En geometría , un politopo uniforme de 5 dimensiones es un politopo uniforme de cinco dimensiones . Por definición, un politopo uniforme de 5 dimensiones es transitivo en cuanto a vértices y está construido a partir de facetas de politopo uniforme de 4 dimensiones .
No se ha determinado el conjunto completo de 5-politopos convexos uniformes , pero muchos pueden realizarse como construcciones de Wythoff a partir de un pequeño conjunto de grupos de simetría . Estas operaciones de construcción están representadas por las permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter .
Los politopos regulares de 5 elementos se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s}, con s {p,q,r} facetas de politopos de 4 elementos alrededor de cada cara . Existen exactamente tres politopos regulares de este tipo, todos convexos:
No hay politopos regulares no convexos en 5 dimensiones o más.
Se conocen 104 politopos 5-convexos uniformes, además de una cantidad infinita de familias de prismas duoprismáticos y duoprismas poligonales-poliédricos. Todos, excepto el gran antiprisma, se basan en construcciones de Wythoff , simetría de reflexión generada con grupos de Coxeter . [ cita requerida ]
El 5-símplex es la forma regular de la familia A 5 . El 5-cubo y el 5-ortoplex son las formas regulares de la familia B 5 . El grafo bifurcado de la familia D 5 contiene el 5-ortoplex , así como un 5-demicubo que es un 5-cubo alternado .
Cada 5-politopo uniforme reflexivo se puede construir en uno o más grupos puntuales reflexivos en 5 dimensiones mediante una construcción de Wythoff , representada por anillos alrededor de permutaciones de nodos en un diagrama de Coxeter . Los hiperplanos especulares se pueden agrupar, como se ve por los nodos coloreados, separados por ramas pares. Los grupos de simetría de la forma [a,b,b,a], tienen una simetría extendida, [[a,b,b,a]], como [3,3,3,3], duplicando el orden de simetría. Los politopos uniformes en estos grupos con anillos simétricos contienen esta simetría extendida.
Si todos los espejos de un color determinado están sin anillar (inactivos) en un politopo uniforme dado, tendrá una construcción de simetría inferior al eliminar todos los espejos inactivos. Si todos los nodos de un color determinado están anillados (activos), una operación de alternancia puede generar un nuevo 5-politopo con simetría quiral, que se muestra como nodos "vacíos" encerrados en un círculo, pero la geometría no suele ser ajustable para crear soluciones uniformes.
Hay 5 familias finitas de politopos prismáticos uniformes categóricos basados en los 4-politopos uniformes no prismáticos . Hay una familia infinita de 5-politopos basada en prismas de los duoprismas uniformes {p}×{q}×{ }.
Hay tres familias categóricas uniformes duoprismáticas de politopos basadas en productos cartesianos de los poliedros uniformes y polígonos regulares : { q , r }×{ p }.
Esto eleva el total a: 19+31+8+45+1=104
Además hay:
Hay 19 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter con uno o más anillos. (16+4-1 casos)
Reciben su nombre de Norman Johnson a partir de las operaciones de construcción de Wythoff sobre el 5-símplex regular (hexateron).
La familia A5 tiene simetría de orden 720 ( factorial 6 ). 7 de las 19 figuras, con diagramas de Coxeter simétricamente anillados, tienen simetría doble, orden 1440 .
Las coordenadas de 5-politopos uniformes con simetría 5-símplex se pueden generar como permutaciones de números enteros simples en el espacio 6, todos en hiperplanos con vector normal (1,1,1,1,1,1).
La familia B 5 tiene simetría de orden 3840 (5!×2 5 ).
Esta familia tiene 2 5 −1=31 politopos uniformes Wythoffianos generados al marcar uno o más nodos del diagrama de Coxeter . También se agregan 8 politopos uniformes generados como alternancias con la mitad de la simetría, que forman un duplicado completo de la familia D 5 como
... =
..... (Hay más alternancias que no se enumeran porque sólo producen repeticiones, como
... =
.... y... =
.... Estos darían una duplicación completa de los 5-politopos uniformes numerados del 20 al 34 con la simetría rota a la mitad).
Para simplificar se divide en dos subgrupos, cada uno con 12 formas, y 7 formas "intermedias" que pertenecen igualmente a ambos.
La familia de 5 cubos de 5 politopos está dada por las envolturas convexas de los puntos base que se enumeran en la siguiente tabla, con todas las permutaciones de coordenadas y signos tomados. Cada punto base genera un 5 politopo uniforme distinto. Todas las coordenadas corresponden a 5 politopos uniformes con una longitud de arista de 2.
La familia D 5 tiene simetría de orden 1920 (5! x 2 4 ).
Esta familia tiene 23 politopos uniformes Wythoffianos, de 3×8-1 permutaciones del diagrama de Coxeter D 5 con uno o más anillos. 15 (2×8-1) se repiten de la familia B 5 y 8 son exclusivos de esta familia, aunque incluso esos 8 duplican las alternancias de la familia B 5 .
