se deduce que cualquier polinomio $q$ puede escribirse como la suma de un polinomio palindrómico y un polinomio antipalindrómico, ya que $q = (q + q *)/2 + (q - q *)/2$ . ^[7]
El producto de dos polinomios palindrómicos o antipalindrómicos es palindrómico.
El producto de un polinomio palindrómico y un polinomio antipalindrómico es antipalindrómico.
Un polinomio palindrómico de grado impar es múltiplo de $x + 1$ (tiene –1 como raíz) y su cociente por $x + 1$ también es palindrómico.
Un polinomio antipalíndromo sobre un cuerpo $k con$ característica impar es múltiplo de $x - 1$ (tiene 1 como raíz) y su cociente por $x - 1$ es palindrómico.
Un polinomio antipalíndromo de grado par es múltiplo de $x 2 - 1$ (tiene −1 y 1 como raíces) y su cociente por $x 2 - 1$ es palindrómico.
Si $p (x)$ es un polinomio palindrómico de grado par 2 $d$ , entonces existe un polinomio $q$ de grado $d$ tal que $p (x) = x d q (x + ⁠ 1 / incógnita ⁠)$ .^[8]
Si $p (x)$ es un polinomio antipalindrómico mónico de grado par 2 $d$ sobre un cuerpo $k de$ característica impar , entonces puede escribirse de forma única como $p (x) = x d (Q (x) - Q (⁠ 1 / incógnita ⁠))$ , donde $Q$ es un polinomio mónico de grado $d$ sin término constante.^[9]
Si un polinomio antipalindrómico $P$ tiene grado par $2 n$ sobre un cuerpo $k$ de característica impar, entonces su coeficiente "medio" (de potencia $n$ ) es 0 ya que $a n = - a 2 n - n$ .

Coeficientes reales

Un polinomio con coeficientes reales cuyas raíces complejas se encuentran todas en el círculo unitario en el plano complejo (es decir, todas las raíces tienen módulo 1) es palindrómico o antipalindrómico. ^[10]

Polinomios recíprocos conjugados

Un polinomio es recíproco conjugado si y autoinverso si para un factor de escala $ω$ en el círculo unitario . ^[11] $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ $p(x)=\omega p^{\dagger }(x)$

Si $p (z)$ es el polinomio mínimo de $z 0$ con $| z 0 | = 1, z 0 \neq 1$ y $p (z)$ tiene coeficientes reales , entonces $p (z)$ es autorrecíproco. Esto se deduce porque

z_{0}^{n}{\overline {p(1/{\bar {z_{0}}})}}=z_{0}^{n}{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}{\bar {0}}=0.

Por lo tanto, $z 0$ es una raíz del polinomio que tiene grado $n$ . Pero, el polinomio mínimo es único, por lo tanto $z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}$

cp(z)=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}

para alguna constante $c$ , es decir . Sume desde $i$ $= 0$ hasta $n$ y observe que 1 no es una raíz de $p$ . Concluimos que $c$ $= 1$ . $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$

Una consecuencia es que los polinomios ciclotómicos $Φ n$ son autorrecíprocos para $n > 1.$ Esto se utiliza en la criba de cuerpos numéricos especiales para permitir que los números de la forma $x 11 \pm 1, x 13 \pm 1, x 15 \pm 1$ y $x 21 \pm 1$ se factoricen aprovechando los factores algebraicos mediante el uso de polinomios de grado 5, 6, 4 y 6 respectivamente; nótese que $φ$ ( función totiente de Euler ) de los exponentes son 10, 12, 8 y 12. ^{[ cita requerida ]}

Según el teorema de Cohn , un polinomio autoinverso tiene tantas raíces en el disco unitario como el polinomio recíproco de su derivada . ^[12]^[13] $\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$

Aplicación en la teoría de la codificación

El polinomio recíproco encuentra un uso en la teoría de códigos de corrección de errores cíclicos . Supongamos que $x n - 1$ puede factorizarse en el producto de dos polinomios, digamos $x n - 1 = g (x) p (x)$ . Cuando $g (x)$ genera un código cíclico $C$ , entonces el polinomio recíproco $p *$ genera $C ⊥$ , el complemento ortogonal de $C$ . ^[14] Además, $C$ es autoortogonal (es decir, $C \subseteq C ⊥)$ , si y solo si $p *$ divide $a g (x)$ . ^[15]

Véase también

Teorema de Cohn

Notas

^ ab * Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Matemáticas concretas: una base para la informática (Segunda edición). Reading, Mass: Addison-Wesley. pág. 340. ISBN 978-0201558029.
^ abc Aigner, Martin (2007). Un curso de enumeración . Berlín, Nueva York: Springer. pág. 94. ISBN 978-3540390329.
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^ ab Pless 1990, pág. 57
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^ Pless 1990, pág. 57 solo para el caso palindrómico
^ Stein, Jonathan Y. (2000), Procesamiento de señales digitales: una perspectiva informática , Wiley Interscience, pág. 384, ISBN 9780471295464
^ Durand 1961
^ Katz, Nicholas M. (2012), Convolución y equidistribución: teoremas de Sato-Tate para transformaciones de Mellin de campos finitos , Princeton University Press, pág. 146, ISBN 9780691153315
^ Markovsky, Ivan; Rao, Shodhan (2008). "Polinomios palindrómicos, sistemas reversibles en el tiempo y cantidades conservadas". 2008 16th Mediterranean Conference on Control and Automation (PDF) . págs. 125–130. doi :10.1109/MED.2008.4602018. ISBN . 978-1-4244-2504-4.S2CID14122451 . {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
^ Sinclair, Christopher D.; Vaaler, Jeffrey D. (2008). "Polinomios autoinversos con todos ceros en el círculo unitario". En McKee, James; Smyth, CJ (eds.). Teoría de números y polinomios. Actas del taller, Bristol, Reino Unido, 3-7 de abril de 2006. Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 352. Cambridge: Cambridge University Press . págs. 312-321. ISBN 978-0-521-71467-9.Zbl 1334.11017 .
^ Ancochea, Germán (1953). "Ceros de polinomios autoinversos". Actas de la American Mathematical Society . 4 (6): 900–902. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0058748-8 . ISSN 0002-9939.
^ Bonsall, FF; Marden, Morris (1952). "Ceros de polinomios autoinversos". Actas de la American Mathematical Society . 3 (3): 471–475. doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047828-8 . ISSN 0002-9939.
^ Pless 1990, pág. 75, Teorema 48
^ Pless 1990, pág. 77, Teorema 51

Referencias

Pless, Vera (1990), Introducción a la teoría de los códigos de corrección de errores (2.ª ed.), Nueva York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
Roman, Steven (1995), Teoría de campos , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
Durand, Émile (1961), "Masson et Cie: XV - polinômes dont les coeficientes sont symétriques ou antisymétriques", Solutions numériques des équations algrébriques , vol. Yo, págs. 140-141

Enlaces externos

"El teorema fundamental para polinomios palindrómicos". MathPages.com .
Weisstein, Eric W. "Polinomio recíproco". MathWorld .