En las 15 repeticiones, ambos nodos que terminan las ramas de longitud 1 están anillados, por lo que los dos tipos deLos elementos son idénticos y la simetría se duplica: las relaciones son... =.... y... =..., creando una duplicación completa de los 5-politopos uniformes 20 a 34 anteriores. Las 8 nuevas formas tienen un nodo de este tipo anillado y otro no, con la relación... =...duplicando los 5-politopos uniformes 51 a 58 anteriores.
Existen 5 familias finitas de politopos prismáticos uniformes categóricos basados en los 4-politopos uniformes no prismáticos . Para simplificar, no se muestran la mayoría de las alternancias.
Esta familia prismática tiene 9 formas :
La familia A 1 x A 4 tiene simetría de orden 240 (2*5!).
Esta familia prismática tiene 16 formas (tres de ellas compartidas con la familia [3,4,3]×[ ])
La familia A 1 × B 4 tiene simetría de orden 768 (2 5 4!).
Los últimos tres snubs se pueden realizar con aristas de igual longitud, pero de todos modos resultan no uniformes porque algunas de sus 4 caras no son 4-politopos uniformes.
Esta familia prismática tiene 10 formas .
La familia A 1 x F 4 tiene simetría de orden 2304 (2*1152). Tres politopos 85, 86 y 89 (fondo verde) tienen simetría doble [[3,4,3],2], orden 4608. El último, prisma romo de 24 celdas (fondo azul) tiene simetría [3 + ,4,3,2], orden 1152.
Esta familia prismática tiene 15 formas :
La familia A 1 x H 4 tiene simetría de orden 28800 (2*14400).
Los prismas de duoprisma uniformes, { p }×{ q }×{ }, forman una clase infinita para todos los números enteros p , q >2. {4}×{4}×{ } forma una forma de simetría inferior del 5-cubo .
El vector f extendido de { p }×{ q }×{ } se calcula como ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*(2, 1 ) = (2 pq ,5 pq ,4 pq +2 p +2 q ,3 pq +3 p +3 q , p + q +2, 1 ).
El gran antiprisma es el único prisma de 5 politopos uniforme no Wythoffiano convexo conocido. Tiene 200 vértices, 1100 aristas, 1940 caras (40 pentágonos, 500 cuadrados, 1400 triángulos), 1360 celdas (600 tetraedros , 40 antiprismas pentagonales , 700 prismas triangulares , 20 prismas pentagonales ) y 322 hiperceldas (2 grandes antiprismas 
, 20 prismas antiprisma pentagonales
, y 300 prismas tetraédricos 
).
La construcción de los politopos uniformes de 5 dimensiones reflectantes se realiza mediante un proceso de construcción de Wythoff y se representa mediante un diagrama de Coxeter , donde cada nodo representa un espejo. Los nodos están anillados para indicar qué espejos están activos. El conjunto completo de politopos uniformes generados se basa en las permutaciones únicas de los nodos anillados. Los politopos de 5 dimensiones uniformes se nombran en relación con los politopos regulares de cada familia. Algunas familias tienen dos constructores regulares y, por lo tanto, pueden tener dos formas de nombrarlos.
Aquí están los operadores principales disponibles para construir y nombrar los 5-politopos uniformes.
La última operación, el desvío, y más generalmente la alternancia, son las operaciones que permiten crear formas no reflectantes. Éstas se dibujan con "anillos huecos" en los nodos.
Las formas prismáticas y los gráficos bifurcados pueden utilizar la misma notación de indexación de truncamiento, pero requieren un sistema de numeración explícito en los nodos para mayor claridad.
Hay cinco grupos de Coxeter afines fundamentales y 13 grupos prismáticos que generan teselaciones regulares y uniformes en el espacio euclidiano 4-espacial. [11] [12]
Hay tres panales regulares del 4-espacio euclidiano:
=
Hay 19 panales uniformes en esta familia.Hay 31 panales uniformes reflectantes en esta familia y uno de forma alternada.
yconstruido por cuatro snub de 24 celdas , uno de 16 celdas y cinco de 5 celdas en cada vértice.Otras familias que generan panales uniformes:
=
Familia, todo nuevo, incluye:Familia, dos nuevas, entre ellas la de cuarto de panal teseractico ,=, y el panal teseractico bitruncado ,=.También existen teselaciones uniformes no Wythoffianas en el espacio 4 por elongación (inserción de capas) y giro (rotación de capas) a partir de estas formas reflectantes.
Hay 5 grupos de Coxeter hiperbólicos compactos de rango 5, cada uno de los cuales genera panales uniformes en el 4-espacio hiperbólico como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.
Hay 5 panales hiperbólicos convexos compactos regulares en el espacio H 4 : [13]
También hay 4 panales estelares hiperbólicos compactos regulares en el espacio H 4 :
Existen 9 grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos de rango 5 , cada uno de los cuales genera panales uniformes en el espacio cuatridimensional como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter. Los grupos paracompactos generan panales con infinitas facetas o figuras de vértices .
